Opérations sur les limites des suites numériques


1. Formes indéterminées

Définition. [www.cnrtl.fr]
« indéterminé : Qui n’a pas pris de détermination; dont la fonction est vague. 1. En parlant d’une personne ou d’un principe spirituel ou psychique de l’homme : qui n’a pas encore pris de décision ; indécis, irrésolu… ».

En mathématiques, les résultats de certaines opérations sur les limites de suites ou de fonctions sont intuitifs et parfaitement déterminés. D’autres opérations mènent à des « formes indéterminées » (indiquées par F.I. dans la suite), c’est-à-dire qu’elles conduisent à plusieurs résultats possibles, donc qui ne sont pas parfaitement déterminées.

Il faudra alors user de différentes méthodes et de techniques pour « lever l’indétermination ». Notamment, factoriser une somme, développer un produit, séparer une fraction en plusieurs parties, ou multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée.

Nous pouvons résumer les opérations sur les limites des suites dans les quatre tableaux suivants.

2. Opérations sur les limites

2.1. Addition et soustraction

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels. Le tableau suivant donne la limite de la suite $(u_n+v_n)$ si elle existe : [avec la règle $\color{brown}{\dlim_{n\to +\infty} -v_n=-\dlim_{n\to +\infty} v_n}$, pour la soustraction]. La première forme indéterminée est :
$$\color{brown}{\boxed{\;F.I.n°1 :\quad (-\infty)+(+\infty)\;}}$$
$$\begin{array}{|r|c|c|c|}\hline
\color{brown}{\text{Somme}}&\lim v_n=\ell’ & -\infty & +\infty \\ \hline
\lim u_n=\ell & \ell+\ell’ & -\infty & -\infty \\ \hline
-\infty & -\infty & -\infty & \color{brown}{F.I.} \\ \hline
+\infty & +\infty &\color{brown}{F.I.} & +\infty \\ \hline
\end{array}$$

Exercice résolu n°1.
Calculer $\dlim_{n\to +\infty}3n^2+\sqrt{n}-7$.

Corrigé.
Aucun problème. $\dlim_{n\to +\infty}3n^2=+\infty$ ; $\dlim_{n\to +\infty}\sqrt{n}=+\infty$ et $-7$ est une constante. Donc, par somme des limites, on a :
Conclusion. $\color{brown}{\dlim_{n\to +\infty}3n^2+\sqrt{n}-7 = +\infty}$.

Exercice résolu n°2.
Calculer $\dlim_{n\to +\infty}2n^2-3n+5 = ?$

Corrigé.
Ici, $\dlim_{n\to +\infty}2n^2=+\infty$ ; $\dlim_{n\to +\infty}-3n=-\infty$.
Nous avons donc une F.I. $+\infty+(-\infty)$. Il faut transformer l’écriture de la suite pour lever l’indétermination.
Pour cela « on met en facteur le monôme de plus haut degré ».

On a alors : $2 n^2 – 3 n +5 = 2 n^2 \left(1-\dfrac{3n}{2n^2}+\dfrac{5}{2n^2}\right)$.
Donc : $2 n^2 – 3 n +5 = 2n^2\left(1-\dfrac{3}{2n}+\dfrac{5}{2n^2}\right)$.
Or, $\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{-3}{2n}=0$ et $\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{5}{2n^2}=0$.
Donc, par somme des limites, on a : $\dlim_{n\to +\infty} \left(1-\dfrac{3n}{2n^2}+\dfrac{5}{2n^2}\right)=1$.
De plus, $\dlim_{n\to +\infty}3n^2=+\infty$.
Donc, par produit des limites on a :
$\dlim_{n\to +\infty}2 n^2 \left(1-\dfrac{3n}{2n^2}+\dfrac{5}{2n^2}\right)=+\infty \times 1 = +\infty$.
Conclusion. $\color{brown}{\dlim_{n\to +\infty}2n^2-3n+5 = +\infty}$.

