Dérivation locale. Nombre dérivé et droite tangente en un point à une courbe

1. Nombre dérivé et tangente en un point

1.1. Taux d’accroissement

Définition 1.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$. Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)\in{\mathcal C}_f$. $x_A\not=x_B$.
On appelle taux d’accroissment $\tau(x_A;x_B)$ de la fonction $f$ entre $x_A$ et $x_B$, le nombre réel : $$\color{brown}{\begin{array}{c}
\boxed{\;\tau(x_A;x_B)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\;}\\
\boxed{\; \tau(x_A;x_B)=\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}\;}\end{array} }$$
C’est le coefficient directeur de la droite $(AB)$ où $A(a ; f(a))$ et $B(b;f(b))$.

$\tau$ est la lettre grecque « tau ». Ça tombe bien !

Dans ce contexte, $\Delta x$ peut se lire « accroissement » entre $x_A$ et $x_B$ ou « différence » entre $x_B$ et $x_A$.

Autre méthode. Si on pose $h=b-a$, alors $b=a+h$ et $\Delta x=h$. On obtient une deuxième version de cette définition :

Définition 2.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $a\in I$. Soit $h$ un nombre réel non nul, proche de zéro, tel que $a+h\in I$. On appelle taux d’accroissment de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$, le nombre réel : $$\color{brown}{\boxed{\;\tau(a;a+h)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\;}}$$ C’est le coefficient directeur de la droite $(AM)$ où $A(a ;f(a))$ et $M(a+h ;f(a+h))$.

Exemple 1.

Exercice résolu n°1.
Déterminer le taux d’accroissement de la fonction $f:x\mapsto x^2$, entre $1$ et $1+h$.

1.2. Nombre dérivé en un point

Faisons maintenant tendre $h$ vers $0$.

Lorsque $h$ prend des valeurs $h_1$, $h_2$, $h_3$,… « de plus en plus proches de $0$ », le point $M$ prend successivement les positions $M_1$, $M_2$, $M_3$,… et $a+h$ prend des valeurs « de plus en plus proches de $a$ » ; les droites $(AM_1)$, $(AM_2)$, $(AM_3)$,… tendent vers une position limite : la droite $T_a$, tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.

Le coefficient directeur de cette droite $T_a$ s’appelle le nombre dérivé de la fonction au point d’abscisse $a$ et se note $f'(a)$.

Définition 3.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et.On dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ tend vers un nombre réel fini, noté $f$ ‘(a), lorsque $h$ tend vers $0$ et on écrit : $$\boxed{\; f’(a)= \dlim_{h\to0}\tau(a;a+h) \;}$$ Donc : $$\color{brown}{\boxed{\; f’(a)= \dlim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\;}}$$
Le nombre réel $f'(a)$, lorsqu’il existe, s’appelle le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$ et désigne le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.
(A connaître par coeur…).

Remarque importante.

Dans un repère orthonormé, $O, \vec{\imath},\vec{\jmath})$, le coefficient directeur de la droite tangente $T_a$, donc le nombre dérivé de la fonction $f$, désignent aussi la pente de la droite $T_a$ par rapport à l’axe des abscisses.

Exemple 2.

Exercice résolu n°2.
La fonction carrée définie sur $\R$ par $f :x\mapsto x^2$, est-elle dérivable en $a=1$~? Si oui, calculez $f'(1)$.

---

Par conséquent, la droite $T_1$, la pente de la droite tangente à la courbe au point d’abscisse $1$ est égale à $f'(1)=2$ qu’on peut écrire : $2=\dfrac{2}{1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
Ce qui signifie que : à partir du point $A(1;1)$, on avance de $\Delta x=1$ et on monte de $\Delta y=2$.

Qu’est-ce qu’une fonction non dérivable en $a$ ?

On distingue trois cas de fonctions non dérivables en un point $a\in I$.

1. Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, admet une limite égale à $\pm\infty$ lorsque $h$ tend vers~$0$ à gauche ou à droite.
2. Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, admet deux limites distinctes (finies ou infinies) à gauche et à droite de $a$, lorsque $h$ tend vers~$0$.
3. La limite du taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ n’existe pas, lorsque $h$ tend vers~$0$.

Exemple 3.

Exercice résolu n°3.
La courbe suivante représente la fonction racine carrée, définie sur $[0;+\infty[$ par : $f(x)=\sqrt{x}$. Montrer que la fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$.

---

Une droite de pente infinie est une droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées).
La tangente $T_0$ à la courbe au point d’abscisse $0$ est donc une droite parallèle à l’axe des ordonnées (verticale). Elle n’a pas de coefficient directeur ! On peut en déduire que la fonction $f :x\mapsto\sqrt{x}$ n’est pas dérivable en $0$.

Exemple 4.

Exercice résolu n°4.
On considère la fonction valeur absolue définie sur $\R$ par : $f(x)=\begin{cases}~~x & \text{si $x\geqslant0$,} \\ -x & \text{si }x<0\end{cases}$
1°) Construire la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
2°) Démontrer que la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en $0$.

Corrigé de l’exercice n°4.
1°) La courbe représentative de la fonction valeur absolue dans un repère orthonormé.

2°) Faites le calcul.
La courbe de la fonction valeur absolue, en « V », admet deux demi-tangentes en $0$ avec des coefficients différents, $-1$ à gauche de $0$ et $1$ à droite de $0$. Donc, la fonction valeur absolue est définie en $0$, pas dérivable en $0$.

Exemple 5.

Exercice résolu n°5.
On présente ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}\abs{x^2-4}$ n’est pas dérivable en $x=-2$ et en $x=2$. Expliquez pourquoi.

Au point $A(2;0)$ [comme au point $B(-2;0)$], la courbe forme un angle et admet deux demi-tangentes à gauche et à droite de $a=2$, qui n’ont pas le même coefficient directeur. La fonction $f$ n’est donc pas dérivable en $2$. On dit que la courbe de $f$ admet un point anguleux en chacun de ces deux points.

1.3. Équation de la droite tangente

Théorème 1.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $a\in I$. Si $f$ est dérivable en $a$ et a pour nombre dérivé $f'(a)$, alors la droite $T_a$ passant par le point $A(a,f(a))$ et de coefficient directeur $f'(a)$, est tangente à la courbe $\mathcal C_f$ au point $A$. L’équation réduite de $T_a$ est donnée par : $$\boxed{\;\;y = f'(a)(x-a) + f(a)\;\;}$$

---

Exemple 6.

Exercice résolu n°6.
Soit $f$ la fonction carrée définie sur $\R$ par : $f(x)=x^2$. Déterminer l ‘équation de la droite $T_1$, tangente à la courbe au point d’abscisse $1$.

1.4. Comment calculer le nombre dérivé en utilisant la définition ?

Exemple 7.

Exercice résolu n°7.
Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;5]$ par : $f(x)=-x^2+3x-5$. Calculer le nombre dérivé de $f$ en $2$ en utilisant la définition. On effectue les calculs en deux étapes :

---

Calcul du nombre dérivé d’une fonction à la calculatrice

2. Fonctions dérivées

2.1. Fonction dérivée

Nous venons de définir le nombre dérivé d’une fonction en un point, nous allons maintenant étendre cette notion à tous les points d’un intervalle.

Définition 4.
1°) Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.
On dit que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $I$ si et seulement si elle est dérivable en tout nombre $x\in I$.
2°) Si $f$ est dérivable sur l’intervalle $I$, alors on définit une nouvelle fonction sur $I$, notée $f’$ qui à tout nombre $x\in I$ fait associer le nombre dérivé $f’(x)$.
La fonction $f’$ s’appelle la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $I$.

Remarque.

