1. Calculer un taux d’évolution réciproque

On considère deux nombres réels strictement positifs $y_0$ et $y_1$. On appelle $t$ le taux d’évolution qui permet de passer de $y_0$ à $y_1$ et $k$ le coefficient multiplicateur associé à $t.$
On cherche à déterminer le taux d’évolution $t’$ qui, appliqué à $y_1$ permet de revenir à la valeur initiale $y_0$ et $k’$ le coefficient multiplicateur associé à $t’$.

Propriétés 1.
1°) Le coefficient multiplicateur $k’$ (ou $\textrm{CM’}$) qui permet de revenir de $y_1$ à $y_0$ est égal à l’inverse du coefficient multiplicateur $k$ : $$\color{red}{\boxed{\; k’ = \dfrac{1}{k} \;}} \quad\textrm{(1)} $$
On écrit aussi :
$$\color{red}{\boxed{\; \textrm{CM’} = \dfrac{1}{\textrm{CM}}\;}} \quad\textrm{(1)} $$
2°) Le taux d’évolution $t’$ qui permet de revenir de $y_1$ à $y_0$ s’obtient de la manière suivante : $$\color{red}{\boxed{\; t’= \dfrac{1}{1+t}-1 \;}} \quad\textrm{(2)} $$

Définitions 1.
1°) Le coefficient multiplicateur $k’$ (ou $\textrm{CM}’$) qui permet de passer de $y_1$ à $y_0$ s’appelle le coefficient multiplicateur réciproque de $k$.
2°) De même, le taux d’évolution $t’$ qui permet de passer de $y_1$ à $y_0$ s’appelle le taux d’évolution réciproque de $t$.

Figure 1.

En effet : D’une part, on a : $y_1=ky_0$ et $y_0=k’y_1$. Donc : $y_0=k\times k’ y_0$.
Ce qui donne : $k \times k’=1$. D’où $k’ = \dfrac{1}{k}$.
Et par suite : $1+t’ = \dfrac{1}{1+t}$. Donc : $$ t’= \dfrac{1}{1+t}-1 $

Haut de page

2. Exercices résolus sur les évolutions réciproques

Exercice résolu 1.
Déterminer les coefficients multiplicateurs réciproques et les taux d’évolution réciproques associés à chacune des évolutions successives suivantes :
1°) $k=1,25$.
2°) $t=-10\%$.
3°) Une augmentation de $60\%$
4°) Une diminution de 20%.

Corrigé.
1°) $k=1,25$, donc le coefficient multiplicateur réciproque est donné par : $k’=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{1,25}=0,8$.
De plus $t’=k’-1 = 0,8-1=-0,2=-20\%$.
Conclusion. Le coefficient multiplicateur réciproque est : $k’=0,8$ qui correspond à un taux d’évolution global $t’=-20\%$.

2°) $t=-10\%=-0,10$. Le coefficient multiplicateur associé est donné par : $k=1+t = 1-0,10 =0,9$. Le coefficient multiplicateur réciproque est :
$k’=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{0,9}\simeq 1,111…$.
De plus $t’=k’-1 = 1,111…-1=0,111..=11,11\%$.
Conclusion. Le coefficient multiplicateur réciproque est : $k’=1,111…$ qui correspond à un taux d’évolution réciproque : $t’=11,11\%$.

3°) Une augmentation de $60\%$ correspond à un taux d’évolution $t=+60\%=+0,6$. Le coefficient multiplicateur associé est donné par : $k=1+t = 1+0,60 =1,6$. Le coefficient multiplicateur réciproque est :
$k’=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{1,6}=0,625$.
De plus $t’=k’-1 = 0,625-1=-0,375=-37,5\%$.
Conclusion. Le coefficient multiplicateur réciproque est : $k’=0,625$ qui correspond à un taux d’évolution réciproque : $t’=-37,5\%$.