2.2. Multiplication

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels. La deuxième forme indéterminée est :
$$\color{brown}{\boxed{\;F.I.n°2 :\quad 0\times\infty\;}}$$
Le tableau suivant s’obtient d’une manière intuitive et donne la limite de la suite-produit $(u_nv_n)$, lorsqu’elle existe, en respectant la règle des signes.
$$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{brown}{\text{Produit}}&\lim v_n=0 & \ell'<0 & \ell’>0 & -\infty &+\infty\\ \hline
\lim u_n=0 & 0 & 0 & 0 & \color{brown}{F.I.} &\color{brown}{F.I.} \\ \hline
\ell<0 & 0 & \ell\ell’ & \ell\ell’ & +\infty &-\infty\\ \hline
\ell>0 & 0 & \ell \ell’ & \ell\ell’ &-\infty & +\infty \\ \hline
-\infty &\color{brown}{F.I.}& +\infty & -\infty & +\infty &-\infty \\ \hline
+\infty &\color{brown}{F.I.} & -\infty &+\infty & -\infty &+\infty \\ \hline
\end{array}$$

Exercice résolu n°3.
Calculer $\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\left(5 n^2 + 1\right)$

Corrigé.
On sait que : $\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$ et $\dlim_{n\to+\infty}\left(5 n^2 + 1\right)=+\infty$. Donc, par produit des limites, nous obtenons donc une F.I. $0\times\infty$.
Il faut transformer l’écriture de la suite pour lever l’indétermination.
Pour cela « on développe l’expression de la suite ».
On a alors : $\dfrac{1}{n}\left(5 n^2 + 1\right)= \dfrac{5n^2}{n}+ \dfrac{1}{n} = 5n+\dfrac{1}{n}$.
Or $\dlim_{n\to+\infty}5n=+\infty$ et $\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n} =0$.
Donc, par somme des limites, on a : $\dlim_{n\to+\infty}5n+\dfrac{1}{n} =+\infty$.
Conclusion : $\color{brown}{\dlim_{n\to+\infty}5n+\dfrac{1}{n} =+\infty}$.

2.3. Inverse

Soit $(v_n)$ une suite de nombres réels.
Le tableau suivant s’obtient également d’une manière intuitive [penser à la courbe de la fonction inverse $x\mapsto \dfrac{1}{x}$] et donne la limite de la suite-inverse $\left(\dfrac{1}{v_n}\right)$, lorsqu’elle existe, en respectant la règle des signes. On suppose que la suite $(v_n)$ est non nulle et garde un signe constant à partir d’un certain rang.

$$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{brown}{\text{Inverse}}&\lim v_n=0^{-} & 0^{+} & \ell\not=0 & -\infty &+\infty\\ \hline
\lim \dfrac{1}{v_n} & -\infty & +\infty & \dfrac{1}{\ell} & 0 &0 \\ \hline
\end{array}$$

Exercice résolu n°4.
Calculer $\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}+7}$

Corrigé.
Aucun problème.
$\dlim_{n\to+\infty}\sqrt{n}+7=+\infty$.
Donc, par inverse des limites, on a :
$\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}+7}=0$
Conclusion. $\color{brown}{\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}+7}=0}$.

2.4. Quotient

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels. On suppose que la suite $(v_n)$ est non nulle et garde un signe constant à partir d’un certain rang. La troisième forme indéterminée est :
$$\color{brown}{\boxed{\;F.I.n°3 :\quad \dfrac{\infty}{\infty}\;}}$$
et la quatrième forme indéterminée est :
$$\color{brown}{\boxed{\;F.I.n°4 :\quad \dfrac{0}{0}\;}}$$
Le tableau suivant donne la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ lorsqu’elle existe, avec $\dfrac{u_n}{v_n}=u_n\times\dfrac{1}{v_n}$ en respectant la règle des signes.
$$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{brown}{\text{Quotient}}&\lim v_n=0^{-} & 0^{+} & \ell'<0 & \ell’>0&-\infty &+\infty\\ \hline
\lim u_n=0^{-} & \color{brown}{F.I.} & \color{brown}{F.I.} &0& 0&0 &0\\ \hline
0^{+} & \color{brown}{F.I.} & \color{brown}{F.I.} &0& 0&0 &0\\ \hline
\ell<0 & +\infty & -\infty &\dfrac{\ell}{\ell’}&\dfrac{\ell}{\ell’}&-\infty &+\infty\\ \hline
\ell>0 & -\infty & +\infty &\dfrac{\ell}{\ell’}&\dfrac{\ell}{\ell’}&-\infty &+\infty\\ \hline
-\infty & +\infty & -\infty & +\infty &-\infty&\color{brown}{F.I.} &\color{brown}{F.I.}\\ \hline
+\infty & -\infty & +\infty & -\infty &+\infty&\color{brown}{F.I.} &\color{brown}{F.I.}\\ \hline
\end{array}$$

