1. Calcul du taux d’évolution équivalent à deux évolutions successives

On considère trois nombres réels strictement positifs $y_0$, $y_1$ et $y_2$.
Si on appelle $t_1$ et $t_2$ les taux d’évolution qui permettent de passer de $y_0$ à $y_1$ et de $y_1$ à $y_2$ respectivement ; et $k_1$ et $k_2$ les coefficients multiplicateurs associés à $t_1$ et $t_2$ respectivement.

Propriétés 1.
1°) Le coefficient multiplicateur $K$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ est égal au produit des coefficients multiplicateurs $k_1$ et $k_2$ : $$\color{red}{\boxed{\; K = k_1 \times k_2 \;}} \quad\textrm{(1)} $$
On écrit aussi :
$$\color{red}{\boxed{\; \textrm{CM} = \textrm{CM}_1 \times \textrm{CM}_2 \;}} \quad\textrm{(1)} $$
2°) Le taux d’évolution $T$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ est s’obtient de la manière suivante : $$\color{red}{\boxed{\; T= (1+t_1) (1+t_2) -1 \;}} \quad\textrm{(2)} $$

Définitions 1.
1°) Le coefficient multiplicateur $K$ (ou CM) qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ s’appelle le coefficient multiplicateur global de $y_0$ à $y_2$.
2°) De même, le taux d’évolution $T$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ s’appelle le taux d’évolution global de $y_0$ à $y_2$.

Figure 1.

En effet : D’une part, on a : $y_1=k_1y_0$ et $y_2=k_2y_1$. Donc : $y_2=k_2\times k_1y_0$.
Ce qui donne : $$ K = k_1 \times k_2 $$
D’autre part, on sait que $k_1=1+t_1$ et $k_2=1+t_2$, mais aussi $K=1+T$. Donc, d’après la première relation (1), on a :
$$\begin{array}{rcl}
K & = & k_1 \times k_2 \\
1+T & = & ( 1+t_1 ) \times ( 1+t_2 ) \\
\textrm{donc : }\qquad T &=& ( 1+t_1 ) \times (1+t_2 ) -1\\
\end{array}$$

Haut de page

2. Calcul du taux d’évolution équivalent à deux évolutions successives identiques

Si $t_1=t_2=t$, alors $k_1=k_2=k$. On obtient le cas particulier des propriétés précédentes :

Propriétés 2.
On considère trois nombres réels strictement positifs $y_0$, $y_1$ et $y_2$. Si on passe de $y_0$ à $y_1$ et de $y_1$ à $y_2$ avec le même taux d’évolution $t$, alors
1°) Le coefficient multiplicateur global $K$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ est égal au carré du coefficient multiplicateur commun $k$ : $$\color{red}{\boxed{\; K = k^2\;}} \quad\textrm{(3)} $$
2°) Le taux d’évolution global $T$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ s’obtient de la manière suivante : $$\color{red}{\boxed{\; T=(1+t)^2 -1 \;}} \quad\textrm{(4)} $$

Haut de page

3. Calcul du taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives

Soit $n$ un nombre entier non nul.
On considère $n+1$ nombres réels strictement positifs $y_0$, $y_1$,… et $y_n$. Si on appelle $t_1$, $t_2$,… et $t_n$ les taux d’évolution qui permettent de passer de $y_0$ à $y_1$, de $y_1$ à $y_2$,… et de $y_{n-1}$ à $y_n$ respectivement ; et $k_1$, $k_2$,… et $k_n$ les coefficients multiplicateurs associés à $t_1$, $t_2$,… et $t_n$ respectivement.