Une fonction $f$ définie sur un domaine $D_f$, n’est pas nécessairement dérivable en tout point de $D_f$. On peut dire donc que le domaine de définition $D_{f’}$ de $f’$, qui est contenu dans $D_f$ n’est pas nécessairement égal à $D_f$. $$\boxed{\;D_{f’}\subset D_{f}\;}$$

On considère la fonction racine carrée $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$. Son domaine de définition est : $$\color{brown}{\boxed{\;D_{f’}=]0;+\infty[\;}}$$

Or, nous avons vu que cette fonction est dérivable en tout point $x>0$ et $f$ n’est pas dérivable en $0$. Donc $0\in D_{f}$ mais $0\not\in D_{f’}$. Par conséquent : $$\color{brown}{\boxed{\;D_{f’}=]0;+\infty[\;}}$$

2.2. Dérivées des fonctions usuelles

Dans le théorème suivant, nous donnons les expressions des fonctions dérivées des fonctions usuelles. On rappelle que la fonction valeur absolue est définie sur $\R$ par : $f(x)=\abs{x}=\begin{cases} x & \text{si $x > 0$,} \\ -x & \text{sinon} \end{cases}$

Théorème 2. Dérivées des fonctions simples.
Soit $f$ une fonction définie sur $I$, un intervalle de $\R$ et $f’$ sa fonction dérivée sur $I$. On peut résumer les expressions des dérivées des fonctions usuelles dans le tableau suivant :
$$\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline
D_{f}&\text{Fonction }f & \text{Fonction dérivée }f’&D_{f’}\\ \hline
\R &f(x)=k,\; k\in\R &f’(x)=0 &D_{f’}=\R\\
\R &f(x)=x &f’(x)=1 &D_{f’}=\R\\
\R &f(x)=x^2 &f’(x)=2x &D_{f’}=\R\\
\R &f(x)=x^3 &f’(x)=3x^2 &D_{f’}=\R\\
\R &f(x)=x^n &f’(x)=nx^{n-1} &D_{f’}=\R\\ \hline
[0;+\infty[ &f(x)=\sqrt{x} &f’(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} &D_{f’}=]0;+\infty[\\ \hline
\R&f(x)=\abs{x}&f’(x)=\begin{cases} 1 & \text{si $x>0$,} \\ -1 & \text{si }x<0\end{cases}&D_{f’}=\R^{*}\\ \hline
\R^{*}&f(x)=\dfrac{1}{x} &f’(x)=-\dfrac{1}{x^2} &D_{f}=\R^{*}\\ \hline
\R^{*}&f(x)=\dfrac{1}{x^n} &f’(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}} &D_{f}=\R^{*}\\ \hline
\end{array}$$

Remarque très importante.

Nous avons déjà vu que la fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$. Donc, son domaine de dérivation est : $D_{f’}=]0;+\infty[$ (le $0$ est exclu !).
La fonction valeur absolue est définie sur $\R$. Sa courbe en « V » admet deux demi-tangentes en $0$ avec des coefficients différents, $-1$ à gauche de $0$ et $1$ à droite de $0$. Donc, la fonction valeur absolue est définie en $0$, pas dérivable en $0$.

---

3. Opérations sur les fonctions dérivables
3.1. Fonctions composées

Définition 5.
Soit $I$ un intervalle de $\R$.
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies sur un même intervalle $I$ de $\R$ et $k$ un nombre réel donné. On définit de nouvelles fonctions dites composées à partir de $u$ et $v$.

Exemples. Pour tout $x\in I$ :
1°) La fonction somme $u+v$ est définie sur $I$ par : $(u+v)(x)=u(x)+v(x)$
2°) La fonction $ku$, produit de $u$ par le réel $k$, est définie sur $I$ par : $(ku)(x)=k\times u(x)$.
3°) La fonction produit $uv$ est définie sur $I$ par : $(uv)(x)=u(x) v(x)$.
4°) Si pour tout $x\in I$ : $v(x)\not=0$. Alors, la fonction inverse de $v$ est la fonction $\dfrac{1}{v}$ définie par : $\left(\dfrac{1}{v}\right)(x)=\dfrac{1}{v(x)}$.
5°) La fonction quotient $\dfrac{u}{v}$ est la fonction définie sur $I$ par :
$\left(\dfrac{u}{v}\right)(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$.

