1. Ce que dit le programme
Deux points fondamentaux du programme de première sont ici étudiés : le concept de dérivée, avec ses applications à l’étude des fonctions, et la fonction exponentielle.
L’étude de la dérivation distingue le point de vue local (nombre dérivé) et le point de vue global (fonction dérivée). Les fonctions étudiées sont toutes régulières et le nombre dérivé est introduit à partir de la perception intuitive de la limite du taux de variation. On n’en donne pas de définition formelle, mais on s’appuie sur :
— des représentations graphiques fournies par les outils logiciels (calculatrice, tableur, logiciel de géométrie dynamique) ;
— le calcul algébrique du taux de variation dans des cas qui s’y prêtent : fonctions du second degré, fonction inverse ;
— le calcul numérique d’expressions $f(a+h)-f(a)$, où $h$ prend des valeurs proches de $0$, faisant apparaître une approximation linéaire, par exemple avec $a = 1$ et $f$ étant une des fonctions carré, inverse, racine carrée.
Il est intéressant d’exploiter ces divers registres dans l’étude d’un même nombre dérivé.
Taux de variation et nombre dérivé gagnent à être illustrés dans des contextes variés :
— en géométrie, ils représentent la pente d’une sécante et la pente d’une tangente ;
— en cinématique, on peut interpréter un taux de variation comme une vitesse moyenne et un nombre dérivé comme une vitesse instantanée ;
— dans un cadre économique, le nombre dérivé est relié au coût marginal.
2. Les fonctions dérivées
- Rappel. Équations de droites.
1.1. Forme générale d’une équation de droite dans le plan.
1.2. Coefficient directeur. Ordonnée à l’origine.
1.3. Interprétation graphiques. - Dérivation locale. Nombre dérivé et droite tangente en un point à une courbe
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2.1. Formules de calcul du taux d’accroissement d’une fonction entre deux points $A$ et $B$.
2.2. Nombre dérivé en un point
2.3. Équation de la droite tangente à une courbe en un point.
2.4. Comment calculer le nombre dérivé en utilisant la définition ?
2.5. Calcul du nombre dérivé d’une fonction à la calculatrice
2.6. Exercices résolus. - Dérivation globale. Fonctions dérivables sur un intervalle.
3.1. Définition d’une fonction dérivée
3.2. Dérivées des fonctions usuelles. Fonctions carrée, inverse, cube et racine carrée. Démonstrations.
3.3. Opérations sur les fonctions dérivables. Dérivées des fonctions composées : somme, produit, inverse, quotient. Démonstrations.
3.4. Fonction dérivée de $g(ax+b)$.
3.5. Pour $n\in\Z$, fonction dérivée de $x \mapsto x^n$.
3.6. Exercices résolus. - Application de la dérivée pour étudier le sens de variation d’une fonction.
Fonction croissante. Fonction décroissante. Fonction constante sur un intervalle.
1.5. Exercices résolus