1. Indice base 100

Dans toute la suite, on choisit une année de référence qu’on appelle « l’année $0$ ». On va définir l’indice de base 100 l’année $n$ par rapport à la valeur de référence l’année $0$.

Définition 1.
On considère une grandeur ayant pour valeur $y_0$ l’année $0$ et $y_n$ l’année $n$. On appelle indice simple en base 100 de $y_n$ par rapport à $y_0$ ou simplement indice base 100 de $y_n$ par rapport à $y_0$, le nombre $I(n)$ tel que l’évolution qui fait passer de $y_0$ à $y_n$, fait passer de $100$ à $I$ proportionnellement. Ce qui donne : $$ \color{red}{\boxed{\; I(n)=\dfrac{\textrm{Valeur l’année}\; n}{ \textrm{Valeur de référence}}\times 100\; }} \quad\textrm{ou}\quad\color{red}{\boxed{\; I(n)=\dfrac{y_n}{y_0}\times 100\; }}$$
On obtient ainsi le tableau de proportionnalité suivant :

Valeur de référenceValeur l’année $n$
Valeurs$y_0$$y_n$
Indices$\color{red}{100}$ $\color{red}{I(n)}$

2. Relation entre l’indice et le taux d’évolution

Propriété n°1 :
On considère une grandeur ayant pour valeur $y_0$ l’année $0$ et $y_n$ l’année $n$. On note $t$ le taux d’évolution de $y_0$ à $y_n$ et $I(n)$ l’indice de $y_n$ par rapport à $y_0$, alors on a les deux relations :
$$\color{red}{\boxed{\; I(n) =(1+t)\times 100\; }} \quad\textrm{et}\quad \color{red}{\boxed{\; t=\dfrac{I(n)-100}{100}\; }}$$
Le calcul du taux d’évolution peut se faire à partir des valeurs ou à partir des indices, avec la formule : $$ \color{red}{\boxed{\; t = \dfrac{\textrm{Valeur finale}-\textrm{Valeur initiale} }{\textrm{Valeur initiale}} \; }}$$

3. Relation entre l’indice et le coefficient multiplicateur

Propriété n°2.
On considère une grandeur ayant pour valeur $y_0$ l’année $0$ et $y_n$ l’année $n$. On note $k$ le coefficient multiplicateur de $y_0$ à $y_n$ et $I(n)$ l’indice de $y_n$ par rapport à $y_0$, alors on a les deux relations :
$$ \color{red}{\boxed{\; I(n) =k\times 100\; }} \quad\textrm{et}\quad
\color{red}{\boxed{\; k=\dfrac{I(n)}{100}\; }} $$

Exercices résolus

Exercice résolu 1.
Une grandeur mesure $y_0=560$ l’année 2017 et $y_1=644$ en 2018.
1°) Déterminer l’indice en 2018 en prenant 2017 comme année de référence.
2°) En déduire le taux d’évolution de cette grandeur entre 2017 et 2018

Corrigé.
1°) L’ année de référence est 2017 donc d’indice 100. Alors l’indice base 100 en 2018 est donné par :
$$ I(2018)=\dfrac{\textrm{Valeur en 2018}}{\textrm{Valeur de référence en 2017}}\times 100$$
Donc $$I(2018) = \dfrac{644}{560}\times 100 = \color{red}{\boxed{\; 115\; }}$$

2°) Recherche du taux dévolution par le calcul :
La question dit « En déduire ». Donc, on doit utiliser la formule avec les indices.
$ t = \dfrac{V_F -V_I}{V_I} = \dfrac{I(2018)-100}{100} $. Donc : $t=\dfrac{115-100}{100} =0,15=15\%$. D’où : $\color{red}{\boxed{\; t=15\%\; }}$

2°bis) Calcul du taux d’évolution avec les valeurs :
$ t = \dfrac{V_F -V_I}{V_I} = \dfrac{644-560}{560}$. Donc : $t=\dfrac{84}{560} =0,15=15\%$. D’où : $\color{red}{\boxed{\; t=15\%\; }}$.
On obtient le même résultat.