Exemples.

Exercice résolu n°8.
1°) Si $u(x)=x^2$, alors la fonction produit de $u$ par $5$ est la fonction $f$ définie par : $$ f (x) = 5\times u(x) = 5x^2$$
2°) La fonction $g$ définie par : $g(x)=5x^2+ 3x–7$ est la somme de trois fonctions simples.

---

Dérivabilité des fonctions composées

Ce théorème que nous allons utiliser pour calculer les premières dérivées

Théorème 3. (Très important)
1°) Toute fonction polynôme est définie et dérivable sur $\R$, qu’on peut dériver terme à terme avec la formule $$\boxed{\;(ax^n)’=n\times ax^{n-1}\;}$$
2°) Toute fonction composée de fonctions définies et dérivables sur un intervalle, est dérivable sur cet intervalle.

Nous allons appliquer ce théorème à toutes les fonctions composées des fonctions de référence données dans le premier tableau des fonctions usuelles.

Dérivées de fonctions composées

Théorème 4.
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$ de $\R$ et $k$ un nombre réel donné. Alors,
1°) La somme $u+v$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $(u+v)'(x)=u’ (x)+v'(x)$
2°) En particulier, la fonction $ku$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $(ku)'(x) =ku'(x)$
3°) Le produit $uv$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $(uv)'(x) =u'(x)v(x)+u(x)v’(x)$
4°) En particulier, la fonction $u^2$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $(u^2)'(x) =2u'(x)u(x)$.
5°) Plus généralement, la fonction $u^n$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $$(u^n)'(x) =nu'(x)[u(x)]^{n-1}$$
6°) Si $v(x)\not=0$, pour tout $x\in I$, alors la fonction quotient $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $$\left( \dfrac{u(x)}{v(x)}\right)’ =\dfrac{u’(x)v(x)-u(x)v’(x)}{[v(x)]^2}$$
7°) En particulier, si $v(x)\not=0$, pour tout $x\in I$, alors la fonction inverse $\dfrac{1}{v}$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $$\left( \dfrac{1}{v(x)} \right)’=-\dfrac{v’(x)}{[v(x)]^2}$$

Théorème 4bis.
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$ de $\R$ et $k$ un nombre réel donné. Alors, on peut résumer les dérivées des fonctions composées d’une manière symbolique dans le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|}\hline
&\text{Fonction composée} & \text{Fonction dérivée }\\ \hline
1°) &u+v & u’ + v’ \\ \hline
2°) &ku & ku’ \\ \hline
3°) &uv &u’v+uv’ \\ \hline
4°) &u^2 &2u’u \\ \hline
5°) &u^n, n\in\Z &nu’u^{n-1} \\ \hline
6°) &\dfrac{u}{v} & \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ \hline
7°) &\dfrac{1}{v} & -\dfrac{v’}{v^2} \\ \hline \end{array}$$

Cas particulier très important

Théorème 5.
Soit $I$ un intervalle de $\R$. Soient $m$ et $p$ deux nombres réels tels que pour tout réel $x\in I$, g(x)\in I$. Alors la fonction $f$ définie sur l’intervalle $I$ par $f(x)=g(mx+p)$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $$\boxed{~f'(x)=m\times g'(mx+p)~}$$

Exemple 9.

Exercice résolu n°9.
Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=(3x-2)^5$$

4. Signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction

4.1. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction

Nous avons déjà vu que le nombre dérivé d’une fonction en un point d’abscisse $a\in I$ désigne le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe en ce point.
Or la droite tangente est la représentation graphique d’une fonction affine dont le sens de variation dépend du signe du coefficient directeur $m$.

Si $m>0$, la droite tangente correspond à une fonction strictement croissante et si $m<0$, la droite tangente correspond à une fonction strictement décroissante.
Le théorème suivant nous montre que le sens de variation de la fonction $f$ sur un intervalle $I$, est justement déterminé par le signe de sa dérivée sur cet intervalle.

