Probabilités conditionnelles. Formule des probabilités composées

1. Cardinal d’un ensemble

Définition 1.
Soit $E$ un ensemble et $n$ un entier naturel.
Si $E$ contient exactement $n$ éléments, on dit que $E$ est un ensemble fini et le cardinal de $E$ est égal à $n$ et on note : $$\text{Card}(E)=n$$
Un ensemble $E$ qui n’est pas fini est dit un ensemble infini. On pourrait écrire : $\text{Card}(E)=+\infty$.

$\text{Card}(\emptyset) =0$. L’ensemble vide est un ensemble fini ayant $0$ élément.
L’ensemble $F$ des lettres de l’alphabet qui forment le mot « MATHEMATIQUES » est un ensemble fini ayant $9$ éléments. $F=\{ M; A;T;H;E;I;Q;U;S \}$.
Donc : $\text{Card}(F)=9$.
L’ensemble $M_6$ des multiples de 6 compris entre $0$ et $60$ est un ensemble fini ayant $11$ éléments. $M_6=\{ 0;6;12;18;24;30;36;42;48;54;60\}$.
Donc : $\text{Card}(M_6)=11$.
L’ensemble $\N$ des nombres entiers naturels est un ensemble infini. Donc :
$$\text{Card}(\N)=+\infty$$
L’ensemble $\R$ des nombres réels, ainsi que n’importe quel intervalle $[a;b]$ ($a<b$) de $\R$, sont des ensembles infinis. $$\text{Card}(\R)=+\infty\quad \text{Card}([a;b])=+\infty$$

Remarque
Dans ce chapitre, nous travaillons essentiellement sur des ensembles finis.

2. Probabilités conditionnelles

2.1. Étude d’un exemple

Exercice résolu n°1.
On considère l’univers $\Omega$ formé des trente élèves de la classe de Terminale.
L’expérience aléatoire consiste à choisir un élève au hasard dans cette classe. On considère les deux événements suivants :
$A$ = « l’élève choisi fait de l’allemand en LV1 » ; $\overline{A}$ est l’événement contraire.
$F$ = « l’élève choisi est une fille » ; $\overline{F}$ est l’événement contraire.
Chacun de ces deux caractères partage $\Omega$ en deux parties : $A$ et $\overline{A}$ ainsi que $F$ et $\overline{F}$. On obtient le tableau des effectifs suivants :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
& F & \overline{F} & \text{Totaux}\\ \hline
A & 10 & 7 & 17 \\ \hline
\overline{A}& 4 & 9 & 13 \\ \hline
\text{Totaux}& 14 & 16 & 30\\ \hline
\end{array}$$

1°) Calculer $P(A)$
2°) Calculer $P(F)$
3°) On choisit au hasard un élève qui fait allemand en LV1. Calculer la probabilité $p$ que ce soit une fille. On notera $p=P_{A}(F)$.

Chaque élève a exactement la même chance d’être choisi. Nous sommes donc en situation d’équiprobabilité.

1°) La probabilité que l’élève choisi fasse de l’allemand est donnée par :
$$P(A) = \dfrac{\textit{Nombre d’issues favorables}}{\textit{Nombre d’issues possibles}} = \dfrac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \dfrac{17}{30}$$

2°) La probabilité que l’élève choisi soit une fille est donnée par :
$$P(F) = \dfrac{\textit{Nombre d’issues favorables}}{\textit{Nombre d’issues possibles}} = \dfrac{\text{Card}(F)}{\text{Card}(\Omega)} = \dfrac{14}{30}$$
Maintenant, On choisit au hasard un élève qui fait allemand en LV1. Calculer la probabilité que ce soit une fille. On change d’univers : Le nouvel univers est $A$. L’élève choisi est donc dans $A\cap F$.
On choisit « un élève qui fait allemand en LV1 », la probabilité que cet élève soit une fille, notée $\color{brown}{P_A(F)}$, est donnée par :
$$P_A(F) = \dfrac{\textit{Nombre d’issues favorables}}{\textit{Nombre d’issues possibles}} = \dfrac{\text{Card}(A\cap F)}{\text{Card}(A)} = \dfrac{10}{17}$$
On peut encore écrire $P_A(F)$, de la façon suivante :
$$\begin{array}{rcl}
P_A(F)&=&\dfrac{\text{Card}(A)\cap F}{\color{brown}{\text{Card}(\Omega}} \times \dfrac{\color{brown}{\text{Card}(\Omega)}}{\text{Card}(A)}\\
&=& P(A\cap F)\times \dfrac{1}{P(A)}\\
P_A(F) &=&\dfrac{P(A\cap F)}{P(A)}\\
\end{array}$$
ou encore : $$\color{brown}{\boxed{\;P_A(F) =\dfrac{P(A\cap F)}{P(A)}}}$$
Conclusion. On peut exprimer « la probabilité de $F$, sachant que $A$ est réalisé » comme quotient de $P(A\cap F)$ et de $P(A)$.

