Arbres de dénombrement et arbres pondérés de probabilités


1. Arbre de dénombrement ou arbre des possibles

Nous avons déjà rencontré en classes de Seconde et et 1ère les arbres de dénombrement ou arbres des possibles, et les arbres pondérés de probabilités.

Définition 1.
On utilise un arbre de dénombrement ou un arbre des possibles, pour dénombrer toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Ce qui correspondrait à des situations d’équiprobabilité. On calcule les probabilités comme le quotient des nombres d’issues favorables par le nombre d’issues possibles.

Exemples

Exercice résolu n°1.
Une famille a deux enfants. On suppose qu’il y a autant de chances d’obtenir un garçon qu’une fille. Calculer la probabilité des événements « Obtenir une fille et un garçon » puis « Obtenir au moins une fille ». (On suppose qu’il n’y a pas de jumeaux).

On appelle $F$ l’événement « obtenir une fille » et $G$ l’événement « obtenir un garçon » à chaque naissance :

Fig. 1. Arbre des possibles : Un chemin = Une issue

L’univers associé à cette situation comporte quatre issues possibles. Donc : $$\Omega=\{FF ; FG ; GF ; GG \}\text{ et }\text{Card}(\Omega)=4$$
Ainsi, si l’événement $A$ = « obtenir une filles et un garçon », alors : $A=\{FG ; GF\}$ et $\text{Card}(A) = 2$.
Donc : $$\color{brown}{P(A)=\dfrac{\textit{Nombre d’issues favorables}}{\textit{Nombre d’issues possibles}}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}}$$
Et si l’événement $B$ = « Obtenir trois enfants de même sexe », alors $B=\{FF ; FG ; GF\}$ et $\text{Card}(B) = 3$. Donc : $$\color{brown}{P(B) =\dfrac{3}{4}}$$

Remarque
L’événement contraire de « au moins un » est « aucun ».
On aurait pu calculer la probabilité de l’évènement $\overline{B}$ = « N’obtenir aucune fille ».
$\text{Card}(\overline{B}) = 1$, donc $P(\overline{B})=\dfrac{1}{4}$.
On en déduit que : $P(B)=1-P(\overline{B})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.

Exercice résolu n°2.
Une famille a trois enfants. On suppose qu’il y a autant de chances d’obtenir un garçon qu’une fille. Calculer la probabilité des événements « obtenir deux filles et un garçon » puis « obtenir trois enfants de même sexe ». (On suppose qu’il n’y a pas de jumeaux).

On appelle $F$ l’événement « obtenir une fille » et $G$ l’événement « obtenir un garçon » à chaque naissance :

Fig. 2. Arbre des possibles : Un chemin = Une issue

L’univers associé à cette situation comporte quatre issues possibles. Donc :
$$\Omega=\{FFF ; FFG ; FGF ; FGG ; GFF ; GFG ; GGF ; GGG\}$$
et $\text{Card}(\Omega)=8$.
Ainsi, si l’événement $A$ = « obtenir deux filles et un garçon », alors : $$A=\{FFG ; FGF ; GFF\}\text{ et Card}(A) = 3$$
Donc : $$\color{brown}{P(A)=\dfrac{\textit{Nombre d’issues favorables}}{\textit{Nombre d’issues possibles}}=\dfrac{3}{8}}$$
Et si l’événement $B$ = « Obtenir trois enfants de même sexe », alors $B=\{FFF ; GGG\}$ et $\text{Card}(B) = 2$. Donc : $$\color{brown}{P(B) =\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}}$$


2. Arbre pondéré pour calculer des probabilités

Définition 2.
On utilise un arbre pondéré de probabilités pour dénombrer toutes les issues possibles, en précisant la probabilité de réalisation de chaque branche.

Dans une expérience aléatoire sur un univers $\Omega$, on considère deux événements $A$ et $B$. On dit qu’un arbre est pondéré lorsque, sur chaque branche, on indique la probabilité d’obtenir l’événement suivant.

Règles d’utilisation d’un arbre pondéré. Méthodes de calcul :

Règle 1. Une branche = une probabilité conditionnelle
La probabilité de la branche partant de $A$ vers $B$ est égale à « la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé ».
$$\boxed{\;A\overset{P_A(B)}{\longrightarrow}B\;}$$

En particulier : la probabilité de la branche partant $\Omega$ vers $A$ est égale à $P(A)$. C’est-à-dire : $$\begin{array}{c}
{\color{brown}{\boxed{\;P_{\Omega}(A)=P(A)\;}}}\\
\Omega\overset{P(A)}{\longrightarrow}A \\ \end{array}$$

Règle 2. La somme des probabilités des branches partant d’un même noeud est toujours égale à 1. $$\boxed{\;P_{A}(B_1)+P_A(B_2)+P_A(B_3) = 1\;}$$

Fig. 3. La somme des proba issues d’un noeud est égale à $1$.

