Calcul des probabilités. Partition de l’univers. Théorème des probabilités totales


1. Partition de l’univers

Définition 1.
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Soient $\Omega$ un ensemble fini et $B_1$, $B_2$,$\ldots$, $B_n$, $n$ événements non vides de $\Omega$.
On dit que la famille $B_1$, $B_2$,$\ldots$, $B_n$, forme une partition de $\Omega$ si, et seulement si, les conditions suivantes sont satisfaites :
$i$) Tous les $B_i$ sont non vides, c’est-à-dire : $B_i\not=\emptyset$ pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$. (Cette condition n’est pas toujours vérifiée dans certaines démonstrations) ;
$ii$) Les $n$ événements $B_1$, $B_2$,$\ldots$, $B_n$ sont deux à deux incompatibles, c’est-à-dire, pour tous $i$ et $j$ compris entre $1$ et $n$ :
$$i\not= j\Rightarrow B_i\cap B_j=\emptyset$$
$iii$) La réunion de tous les événements $B_1$, $B_2$,$\ldots$, $B_n$ est égale à $\Omega$. On écrit :
$$\begin{array}{c}
B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega\\
\text{ou encore :}\;\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}B_i=\Omega\\
\end{array}$$

Exemple

Soit $\Omega$ = l’ensemble des élèves du lycée. On choisit un élève au hasard et on lui demande sa classe. On pose $B_1$ = « l’élève est en seconde », $B_2$ = « l’élève est en première », $B_3$ = « l’élève est en Terminale » et $B_4$ = « l’élève est en BTS », alors $B_1$, $B_2$, $B_2$ et $B_4$ forment une partition de $\Omega$.

Un cas particulier. Une partition à deux éléments

Définition 2.
Soit $B$ un événement de $\Omega$, différent de $\Omega$ et tel que $P(B)\not=0$. Alors $B$ et $\overline{B}$ forment une partition de l’univers $\Omega$ ($n=2$).

Ce sont les plus petites partitions qu’on peut former sur $\Omega$.

Exemple 

Au lycée, si on pose $B$ = « l’élève fait de l’allemand ». Alors $B$ et $\overline{B}$ forment une partition de $\Omega$.

2. Théorème des probabilités totales

Théorème 1.
Soit $\Omega$ un ensemble fini et $B_1$, $B_2$,$\ldots$, $B_n$ ($n\geqslant 2$), une partition de $\Omega$.
Soit $A$ un événement quelconque de $\Omega$. Alors
$$\begin{array}{|lr|}\hline
P(A)=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots+P(A\cap B_n)&(1)\\
\text{ou encore}& \\
P(A)=P_{B_1}(A)\times P(B_1) +\cdots+P_{B_n}(A)\times P(B_n)&(2)\\
\text{qu’on peut aussi écrire : }& \\
\qquad\qquad P(A)=\dsum_{i=1}^n P_{B_i}(A)\times P(B_i) &(2bis)\\ \hline
\end{array}$$

Démonstration

Soit $A$ un événement quelconque de $\Omega$. Alors $A\cap B_1$, $A\cap B_2$, $A\cap B_n$ forment une partition de $A$.

Ces n événements ne sont pas tous (forcément) non vides ; auquel cas, on peut supprimer les $B_k$ pour lesquels $A\cap B_k=\emptyset$, c’est-à-dire $P(A\cap B_k)=0$.

Ces $n$ événements sont deux à deux incompatibles et leur réunion est égale à $A$.

Par conséquent, $A=(A\cap B_1)\cup (A\cap B_2)\cup\ldots \cup (A\cap B_n)$. Donc
$$\begin{array}{c}
P(A)=P\left[(A\cap B_1)\cup (A\cap B_2)\cup\ldots \cup (A\cap B_n)\right]\\
P(A)=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots +P(A\cap B_n)\\
\end{array}$$

Comme pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$, $P(A\cap B_k)=P_{B_k}(A)\times P(B_k)$, on obtient :
$$P(A)=P_{B_1}(A)\times P(B_1) +P_{B_2}(A)\times P(B_2) +\cdots+P_{B_1}(A)\times P(B_n)$$

CQFD.

