Sommaire

1. Coefficient multiplicateur

Dans toute la suite, on considère deux nombres réels strictement positifs $y_1$ et $y_2$.

Définition 1.
On considère deux nombres réels strictement positifs $y_1$ et $y_2$.
$y_1=\color{red}{V_I = \textrm{valeur initiale}}$ et $y_2=\color{red}{V_F = \textrm{valeur finale}}$.
On appelle coefficient multiplicateur de $y_1$ à $y_2$, le nombre réel $k$ strictement positif tel que
$$\color{red}{\boxed{\; y_2=k y_1\; }\; (1)}\quad \textrm{ou}\quad \color{red}{\boxed{ \; V_F=k \times V_I\; }\; (1)}$$
ou encore :
$$\color{red}{\boxed{\; y_1=\dfrac{y_2}{k} \; }\; (2)}\quad \textrm{ou}\quad \color{red}{\boxed{\; V_I=\dfrac{V_F}{k} \; }\; (2)}$$
Ce qui donne :
$$\color{red}{\boxed{\; k= \dfrac{y_2}{y_1} \; }\; (3)} \quad \textrm{ou}\quad \color{red}{\boxed{\; k= \dfrac{V_F}{V_I}} \; (3) }$$
Le coefficient multiplicateur $k$ est un nombre sans unité.

Propriété 1.
On considère deux nombres réels strictement positifs $y_1$ et $y_2$. Si on appelle $t$ le taux d’évolution et $k$ le coefficient multiplicateur de $y_1$ à $y_2$, alors :
$$\color{red}{\boxed{\; k= 1+t\;}}\; \textrm{(4)}\quad \textrm{et}\quad \color{red}{\boxed{\; t = k-1\; }} \;\textrm{(5)}$$
Par suite : $$ \color{red}{\boxed{\; y_2= (1+t)y_1\;}}\; \textrm{(6)}$$

En effet : $k-1=\dfrac{y_2}{y_1}-1= \dfrac{y_2}{y_1}- \dfrac{y_1}{y_1}= \dfrac{y_2-y_1}{y_1}=t$.
D’où $k-1=t$ ou encore $k=1+t$. Et comme $y_2=ky_1=(1+t)y_1$.

Propriété 2.
1°) Un coefficient multiplicateur entre $y_1$ et $y_2$ strictement supérieur à $1$ correspond à une augmentation ou une hausse.
2°) Un coefficient multiplicateur entre $y_1$ et $y_2$ compris strictement entre $0$ et $1$ correspond à une diminution ou une baisse.

2. Exercices résolus

Exercice 1.
Dans chacun des cas, calculer le taux d’évolution, le coefficient multiplicateur et préciser s’il s’agit d’une augmentation ou d’une diminution.
1°) Une augmentation de 5% ;
2°) Une diminution de 5% ;
3°) $k=1,2$
4°) $k=0,85$
5°) $y_1=40$ et $y_2=30$ ;
6°) $y_2=40$ et $y_2=48$ ;

Corrigé.
1°) Une augmentation de 5% correspond à $t =5\%=\dfrac{5}{100}=+0,05$, donc : $\color{red}{\boxed{\; t =+0,05\; }}$. Donc $k=1+t=1+0,05$. Donc $\color{red}{\boxed{\; k=1,05\; }}$.

2°) Une diminution de 5% correspond à $t =-5\%=\dfrac{-5}{100}=-0,05$, donc : $\color{red}{ \boxed{\; t =-0,05\; }}$. Donc $k=1+t=1+(-0,05)=0,95$. Donc $\color{red}{\boxed{\; k=0,95\; }}$.

3°) $k=1,2$, donc $t=k-1=0,2=0,20=\dfrac{20}{100}$, donc $\color{red}{ \boxed{\; t=0,02\; }}$ ou encore $\color{red}{\boxed{\; t=20\%\; }}$.
Comme $k>1$ (ou $t>0$), il s’agit d’une augmentation de $20\%$.

