Fonctions convexes et concaves. Lecture graphique

1. Convexité et lecture graphique

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

Définition 1.
La fonction $f$ est dite convexe sur l’intervalle $I$ si et seulement si, pour tous points $A$ et $B$ distincts de $C_f$, le segment $[AB]$ est situé au-dessus de la courbe $C_f$ entre les points $A$ et $B$.

Remarque.
Si on définit la cavité d’une courbe comme la partie « intérieure de la cuillère ». Alors $f$ est convexe si et seulement si, elle dirige sa cavité vers les $y$ positifs (vers le haut).

Illustration graphique

Fig. 1. Courbe d’une fonction convexe sur $[0;6]$.

Définition 2.
La fonction $f$ est dite concave sur l’intervalle $I$ si et seulement si, pour tous points $A$ et $B$ distincts de $C_f$, le segment $[AB]$ est situé en dessus de la courbe $C_f$ entre les points $A$ et $B$.

Remarque.
D’une manière analogue, la fonction $f$ est concave si et seulement si, elle dirige sa cavité vers les $y$ négatifs. (vers le bas ; vers la cave !)

Illustration graphique

Fig. 2. Courbe d’une fonction concave sur $[0;6]$.

2. Convexité des fonctions de référence

  1. Les fonctions constantes et affines sont représentées par des droites donc elles sont à la fois convexes et concaves sur tout intervalle $I$ de $\R$.
  2. La fonction carrée est convexe sur tout intervalle $I$ de $\R$.
  3. La fonction racine carrée est convexe sur tout intervalle $I$ de $[0;+\infty[$.
  4. La fonction cube est concave sur $]-\infty;0]$, et convexe sur $[0;+\infty[$.
  5. La fonction exponentielle est convexe sur tout intervalle $I$ de $\R$.
  6. La fonction logarithme népérien est concave sur tout intervalle $I$ de $]0;+\infty[$.
  7. Si $f$ est une fonction polynôme du second degré définie par : $f(x)=ax^2+bx+c$, $a\not=0$. Alors :
    • $f$ est convexe sur $\R$, si et seulement si $a>0$.
    • $f$ est concave sur $\R$, si et seulement si $a>0$.

Tracez les courbes de ces fonctions pour le voir.

3. Étude de la convexité d’une courbe

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

Pour étudier la convexité d’une fonction par lecture graphique, il suffit de déterminer les différents intervalles sur lesquels elle est convexe puis concave.

Exercice résolu n°1.
Étudier la convexité de la fonction $f$ définie par sa représentation graphique $C_f$ ci-dessous.

Corrigé.
Par lecture graphique, la courbe de $f$ dirige sa cavité vers le bas (les $y$ négatifs) sur $]-\infty;2]$, et dirige sa cavité vers le haut (les $y$ positifs) sur $[2;+\infty[$.
Par conséquent, il est clair que la fonction $f$ est concave sur l’intervalle $]-\infty;2]$ et convexe sur l’intervalle $[2;+\infty[$.
On dit qu’elle change de convexité au point d’abscisse $2$.