Point d’inflexion d’une courbe
1. Définitions d’un point d’inflexion
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soit $a\in I$ et $T_a$ la droite tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.
Définition 1.
On dit que le point $A(a, f(a))$ est un point d’inflexion de la courbe $C_f$ si et seulement si la tangente $T_a$ traverse la courbe au point $A$.
Illustration graphique.

La fonction est concave sur $]-\infty;2]$ puis convexe sur $[2;+\infty[$
Propriété n°1.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $C_f$ sa représentation graphique dans un repère $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soit $a\in I$.
La courbe $C_f$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse $a$ si et seulement si la fonction $f$ passe de convexe à concave ou de concave à convexe au point d’abscisse $a$.
En effet, la fonction $f$ change de convexité au point d’inflexion. Donc, elle passe de convexe à concave ou de concave à convexe.
2. Point d’inflexion et dérivées
Propriété 2.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et on note $f’$ sa dérivée. Soit $a\in I$ et $A(a;f(a))\in C_f$.
$C_f$ admet un point d’inflexion en $A$ si et seulement si $f’$ change de sens de variation en $a$.
Propriété 3.
Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$. On note $f’$ sa dérivée et $f^”$ sa dérivée seconde. $(f’)’=f^”$. Soit $a\in I$ et $A(a;f(a))\in C_f$.
$C_f$ admet un point d’inflexion en $A$ si et seulement si $f^”$ s’annule et change de signe en $a$.
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x+1$. On désigne par $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$.
1°) Construire la courbe $C_f$ et écrire une conjecture sur la convexité de $f$.
2°) Déterminer par le calcul la convexité de la fonction $f$.
3°) En déduire que $C_f$ admet un point d’inflexion dont on donnera les coordonnées exactes.
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