Calcul des probabilités. Événements indépendants
1. Événements indépendants
Au sens littéral
Soit $A$ et $B$ deux événements de l’univers $\Omega$.
Intuitivement, dire que l’événement $A$ est indépendant de l’événement $B$ (ou que $B$ est indépendant de $A$, ou encore que les deux événements $A$ et $B$ sont indépendants) signifie que :
$\bullet$ $P(A)$ ne change pas, que $B$ soit réalisé ou non. C’est-à-dire que $P(A)= P_B(A)$, donc $P(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$. Ce qui s’écrit encore : $$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$
Donc $P(A)$ ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de $B$.
$\bullet$ $P(B)$ ne change pas que $A$ soit réalisé ou non. C’est-à-dire que : $P(B)= P_A(B)$, donc $P(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Ce qui s’écrit encore : $$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$
Donc $P(B)$ ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de $A$.
Définition 1.
Soit $\Omega$ un ensemble fini et $A$ et $B$ événements de $\Omega$. On dit que les deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si, et seulement si,
$$\boxed{\;P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\;}$$
Exemple
Exercice résolu n°1.
On lance un dé parfaitement équilibré. On note la face obtenue. On appelle $A$ l’événement « le résultat est pair », $B$ l’événement « le résultat est supérieur ou égal à 4 » et $C$ l’événement « le résultat est inférieur à 3 ». Ces trois événements sont-ils indépendants deux à deux ?
2. Indépendance des événements contraires
Théorème 1.
Soit $\Omega$ un ensemble fini et $A$ et $B$ événements indépendants de $\Omega$. Alors
1°) $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.
2°) $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
3°) $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
Démonstration. (ROC)
(ROC=Restitution organisée des connaissances).
Soit $A$ et $B$ deux événements indépendants de $\Omega$.
1°) On sait que $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de $\Omega$. Donc :
$B=(B\cap A)\cup(B\cap\overline{A})$.
Les deux événements $(B\cap A)$ et $(B\cap\overline{A})$ étant incompatibles, nous avons : $P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap\overline{A})$.
Ce qui donne : $$P(B\cap\overline{A})=P(B)-P(B\cap A)$$
Or, les deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, donc : $P(B\cap A)=P(B)\times P(A)$. Donc : $$P(B\cap\overline{A})=P(B)-P(B)\times P(A)$$
En mettant $P(B)$ en facteur, on obtient :
$$P(B\cap\overline{A})=P(B)(1-P(A))$$
Ce qui donne : $$P(B\cap\overline{A})=P(B)\times P(\overline{A})$$
Conclusion. Les deux événements $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.
CQFD
2°) et 3°) sont des conséquences immédiates du 1°).
Exercices résolus
Exercice résolu n°2.
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