Convexité et dérivées

  1. Fonctions convexes et concaves. Lecture graphique.
  2. Point d’inflexion d’une courbe.
  3. Convexité et dérivées.
  4. Convexité et positions des tangentes.

1. Convexité d’une fonction dérivable

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$.

Propriété 1.
Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
$\bullet$ La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $I$ ;
$\bullet$ La fonction $f’$ est croissante sur $I$ ;
$\bullet$ La fonction $f^”$ est positive sur $I$.

Nous pouvons énoncer une propriété équivalente pour les fonctions concaves.

Propriété 2.
Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
$\bullet$ La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $I$ ;
$\bullet$ La fonction $f’$ est décroissante sur $I$ ;
$\bullet$ La fonction $f^”$ est négative sur $I$.

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
1°) Étudier de deux manières, la convexité de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) =2x^2-3x+7$.
2°) Donner une généralisation pour toutes les fonctions polynômes du second degré.

Corrigé.
1°) Étudier de deux manières, la convexité de la fonction $f$.
1ère méthode.
On calcule la dérivée première $f’$ de $f$. Pour tout $x\in\R$, on a :
$f'(x)=4x-3$.
Ainsi $f’$ est une fonction affine, dont le coefficient directeur, égal à $4$, est strictement positif. Donc $f’$ est strictement croissante sur $\R$.
Par conséquent, la La fonction $f$ est convexe sur $\R$.

2ème méthode.
On calcule la dérivée seconde $f^”$ de $f$. Pour tout $x\in\R$, on a :
$f'(x)=4x-3$. Donc $f^”(x)=4$.
Ainsi, Pour tout $x\in\R$ : $f^”(x)>0$.
Donc $f’$ est strictement croissante sur $\R$.
Par conséquent, la La fonction $f$ est convexe sur $\R$.

2°) Généralisation pour toutes les fonctions polynômes du second degré.
Soit $f$ une fonction polynômes du second degré définie sur $\R$ par :
$$f(x) = ax^2+bx+c$$
1ère méthode.
On calcule la dérivée première $f’$ de $f$. Pour tout $x\in\R$, on a :
$f'(x)=2ax+b$.
Ainsi $f’$ est une fonction affine, dont le coefficient directeur est égal à $m=2a$.
On distingue deux cas :
$\bullet$ $a<0\Leftrightarrow$ $f’$ strictement décroissante $\Leftrightarrow$ $f$ concave sur $\R$.
$\bullet$ $a>0\Leftrightarrow$ $f’$ strictement croissante $\Leftrightarrow$ $f$ convexe sur $\R$.

2ème méthode.
On calcule la dérivée seconde $f^”$ de $f$. Pour tout $x\in\R$, on a :
$f'(x)=2ax+b$. Donc $f^”(x)=2a =$ Constante.
Ainsi, le signe de $f^”(x)$ est le même que celui de $a$, le coefficient de $x^2$.
On obtient alors le même résultat avec le signe de la dérivée seconde.

Exercice résolu n°2.
1°) Étudier la convexité de la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$g(x) =(1-x)e^{x}$$
2°) En déduire que $C_g$ admet un point d’inflexion dont on donnera les coordonnées exactes.

Corrigé.
1°) Étudier la convexité de la fonction $g$.
1ère étape : calcul la dérivée première de la fonction $g$.
$g(x) =(1-x)e^{x}=u(x)\times v(x)$ et $(uv)’=u’v+uv’$.
avec $\left\{\begin{array}{rcl}
u(x) &=&(1-x) \\
u'(x) &=& -1\\
\end{array}\right.\quad$ et $\left\{\begin{array}{rcl}
v(x) &=&e^{x} \\
v'(x) &=& e^{x}\\
\end{array}\right.$
Donc : $g'(x)=-1\times e^{x}+(1-x)\times e^{x}=-x e^{x}$.
$$\color{brown}{\boxed{\;g'(x)=-x e^{x}\;}}$$

2ème étape : calcul la dérivée seconde de la fonction $g$.
$g'(x) =-xe^{x}=u(x)\times v(x)$ et $(uv)’=u’v+uv’$.
avec $\left\{\begin{array}{rcl}
u(x) &=&-x \\
u'(x) &=& -1\\
\end{array}\right.\quad$ et $\left\{\begin{array}{rcl}
v(x) &=&e^{x} \\
v'(x) &=& e^{x}\\
\end{array}\right.$
Donc : $g^”(x)=-1\times e^{x}+(-x)\times e^{x}=(-1-x)e^{x}$.
$$\color{brown}{\boxed{\;g^”(x)=-(1+x)e^{x}\;}}$$

3ème étape : étude du signe de la dérivée seconde de $g$.
${g’}'(x) = -(1+x)e^{x}$. On sait que la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Donc, le signe de ${g’}'(x)$ est le même que celuis de $-(1+x)$.
$\begin{array}{rcl}
g^”(x)\geqslant 0 &\Leftrightarrow& -(1+x)e^{x}\geqslant 0 \\
&\Leftrightarrow& -(1+x)\geqslant 0 \\
&\Leftrightarrow& 1+x\leqslant0 \\
&\Leftrightarrow& x\leqslant-1\\
\end{array}$
On en déduit immédiatement que :
$g^”(x)<0\Leftrightarrow x>-1$
Doù le tableau de signes de ${g’}’$.
$$\begin{array}{|r|lcccr|}\hline
x &-\infty & & -1 & & +\infty\\ \hline
g^”(x) & &\color{brown}{+} & 0 & \color{brown}{-} & \\ \hline
\end{array}$$

4ème étape : On applique le théorème sur la convexité et la dérivée seconde de $g$.
$g$ est convexe $\Leftrightarrow$ $g^”(x)\geqslant 0$ $\Leftrightarrow x\leqslant -1$.
$g$ est concave $\Leftrightarrow$ $g^”(x)\leqslant 0$ $\Leftrightarrow x\geqslant -1$.
5ème étape.
Conclusion. D’après ce qui précède, on a alors :
$g$ est convexe sur l’intervalle $]-\infty;-1]$.
$g$ est concave sur l’intervalle $[-1;+\infty[$.

2°) En déduire que $C_g$ admet un point d’inflexion dont on donnera les coordonnées exactes.
D’après la question précédente, la dérivée seconde $g^”$ s’annule en $-1$ en changeant de signe. De plus $g(-1)=(1-(-1))e^{-1} = \dfrac{2}{e}$.

Conclusion. La courbe $C_g$ admet un point d’inflexion au point $A\left(-1;\dfrac{2}{e}\right)$.

  1. Fonctions convexes et concaves. Lecture graphique.
  2. Point d’inflexion d’une courbe.
  3. Convexité et dérivées.
  4. Convexité et positions des tangentes.

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