Convexité et dérivées

1. Convexité d’une fonction dérivable

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$.

Propriété 1.
Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
$\bullet$ La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $I$ ;
$\bullet$ La fonction $f’$ est croissante sur $I$ ;
$\bullet$ La fonction ${f’}’$ est positive sur $I$.

Nous pouvons énoncer une propriété équivalente pour les fonctions concaves.

Propriété 2.
Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
$\bullet$ La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $I$ ;
$\bullet$ La fonction $f’$ est décroissante sur $I$ ;
$\bullet$ La fonction ${f’}’$ est négative sur $I$.

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
1°) Étudier de deux manières, la convexité de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) =2x^2-3x+7$.
2°) Donner une généralisation pour toutes les fonctions polynômes du second degré.

Corrigé.
1°) Étudier de deux manières, la convexité de la fonction $f$.
1ère méthode.
On calcule la dérivée première $f’$ de $f$. Pour tout $x\in\R$, on a :
$f'(x)=4x-3$.
Ainsi $f’$ est une fonction affine, dont le coefficient directeur, égal à $4$, est strictement positif. Donc $f’$ est strictement croissante sur $\R$.
Par conséquent, la La fonction $f$ est convexe sur $\R$.

2ème méthode.
On calcule la dérivée seconde ${f’}’$ de $f$. Pour tout $x\in\R$, on a :
$f'(x)=4x-3$. Donc ${f’}'(x)=4$.
Ainsi, Pour tout $x\in\R$ : ${f’}'(x)>0$.
Donc $f’$ est strictement croissante sur $\R$.
Par conséquent, la La fonction $f$ est convexe sur $\R$.

2°) Généralisation pour toutes les fonctions polynômes du second degré.
Soit $f$ une fonction polynômes du second degré définie sur $\R$ par :
$$f(x) = ax^2+bx+c$$
1ère méthode.
On calcule la dérivée première $f’$ de $f$. Pour tout $x\in\R$, on a :
$f'(x)=2ax+b$.
Ainsi $f’$ est une fonction affine, dont le coefficient directeur est égal à $m=2a$.
On distingue deux cas :
$\bullet$ $a<0\Leftrightarrow$ $f’$ strictement décroissante $\Leftrightarrow$ $f$ concave sur $\R$.
$\bullet$ $a>0\Leftrightarrow$ $f’$ strictement croissante $\Leftrightarrow$ $f$ convexe sur $\R$.

2ème méthode.
On calcule la dérivée seconde ${f’}’$ de $f$. Pour tout $x\in\R$, on a :
$f'(x)=2ax+b$. Donc ${f’}'(x)=2a =$ Constante.
Ainsi, le signe de ${f’}'(x)$ est le même que celui de $a$, le coefficient de $x^2$.
On obtient alors le même résultat avec le signe de la dérivée seconde.


Exercice résolu n°2.
1°) Étudier la convexité de la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$g(x) =(1-x)e^{x}$$
2°) En déduire que $C_g$ admet un point d’inflexion dont on donnera les coordonnées exactes.

Corrigé.
1°) Étudier la convexité de la fonction $g$.
1ère étape : calcul la dérivée première de la fonction $g$.
$g(x) =(1-x)e^{x}=u(x)\times v(x)$ et $(uv)’=u’v+uv’$.
avec $\left\{\begin{array}{rcl}
u(x) &=&(1-x) \\
u'(x) &=& -1\\
\end{array}\right.\quad$ et
$\quad\left\{\begin{array}{rcl}
v(x) &=&e^{x} \\
v'(x) &=& e^{x}\\
\end{array}\right.$
Donc : $g'(x)=-1\times e^{x}+(1-x)\times e^{x}=-x e^{x}$.
$$\color{brown}{\boxed{\;g'(x)=-x e^{x}\;}}$$

2ème étape : calcul la dérivée seconde de la fonction $g$.
$g'(x) =-xe^{x}=u(x)\times v(x)$ et $(uv)’=u’v+uv’$.
avec $\left\{\begin{array}{rcl}
u(x) &=&-x \\
u'(x) &=& -1\\
\end{array}\right.\quad$ et
$\quad\left\{\begin{array}{rcl}
v(x) &=&e^{x} \\
v'(x) &=& e^{x}\\
\end{array}\right.$
Donc : ${g’}'(x)=-1\times e^{x}+(-x)\times e^{x}=(-1-x)e^{x}$.
$$\color{brown}{\boxed{\;{g’}'(x)=-(1+x)e^{x}\;}}$$

3ème étape : étude du signe de la dérivée seconde de $g$.
${g’}'(x) = -(1+x)e^{x}$. On sait que la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Donc, le signe de ${g’}'(x)$ est le même que celuis de $-(1+x)$.
$\begin{array}{rcl}
{g’}'(x)\geqslant 0 &\Leftrightarrow& -(1+x)e^{x}\geqslant 0 \\
&\Leftrightarrow& -(1+x)\geqslant 0 \\
&\Leftrightarrow& 1+x\leqslant0 \\
&\Leftrightarrow& x\leqslant-1\\
\end{array}$
On en déduit immédiatement que :
${g’}'(x)<0\Leftrightarrow x>-1$
Doù le tableau de signes de ${g’}’$.
$$\begin{array}{|r|lcccr|}\hline
x &-\infty & & -1 & & +\infty\\ \hline
{g’}'(x) & &\color{brown}{+} & 0 & \color{brown}{-} & \\ \hline
\end{array}$$

4ème étape : On applique le théorème sur la convexité et la dérivée seconde de $g$.
$g$ est convexe $\Leftrightarrow$ ${g’}'(x)\geqslant 0$ $\Leftrightarrow x\leqslant -1$.
$g$ est concave $\Leftrightarrow$ ${g’}'(x)\leqslant 0$ $\Leftrightarrow x\geqslant -1$.
5ème étape.
Conclusion. D’après ce qui précède, on a alors :
$g$ est convexe sur l’intervalle $]-\infty;-1]$.
$g$ est concave sur l’intervalle $[-1;+\infty[$.

2°) En déduire que $C_g$ admet un point d’inflexion dont on donnera les coordonnées exactes.
D’après la question précédente, la dérivée seconde ${g’}’$ s’annule en $-1$ en changeant de signe. De plus $g(-1)=(1-(-1))e^{-1}=\dfrac{2}{e}$.
Conclusion. La courbe $C_g$ admet un point d’inflexion au point $A\left(-1;\dfrac{2}{e}\right)$.