Règle 3. Formule des probabilités composées
La probabilité d’un chemin est égal au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin et représente la probabilité de l’intersection des événements sur ce chemin : $$\boxed{\;P(A)\times P_{A}(B)=P(A\cap B)\;}$$
Un chemin parcouru de la racine $\Omega$ à l’extrémité des branches corresp ond à l’intersection de tous les événements rencontrés sur ce chemin.

$$\text{Le chemin }{\color{brown}{
\Omega\overset{P(A)}{\longrightarrow}A\overset{P_A(B)}{\longrightarrow}B
}}\text{ conduit à } A\cap B$$

Règle 4. Formule des probabilités totales
La probabilité d’un événement $E$ est égale à la somme des probabilités de tous les chemins qui conduisent à $E$. Si $B_1$, $B_2$,$\ldots$ $B_k$ forment une partition de $\Omega$. Alors
$$\begin{array}{c}
\boxed{\; P(E)=P(E\cap B_1)+\cdots+P(E\cap B_k)\;}\\
\boxed{\; P(E)=P_{E}(B_1)\times P(B_1)+\cdots+P_{E}(B_k)\times P(B_k)\;}\\ \end{array}$$

3. Exercices résolus

Exercice n°3. (Extrait BAC S)
Un club sportif compte $80$ inscrits en natation, $95$ en athlétisme et $125$ en gymnastique. Chaque inscrit pratique un seul sport.
On donnera les valeurs exactes puis une valeur approchée arrondie au dix-millième près.
Parmi les inscrits en natation, $45\%$ sont des filles. De même $20\%$ des inscrits en athlétisme et $68\%$ des inscrits en gymnastique sont des filles.

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
  2. On choisit un inscrit au hasard. Quelle est la probabilité $p_1$ que l’inscrit choisi soit une fille pratiquant l’athlétisme ?
  3. On choisit un inscrit au hasard. Quelle est la probabilité $p_2$ que ce soit une fille ?
  4. Si on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité $p_3$ qu’elle pratique l’athlétisme ?

Corrigé
1°) Construction d’un arbre pondéré.

$$\text{Choix du sport}\qquad\text{Choix Fille ou Garçon}$$

2°) Calcul de $p_1=P_A(F)$.
On choisit un inscrit au hasard (sous entendu « dans tout le club»).
On appelle $E$ l’événement : « l’inscrit choisi est une fille pratiquant l’athlétisme », ce qui signifie « l’inscrit choisi est une fille et qui pratique l’athlétisme ».
Donc : $E=(A\cap F)$. On applique la règle n°3. La formule des probabilités composées.
Par suite, la probabilité de $E$ est égale au produit de toutes les probabilités des branches de ce chemin : $$\begin{array}{rcl}
p_1&=&P(E)\\
p_1&=&P(A\cap F)\\
&=&P(A)\times P_A(F)\\
&=&\dfrac{95}{300}\times\dfrac{20}{100}\\
&=& \dfrac{19}{300}\quad\textit{Valeur exacte}\\
p_1&=& 0,0633\quad\textit{Valeur approchée}\\
\end{array}$$
Conclusion. La probabilité que l’inscrit choisi est une fille pratiquant l’athlétisme est $\color{brown}{\boxed{\;p_1=0,0633\;}}$. $\blacktriangle$

3°) Calcul de $p_2=P(F)$.
On choisit un inscrit au hasard (sous entendu « dans tout le club »).
$F$ est l’événement : « l’inscrit choisi est une fille ». On applique la règle n°4. Le théorème des probabilités totales.
Par suite, la probabilité de $F$ est égale à la somme des probabilités des chemins (en couleur) correspondant à cet événement. Il y en a trois. Il y a des filles dans chaque groupe.
En effet, $N$, $A$ et $G$ sont des événements 2 à 2 incompatibles et forment une partition de $\Omega$. Par suite :
$$\begin{array}{rcl}
p_2&=&P(F)=P(F\cap N)+P(F\cap A)+P(F\cap G)\\
&=&P_N(F)\times P(N)+P_A(F)\times P(A)+P_G(F)\times P(G)\\
&=&\dfrac{80}{300}\times\dfrac{45}{100}+\dfrac{95}{300}\times\dfrac{20}{100}+\dfrac{125}{300}\times\dfrac{68}{100}\\
&=& \dfrac{140}{300}=\dfrac{7}{15}\quad\textit{Valeur exacte}\\
p_2&=& 0,4667\quad\textit{Valeur approchée}\\
\end{array}$$
Conclusion. La probabilité de l’événement : $F$ = « l’inscrit choisi est une fille est $\color{brown}{\boxed{\;p_2=0,4667\;}}$. $\blacktriangle$

4°) Calcul de $p_3=P_F(A)$.
On choisit au hasard une fille. On restreint l’univers à $F$.
Donc on sait déjà que l’inscrit choisi est une fille, et on veut calculer la probabilité $p_3$ qu’elle pratique l’athlétisme. Donc : $p_3 = P_F(A)$. On revient à la définition. D’après la formule des probabilités conditionnelles, on a : $$\begin{array}{rcl}
p_3&=&P_F(A)\\
p_3&=&\dfrac{P(F\cap A)}{P(F)}\\
&=&\dfrac{19}{300}\times\dfrac{15}{7}\\
&=& \dfrac{19}{140}\quad\textit{Valeur exacte}\\
p_3&=& 0,1357\quad\textit{Valeur approchée}\\
\end{array}$$
Conclusion. La probabilité que l’inscrit choisi pratique l’athlétisme sachant que c’est une fille est : $\color{brown}{\boxed{\;p_3=0,1357\;}}$. $\blacktriangle$

Exercice résolu n°4.