Point d’inflexion d’une courbe


1. Définitions d’un point d’inflexion

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soit $a\in I$ et $T_a$ la droite tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.

Définition 1.
On dit que le point $A(a, f(a))$ est un point d’inflexion de la courbe $C_f$ si et seulement si la tangente $T_a$ traverse la courbe au point $A$.

Illustration graphique.

Fig. 1. La courbe admet un point d’inflexion au point $A(2;f(2))$
La fonction est concave sur $]-\infty;2]$ puis convexe sur $[2;+\infty[$

Propriété n°1.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $C_f$ sa représentation graphique dans un repère $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soit $a\in I$.
La courbe $C_f$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse $a$ si et seulement si la fonction $f$ passe de convexe à concave ou de concave à convexe.

En effet, la fonction $f$ change de convexité au point d’inflexion. Donc, elle passe de convexe à concave ou de concave à convexe.

2. Point d’inflexion et dérivées

Propriété 2.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et on note $f’$ sa dérivée. Soit $a\in I$ et $A(a;f(a))\in C_f$.
$C_f$ admet un point d’inflexion en $A$ si et seulement si $f’$ change de sens de variation en $a$.

Propriété 3.
Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$. On note $f’$ sa dérivée et $f”$ sa dérivée seconde. $(f’)’={f’}’$. Soit $a\in I$ et $A(a;f(a))\in C_f$.
$C_f$ admet un point d’inflexion en $A$ si et seulement si ${f’}’$ s’annule et change de signe en $a$.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x+1$. On désigne par $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$.
1°) Construire la courbe $C_f$ et écrire une conjecture sur la convexité de $f$.
2°) Déterminer par le calcul la convexité de la fonction $f$.
3°) En déduire que $C_f$ admet un point d’inflexion dont on donnera les coordonnées exactes.

Corrigé.
1°) Dans un repère orthonormé $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$, voici la courbe $C_f$, représentation graphique de $f$.

Conjecture.
Par lecture graphique, il semble que la fonction $f$ soit concave sur l’intervalle $]-\infty;2]$ et convexe sur l’intervalle $[2;+\infty[$. Et par suite elle admet un point d’inflexion au point d’abscisse $2$.

2°) Pour déterminer par le calcul la convexité de la fonction $f$, on calcule ${f’}'(x)$.
$f$ est une fonction polynôme de degré $3$, définie sur $\R$. Donc pour tout $x\in\R$ :
$f'(x)=\dfrac{1}{3}\times 3x^2-2\times 2x+3$.
Donc : $\color{brown}{\boxed{ \; f'(x) = x^2-4x+3\;}}$ .
On en déduit immédiatement que :
$\color{brown}{\boxed{ \; {f’}'(x)=2x-4\;}}$
On a alors :
${f’}'(x)=0\Leftrightarrow 2x-4=0\Leftrightarrow x=2$.
De plus : ${f’}'(x)<0\Leftrightarrow 2x-4<0\Leftrightarrow x<2$,
De même : ${f’}'(x)>0\Leftrightarrow x>2$.

Conclusion. Comme ${f’}'(x)<0$ sur $]-\infty;2]$, donc $f$ est concave sur l’intervalle $]-\infty;2]$. De même, ${f’}'(x)>0$ sur $[2;+\infty[$, donc $f$ est convexe sur l’intervalle $[2;+\infty[$.

3°) D’après la question précédente, la dérivée seconde ${f’}’$ s’annule en $2$ en changeant de signe. De plus $f(2)=\dfrac{5}{3}$.
Conclusion. La courbe $C_f$ admet un point d’inflexion au point $A\left(2;\dfrac{5}{3}\right)$.