---

Théorème 6. (Théorème fondamental)
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$. Alors :
1°) $f$ est strictement croissante sur $I$ si, et seulement si, $f'(x)>0$ pour tout $x\in I$.
2°) $f$ est strictement décroissante sur $I$ si, et seulement si, $f'(x)<0$ pour tout $x\in I$.
3°) $f$ est Constante sur $I$ si, et seulement si, $f'(x)=0$ pour tout $x\in I$.

4.2. Extremums d’une fonction

Définition 6.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $a\in I$.
1°) On dit que $f$ admet un minimum en $a$ sur $I$ si, et seulement si : pour tout $x\in I$ : $[f(x)\geqslant f(a)]$.
2°) On dit que $f$ admet un maximum en $a$ sur $I$ si, et seulement si : pour tout $x\in I$ : $[f(x)\leqslant f(a)]$.
3°) On dit que $f$ admet un extremum en $a$ sur $I$ si, et seulement si $f$ admet un minimum en $a$ ou un maximum en $a$

Théorème 7.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$. Alors :
$f$ admet un extremum en $a$ sur $I$ si et seulement si, la dérivée $f’$ s’annule en $a$ en changeant de signe.

En particulier, $f$ admet un maximum en $a$ sur $\R$, si et seulement si, $f$ est strictement croissante $]-\infty;a[$ puis strictement décroissante sur $]a;+\infty[$ et $f'(a)=0$. Ce qui équivaut à dire que $f'(x)>0$ pour tout $x<a$, $f'(x)<0$ pour tout $x>a$ et $f'(a)=0$.

4.3. Tableau de variations de la fonction $f$

En Seconde, le tableau de variations d’une fonction comporte toujours deux lignes. Une ligne pour les variations de $x$ et une deuxième ligne pour les variations de $f(x)$.

Désormais, en Première, un tableau de variation comportera trois lignes. On rajoutera en deuxième ligne le signe de la fonction dérivée.

Exemple 10.

Exercice résolu n°10.
1°) Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $[-2;5]$ par : $$f(x)=x^2-4x+3$$
2°) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-2;5]$.
3°) Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O; \vec{\imath},\vec{\jmath} )$.

5. Exemples de calcul des dérivées

Exercice résolu n°1.
Donner le domaine de définition puis le domaine de dérivation puis calculer la dérivée de la fonction suivante : $f(x)=2x^2-7x+12$
(On pourra vérifier les calculs à l’aide d’une calculatrice formelle ou d’un logiciel de géométrie dynamique).

Il suffit de « combiner » les « formules » de dérivation des théorèmes 2 et 3.

Exercice résolu n°2.
Donner le domaine de définition puis le domaine de dérivation puis calculer la dérivée de la fonction suivante : $g(x)=2x^3-5x^2+2x-10$
(On pourra vérifier les calculs à l’aide d’une calculatrice formelle ou d’un logiciel de géométrie dynamique).

---

Exercice résolu n°3.
Donner le domaine de définition et calculer la dérivée de la fonction suivante. En déduire le domaine de dérivabilité de la fonction définie par : $h(x)=x^2+\dfrac{3}{x}$
(On pourra vérifier les calculs à l’aide d’une calculatrice formelle ou d’un logiciel de géométrie dynamique).

Exercice résolu n°4.
Donner le domaine de définition puis le domaine de dérivation puis calculer la dérivée de la fonction suivante. (On pourra vérifier les calculs à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel dynamique). $$k(x)=4\sqrt{x}-\dfrac{5}{x}$$

Exercice résolu n°5.
Donner le domaine de définition puis le domaine de dérivation puis calculer la dérivée de la fonction suivante. (On pourra vérifier les calculs à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel dynamique). $$f(x)=x^3(3x^2-5x+7)$$

Exercice résolu n°6.
Donner le domaine de définition puis le domaine de dérivation puis calculer la dérivée de la fonction suivante. (On pourra vérifier les calculs à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel dynamique). $$g(x)=\dfrac{x2+1}{3x^2+7)$$

Vues : 980