4°) $k=0,85$, donc $t=k-1=0,85-1=-0,15 = \dfrac{-15}{100}$, donc $\color{red}{ \boxed{\; t=-0,15\; }}$ ou encore $\color{red}{\boxed{\; t=-15\%\; }}$.
Comme $k<1$ (ou $t<0$), il s’agit d’une diminution de $15\%$.

5°) $y_1=40$ et $y_2=30$. On peut aussi bien calculer $t$ que $k$ directement et en déduire l’autre en utilisant une des formules (4) ou (5).
Calcul de $t$ :
$t=\dfrac{y_2-y_1}{y_1}=\dfrac{30-40}{40}=-0,25$. Donc : $t=-0,25$ ou encore $\color{red}{\boxed{\; t=-25\%\; }}$.
On en déduit que : $k=1+t=1-0,25 =0,75$. Donc $\color{red}{\boxed{\; k=0,75\; }}$.
Comme $k<1$ (ou $t<0$), il s’agit d’une diminution de $25\%$.

6°) $y_2=40$ et $y_2=48$. Cette fois, on commence par calculer $k$.
Calcul de $k$ :
$k=\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{48}{40}=1,2$. Donc : $\color{red}{\boxed{\; k=1,2\; }}$. On en déduit que : $t=k-1=1,2-1=0,2$. Donc $\color{red}{\boxed{\; t=0,2\; }}$ ou encore : $\color{red}{\boxed{\; t=20\%\; }}$. Comme $t>0$ (ou $k>1$), il s’agit d’une augmentation de $20\%$.

Exercice 2.
Le chiffre d’affaire d’une entreprise est passé de 65 500 € en 2016 à 72 050 € en 2017.
1°) Calculer le coefficient multiplicateur de 65 500 à 72 050
2°) En déduire le taux d’évolution du chiffre d’affaire.
3°) Quel était le chiffre d’affaire de cette entreprise en 2015, sachant qu’elle a connu la même évolution de 2015 à 2016 que de 2016 à 2017 ?

Corrigé.
1°) Attention ! La question dit « Calculer le coefficient multiplicateur de 65 500 à 72 050 », je dois donc faire un calcul direct. Or, par définition, le coefficient multiplicateur de y1 à y2, est donné par :
$k=\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{72050}{65500}=1,1$. Donc : $\color{red}{\boxed{\; k=1,1\; }}$.

2°) Ici, la question dit « en déduire » la valeur du taux d’évolution du chiffre d’affaire, on applique la formule qui relie le taux d’évolution au coefficient multiplicateur de $y_1$ à $y_2$.
On sait que $k=1+t$ donc $t=k-1=1,1-1=0,1$ ou encore $\color{red}{\boxed{\; t=+10\%\; }}$.
Conclusion : Lc chiffre d’affaire a subi une augmentation de 10% entre 2016 et 2017.

3°) Calcul du chiffre d’affaire $y_0$ de l’entreprise en 2015.
On sait que l’entreprise a subi une augmentation de 10% de 2015 à
2016. Donc $t=0,10$ et $k=1,10$.

1ère méthode : j’utilise $k$ pour calculer $y_0$. (Très rapide)
$ k=\dfrac{y_1}{y_0} $ donc $ky_0=y_1$ ou encore : $y_0=\dfrac{y_1}{k}=\dfrac{65500}{1,1}=59545,45$.
Conclusion. L’entreprise a réalisé un chiffre d’affaire d’environ $59545$ €.

2ème méthode : j’utilise $t$ pour calculer $y_0$.
$y_1=(1+t)y_0$ donc $y_0=\dfrac{y_1}{1+t}$ donc $y_0=\dfrac{65500}{1,1}=59545,45$.
Conclusion. L’entreprise a réalisé un chiffre d’affaire d’environ $59545$ €.