Propriétés 3.
1°) Le coefficient multiplicateur $K$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_n$ est égal au produit des coefficients multiplicateurs $k_1$, $k_2$,… et $k_n$ : $$\color{red}{\boxed{\; K = k_1 \times k_2 \times\cdots\times k_n \;}} \quad\textrm{(5)} $$
2°) Le taux d’évolution $T$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_n$ s’obtient de la manière suivante : $$\color{red}{\boxed{\; T = (1+t_1) (1+t_2)\times\cdots\times (1+t_n) -1 \;}} \quad\textrm{(6)} $$

Haut de page

4. Calcul du taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives identiques

Propriétés 4.
On considère $n+1$ nombres réels strictement positifs $y_0$,… $y_n$. Si on passe de $y_0$ à $y_1$, de $y_1$ à $y_2$,… et de $y_{n-1}$ à $y_n$ avec le même taux d’évolution $t$, alors
1°) Le coefficient multiplicateur global $K$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_n$ est égal au coefficient multiplicateur commun $k$ élevé à la puissance $n$ : $$\color{red}{\boxed{\; K = k^n\;}} \quad\textrm{(7)} $$
2°) Le taux d’évolution global $T$ qui permet de passer de $y_0$ à $y_2$ s’obtient de la manière suivante : $$\color{red}{\boxed{\; T=(1+t)^n -1 \;}} \quad\textrm{(8)} $$

Haut de page

5. Exercices résolus sur les évolutions successives

Exercice résolu 1.
Donner le coefficient multiplicateur global associé et le taux d’évolution global associés à chacune des évolutions successives suivantes :
1°) $k_1=1,4$ ; $k_2=0,9$.
2°) $t_1=+25\%$ ; $t_2=+10\%$.
Cela correspond-il à une augmentation de $35\%$ ?
3°) Une augmentation de $30\%$ suivie d’une diminution de 20%.

Corrigé.
1°) On sait que le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs. Donc :
$K=k_1\times k_2 = 1,40 \times 090=1,26$.
Comme $T=K-1$, on a : $T=1,26-1 = +0,26 = +26\%$.

Conclusion. Le coefficient multiplicateur global est : $K=\textrm{CM} =1,26$ qui correspond à un taux d’évolution global $T=26\%$.

2°) On sait que : $k_1=1+t_1=1+\dfrac{25}{100}=1,25$ et $k_2=1+t_2=1+\dfrac{10}{100}=1,1$.
Or, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs. Donc :
$K=k_1\times k_2 = 1,25 \times 1,1=1,375$.
Comme $T=K-1$, on a : $T=1,375-1 = +0,375 = +37,5\%$.

Conclusion. Le coefficient multiplicateur global est : $K=\textrm{CM} =1,375$ qui correspond à un taux d’évolution global $T=37,5\%$.

Il est clair que : Une augmentation de 25% suivie d’une augmentation de 10% ne correspond pas à une augmentation de $35\%$.

Remarque. Le taux d’évolution global dans une suite d’évolutions successives, n’est pas égal à la somme des taux d’évolution partiels.

3°) Une augmentation de $30\%$, correspond à $t_1=+0,30$ et une diminution de 20% correspond à $t_2=-0,20$.
On sait que : $k_1=1+t_1=1+0,30=1,30$ et $k_2=1+t_2=1-0,20=0,80$.
Or, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs. Donc :
$K=k_1\times k_2 = 1,30 \times 0,80=1,04$.
Comme $T=K-1$, on a : $T=1,04-1 = +0,04 = +4\%$.

Conclusion. Le coefficient multiplicateur global est : $K=\textrm{CM} =1,04$ qui correspond à un taux d’évolution global $T=4\%$

Haut de page

Exercice résolu 2.
De 2005 à 2010, l’effectif du Lycée Édouard Vaillant a diminué de 10% ; puis de 2010 à 2015, il a augmenté de 10%. Le lycée a-t-il retrouvé son effectif de 2005. Expliquez

Corrigé.
Une augmentation de $10\%$, correspond à $t_1=+0,10$ et une diminution de 20% correspond à $t_2=-0,10$.
On sait que : $k_1=1+t_1=1+0,10=1,00$ et $k_2=1+t_2=1-0,00=0,90$.
Or, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs. Donc :
$K=k_1\times k_2 = 1,10 \times 0,90=0,99$.
Comme $T=K-1$, on a : $T=0,99-1 = -0,01 = -1\%$.
Le taux d’évolution global entre 2005 et 2015 est : $T=-1\%$.

Conclusion. L’effectif du lycée a diminué globalement de 1% entre 2005 et 2015.
Donc, le lycée n’a pas retrouvé son effectif de 2005.

Haut de page