Exercice résolu n°5.
Calculer $\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{5n^2-3}{3n^2+n+1}$

Corrigé.
Il est clair que $\dlim_{n\to+\infty}{5n^2-3}=+\infty$ et $\dlim_{n\to+\infty}{3n^2+n+1}=+\infty$. On a une F.I.n°3 : $\dfrac{\infty}{\infty}$.
Il faut transformer l’écriture de la suite pour « lever l’indétermination ».
Pour cela, « on met en facteur le monôme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur ». On écrit :
$5n^2-3=5n^2\color{brown}{\left(1-\dfrac{3}{5n^2}\right)}$
et $3n^2+n+1=3n^2\left(1+\dfrac{n}{3n^2}+\dfrac{1}{3n^2}\right)$.
$3n^2+n+1=3n^2\color{brown}{\left(1+\dfrac{1}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}\right)}$.
Par suite, nous pouvons écrire :
$$v_n=\dfrac{5n^2\left(1-\dfrac{3}{5n^2}\right)}{3n^2\left(1+\dfrac{1}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}\right)}$$
Ce qui donne, après simplification par $n^2$ :
$$v_n=\dfrac{5\left(1-\dfrac{3}{5n^2}\right)}{3\left(1+\dfrac{1}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}\right)}$$
qu’on peut encore écrire :
$$v_n=\dfrac{5}{3}\dfrac{\left(1-\dfrac{3}{5n^2}\right)}{\left(1+\dfrac{1}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}\right)}$$
Or, on sait que : $\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$ et $\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$.
Donc, chacune des parenthèses, au numérateur et au dénominateur tend vers $1$ lorsque $n$ tend vers l’infini (voir ci-dessus).
Par conséquent, par produit et quotient des limites, la suite $(v_n)$ tend vers $\dfrac{5}{3}$.
Conclusion. $\color{brown}{\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{5n^2-3}{3n^2+n+1}=\dfrac{5}{3}}$

Exercice résolu n°6.
Calculer $\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{0,6^{n+1}}{0,2^n}$

Corrigé.
Comme $\dlim_{n\to+\infty}0,6^{n+1}=0$,
car il s’agit d’suite géométrique de raison $q=0,6\in ]-1;1[$ et de premier terme $v_0=0,6$.
De même, $\dlim_{n\to+\infty}0,2^{n}=0$,
car il s’agit d’suite géométrique de raison $q’=0,2\in ]-1;1[$ et de premier terme $w_0=1$.
Nous avons donc une F.I. $\dfrac{0}{0}$.
Il faut transformer l’écriture de la suite pour lever l’indétermination.

On a alors :
$\dfrac{0,6^{n+1}}{0,2^n}= 0,6\times \dfrac{0,6^{n}}{0,2^n}=\left(\dfrac{0,6}{0,2}\right)^n=0,6\times 3^n$.
Or $\dlim_{n\to+\infty}3^n=+\infty$ et $0,6>0$. Donc, par produit, on a :
$\dlim_{n\to+\infty}0,6\times 3^n=+\infty$.
Conclusion. $\color{brown}{\dlim_{n\to+\infty}\dfrac{0,6^{n+1}}{0,2^n}=+\infty}$.

3. Exercices supplémentaires pour progresser