Convexité et positions des tangentes


1. Propriétés fondamentales

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Pour tout $a\in I$, on note $T_a$ la droite tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.

Propriété 1.
La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $I$ si et seulement si, la courbe $C_f$ est située au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$.

Illustration graphique.

Fig. 1. Fonction convexe. La courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Propriété 2.
La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $I$ si et seulement si, la courbe $C_f$ est située en dessous de toutes ses tangentes sur $I$.

Illustration graphique.

Fig. 2. Fonction concave. La courbe est en dessous de toutes ses tangentes

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x+1$. On désigne par $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$.
Déterminer la position relative de la courbe $C_f$ et sa tangente en $a=3$.

Corrigé.
1ère méthode. (qui ne marche pas !)
$\bullet$ On calcule la dérivée $f’$ de $f$.
$\bullet$ On détermine l’équation « $y=mx+p$ » de la droite $T_3$, tangente à la courbe au point d’abscisse $3$.
$\bullet$ On étudie le signe de la différence entre l’expression de $f(x)$ et celle de la tangente. On aboutit à une inéquation du 3ème degré, ou d’autres expressions, que nous ne savons pas résoudre.

2ème méthode. On utilise le théorème sur la convexité et les positions des tangentes.
1°) Première manière. Par lecture graphique.
On construit la courbe $C_f$ sur sa calculatrice ou à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. On détermine la convexité de la fonction $f$. Et on regarde où se trouve le point d’abscisse $a$ ; sur la partie convexe ou concave ?
Puis on conclut en utilisant les théorèmes ci-dessus.

Dans notre cas, par lecture graphique, il semble que la fonction $f$ soit convexe sur l’intervalle $[2;+\infty[$. Et $3\in [2;+\infty[$. Par conséquent, la courbe de $f$ est située au-dessus de sa tangente $T_3$.

2°) Deuxième manière. Par le calcul.
On calcule la dérivée seconde et on étudie son signe.
Après calcul, on obtient : $\color{brown}{\boxed{ \; f'(x) = x^2-4x+3\;}}$
et $\color{brown}{\boxed{ \; {f’}'(x)=2x-4\;}}$
On a alors :
${f’}'(x)=0\Leftrightarrow 2x-4=0\Leftrightarrow x=2$.
De plus : ${f’}'(x)<0\Leftrightarrow 2x-4<0\Leftrightarrow x<2$,
De même : ${f’}'(x)>0\Leftrightarrow x>2$.

Conclusion. Comme $3>2$ et ${f’}'(x)>0$ sur $[2;+\infty[$, la fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[2;+\infty[$. Et par conséquent, la courbe de $f$ est située au-dessus de sa tangente $T_3$.