Remarque importante.
L’écriture en pourcentages est bien plus pratique pour la « lecture directe » du taux d’évolution. On écrit :
$\rightarrow$ Indice l’année 2018 : $115$
$\rightarrow$ Indice de référence : $100$
On calcule la différence : $115 – 100=$ taux en pourcentage $= \color{red}{\boxed{\; 15\%\; }}$.

Exercice résolu 2.
En 2018, le chiffre d’affaire d’une entreprise a baissé de 15% par rapport à 2017.
1°) Calculer le coefficient multiplicateur du chiffre d’affaire entre 2016 et 2017.
2°) En déduire l’indice base 100 du chiffre d’affaire en 2018, en prenant 2017 comme année de référence.

Corrigé.
1°) Calcul du coefficient multiplicateur.
On note $y_0$ et $y_1$ les chiffres d’affaire de l’entreprise en 2017 et 2018 respectivement.
D’après l’énoncé, le taux d’évolution du chiffre d’affaire entre $y_0$ et $y_1$ est : $t=-15\%=-0,15$.
Donc, le coefficient multiplicateur $k$ entre $y_0$ et $y_1$ est : $k=1+t=1-0,15$. Donc : $\color{red}{\boxed{\; k=0,85\; }}$.

2°) Calcul de l’indice base 100 en 2018.
On considère 2017 comme l’année de référence, donc d’indice de base 100. On sait que $ I(n) =k\times 100 =0,85\times 100$. Donc : $\color{red}{\boxed{\; I(2018)=85\; }}$.

Exercice résolu 3.
Voici les indices base 100 d’une grandeur sur trois années :
Année de référence 2016. Les indices base 100 en 2017 et 2018 sont de 105,5 et 118,16 respectivement.
1°) Déterminer les taux d’évolution entre 2016 et 2017, puis entre 2016 et 2018.
2°) Calculer l’indice base 100 en 2018 en prenant l’année 2017 comme année de référence.

Corrigé.
1°a) Calcul du taux d’évolution entre 2016 et 2017.
L’année de référence est 2016, donc d’indice 100. On connaît les autres indices. Donc, on utilise les formules avec les indices.
– Par « lecture directe » sur les indices, on peut calculer le taux d’évolution. On écrit :
$\rightarrow$ Indice l’année 2018 : $105,5$
$\rightarrow$ Indice de référence : $100$
On calcule la différence : $105,5 -100=$ taux en pourcentage $= \color{red}{\boxed{\; 5,5\%\; }}$.
– Ou par le calcul sur les indices :
$ t_1 = \dfrac{V_F -V_I}{V_I} = \dfrac{I(2017)-100}{100}$. Donc : $t=\dfrac{105,5-100}{100} =0,055=5,5\%$. D’où le taux d’évolution entre 2016 et 2017 est bien : $\color{red}{\boxed{\; t_1=5,5\%\; }}$.

1°b) Calcul du taux d’évolution entre 2016 et 2018.
Un calcul identique, montre que le taux d’évolution entre 2016 et 2018 est : $\color{red}{\boxed{\; t_2=18,16\%\; }}$.

2°) On ne peut plus utiliser la soustraction des indices, car le premier indice n’est pas ($=100$) un indice de référence. On est donc obligé d’utiliser la formule sur les indices (Valeur finale) / (Valeur initiale) $\times 100$ :
$$ \begin{array}{rcl}
I'(2018) &=& \dfrac{V_F}{V_I} \times 100 \\
&=& \dfrac{I(2018)}{I(2017)} \times 100 \\
&=& \dfrac{118,16}{105,5} \times 100 \\
&=& 1,12 \times 100 \\
I'(2018) &=& 112\\
\end{array}$$

Conclusion. L’indice base 100 en 2018 en prenant l’année 2017 comme année de référence, est $I'(2018)=112$. Ce qui correspond à une augmentation de $12\%$ entre 2017 et 2018.