Un cas particulier très important ($n=2$)

Théorème 2.
Soit $B$ un événement de $\Omega$ tel que. Alors $B$ et $\overline{B}$ forment une partition de l’univers $\Omega$. ($n=2$). Donc, pour tout événement $A$ de $\Omega$, on a :
$$\begin{array}{|lr|}\hline
P(A)=P(A\cap B)+P (A\cap \overline{B})&(3)\\
\text{ou encore}\\
P(A)=P_{B}(A)\times P(B) +P_{\overline{B}}(A)\times P(\overline{B})&(4) \\ \hline
\end{array}$$

Exemple

Exercice résolu n°1.
Soit A et B deux événements de $\Omega$ tels que $P(A\cap B)=0,2$, $P(B)=0,4$ et $P_{\overline{B}}(A)=0,3$. Calculer :
1°) $P(\overline{B})$,
2°) $P(A\cap\overline{B})$
3°) $P(A)$ ;
4°) En déduire $P(A\cup B)$ ;

1°) Calcul de $P(\overline{B})$.
$B$ et $\overline{B}$ et sont deux événements contraires, donc $P(\overline{B})=1-P(B)$, $P(\overline{B})=1-0,4$.
Conclusion 1. $\boxed{\;P(\overline{B})=0,6\;}$.

2°) Calcul de $P(A\cap\overline{B})$
D’après l’énoncé, on sait que : $P_{\overline{B}}(A)=0,3$, donc :
$P(A\cap\overline{B})=P_{\overline{B}}(A)\times P(\overline{B})$, donc :
$P(A\cap\overline{B})=0,3\times 0,6$.
Conclusion 2. $\boxed{\;P(A\cap\overline{B})=0,18\;}$.

3°) Calcul de $P(A)$ ;
Maintenant, nous pouvons appliquer le théorème des probabilités totales ($n=2$) : $B$ et $\overline{B}$ forment une partition de $\Omega$, donc : $(A\cap B)$ et $(A\cap \overline{B}$ forment une partition de $A$. Donc :
$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})=0,2+0,18=0,38$.
Conclusion 3.  $\boxed{\;P(A)=0,38\;}$.

4°) Calcul de $P(A\cup B)$.
On sait que $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,38+0,4-0,2=0,58$.
Conclusion 4. : $\boxed{\;P(A\cup B)=0,58\;}$. (C’est plus simple ! Non !)


Exercice résolu n°2.
Soit A et B deux événements de $\Omega$ tels que $P(A)=0,58$ ; $P(B)=0,4$ ; $P(A\cap B)=0,2$. Calculer :
1°) Calculer $P(\overline{A})$ ;
2°) $P(\overline{A}\cap B)$ ;
3°) $P_{\overline{A}}(B)$.

1°) Calcul de $P(\overline{A})$.
$A$ et $\overline{A}$ sont deux événements contraires, donc $P(\overline{A})=1-P(A)$, $P(\overline{A})=1-0,58=042$.
Conclusion 1. $\boxed{\;P(\overline{A})=0,42\;}$.

2°) $P(\overline{A}\cap B)$.
Pour calculer $P(A\cap\overline{B})$,
On sait que $A$ et $\overline{A}$ et sont deux événements contraires, donc :
$(A\cap B)\cup (\overline{A}\cap B)=B$. Donc : $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$. Donc : $P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)$, donc
$P(\overline{A}\cap B)=0,4-0,2=0,2$,
Conclusion 2. $\boxed{\;P(\overline{A}\cap B)=0,2\;}$.

3°) $P_{\overline{A}}(B)$
$P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{P(\overline{A}\cap B)}{P(\overline{A}}$,
donc : $P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{0,2}{0,58}=\dfrac{20}{58}=\dfrac{10}{29}$
Conclusion 3. $\boxed{\;P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{10}{29}\;}$

Exercice résolu n°3.