2.2. Définition de la probabilité conditionnelle

Définition 2.
Soit $\Omega$ un ensemble fini et $P$ une loi de probabilité sur l’univers $\Omega$ liée à une expérience aléatoire. Soient $A$ et $B$ deux événements de tels que $P(B)\not=0$.
On définit la probabilité que l’événement « $A$ soit réalisé sachant que $B$ est réalisé » de la manière suivante : $$\color{brown}{\boxed{\;P_B(A) =\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\;}}$$
où $P_B(A)$ (lire « P-B-de-A ») s’appelle la « probabilité conditionnelle que $A$ soit réalisé sachant que $B$ est réalisé » et se lit « P-de-$A$-sachant-$B$ ».
$P_B(A)$ se notait anciennement $P(A / B)$.

En effet, dans cette définition, « l’univers est restreint à $B$ ».

L’ensemble de toutes les issues possibles est égal à $B$
L’ensemble de toutes les issues favorables est égal à $A\cap B$.

2.3. Conséquences immédiates

Soit $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$ tels que $P(B)\not=0$.
On peut écrire toutes les probabilités comme des probabilités conditionnelles. $P(\Omega)=1$.
Donc pour tout événement $A$ : $P(A)=P_\Omega(A)$.
$P_B(B)=1$; $P_B(\Omega)=1$ ; $P_B(\emptyset)=0$.
L’événement contraire de « $A$ est réalisé sachant que $B$ est réalisé » est « $\overline{A}$ est réalisé sachant que $B$ est réalisé ». En effet : $B=(B\cap \overline{A})\cup(B\cap A)$. $P_B(\overline{A})+P_B(A)=1$ ou encore : $$P_B(\overline{A})=1-P_B(A)$$
Si $A$ et $C$ sont deux événements quelconques, on peut étendre la formule vue en Seconde aux probabilités conditionnelles : $$P_B(A\cup C)=P_B(A)+P_B(C)-P_B(A\cap C)$$
Si $A$ et $C$ sont deux événements incompatibles, on a : $$P_B(A\cup C)=P_B(A)+P_B(C)$$

Conclusion. $P_B$ définit bien une loi de probabilité sur l’ensemble $B$.

2.4. Formule des probabilités composées

Propriété 1. & définition.
Pour tous événements $A$ et $B$ de $\Omega$ tels que $P(B)\not=0$, on a : $$\boxed{\;P(A\cap B)=P_B(A)\times P(B)\;}\quad (*)$$

Définition 3.
L’égalité (*) ci-dessus s’appelle la formule des probabilités composées.

D’après la formule des probabilités conditionnelles, on sait que :
$$P_B(A) =\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
En écrivant l’égalité des produits en croix dans cette formule, on obtient l’égalité (*).

Exemple

Dans notre exemple ci-dessus, nous avons déjà calculé : $P_A(F)=\dfrac{10}{17}$ et $P(A)=\dfrac{10}{30}$.

On choisit un élève au hasard dans la classe de TS2. Calculer la probabilité que ce soit une fille qui fait de l’allemand. Ce qui correspond à l’événement $A\cap F$.

Nous avons deux méthodes d’aborder cette question :

1ère méthode : Nous connaissons déjà les effectifs. Donc :
$$P(A\cap F)=\dfrac{\textit{Nombre d’issues favorables}}{\textit{Nombre d’issues possibles}} = \dfrac{\text{Card}(A\cap F)}{\text{Card}(\Omega)}=\dfrac{10}{30}$$

2ème méthode : Nous appliquons la formule ci-dessus :
$${P(A\cap F)}= P_A(F)\times P(A)=\dfrac{10}{17}\times\dfrac{17}{30} = \dfrac{10}{30}$$
qu’on peut naturellement simplifier…

2.5. Des probabilités dans un tableau à double entrée.

On pourrait présenter les données de notre exemple sous la forme de tableau de fréquences ou de proportions ou de probabilités des différents événements, de la manière suivante.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
& F & \overline{F} & Totaux\\ \hline
A & 0,33 & 0,23 & 0,56 \\ \hline
\overline{A}&0,14 & 0,3 & 0,44 \\ \hline
Totaux & 0,47 & 0,53 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

Ce quivaut à :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
& F & \overline{F} & Totaux\\ \hline
A & P(A\cap F) & P(A\cap\overline{F}) & 0,56 \\ \hline
\overline{A}&P(\overline{A}\cap F) & P(\overline{A}\cap \overline{F}) & 0,44 \\ \hline
Totaux & P(F) & P(F) & P(\Omega) \\ \hline
\end{array}$$

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.