Cercle trigonométrique. Longueur d’un arc. Mesure d’un angle en radian

  1. Longueur d’un arc de cercle. Cercle trigonométrique. Mesure d’un angle en radian.
  2. Enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique. Image d’un nombre réel.
  3. Cosinus et sinus d’un nombre réel. Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle.
  4. Valeurs remarquables des cosinus et sinus d’un nombre réel.
  5. Fonctions cosinus et sinus. Parité, périodicité. Construction des courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus.
  6. Placer un point sur le cercle trigonométrique.
  7. Lier la représentation graphique des fonctions cosinus et sinus et le cercle trigonométrique.
  8. Traduire graphiquement la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques.
  9. Par lecture du cercle trigonométrique, déterminer, pour des valeurs remarquables de x, les cosinus et sinus d’angles associés à x.
  10. Démonstration
    Calcul de $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$
  11. Exemple d’algorithme
    Exemple d’algorithme : Approximation de $\pi$ par la méthode d’Archimède.

1. Longueur d’un arc de cercle

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. L’unité de longueur est égale à : $||\vec{\imath}||= ||\vec{\jmath}||=1$.

Nous savons que la longueur $L$ du cercle (ou périmètre du disque) de rayon $R$ est donnée par la formule : $$ \boxed{\; L=2\pi R \;}$$

Ainsi, la moitié du cercle de rayon $R$ mesure $\pi R$ ; le quart du cercle mesure $\dfrac{\pi R}{2}$, et ainsi de suite$\ldots$ On peut maintenant calculer la longueur de n’importe quel arc de cercle, connaissant la mesure en degré de l’angle au centre qui l’intercepte.

Théorème 1.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$.
Soient ${\mathcal C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ ; et $A$ et $B$ deux points du cercle ${\mathcal C}$.
La longueur $\ell$ de l’arc $\overset{\Large\frown}{AB}$ du cercle de rayon $R$, exprimée dans l’unité du repère, est proportionnelle à la mesure $a$ de l’angle au centre qui l’intercepte, exprimée en degré. Ainsi, pour tout $a$, $0\leqslant a\leqslant 360$, on a : $$\boxed{\;\ell=2\pi R\times\dfrac{a}{360}\;}$$ ou encore : $$\boxed{\;\ell=\pi R\times\dfrac{a}{180}\;}$$

La longueur du cercle ${\mathcal C}$, correspondant à un angle au centre plein de $360°$ est de $L=2\pi R$.
La longueur de l’arc $\overset{\Large\frown}{AB}$ du cercle de centre $O$ et de rayon $R$ correspondant à un angle au centre $\widehat{AOB}$ de mesure $a$, est donnée par le tableau de proportionnalité suivant : $$\begin{array}{|r|c|}\hline
\text{Mesure de l’angle au centre, en degré}&360& a\\ \hline
\text{Longueur de l’arc, en unité du repère}&2\pi R & \ell \\ \hline
\end{array} $$ En écrivant l’égalité des produits en croix, nous obtenons : $360\times\ell = 2\pi R\times a$. Et par suite : $\ell=\dfrac{ 2\pi R\times a}{360}$. En simplifiant la fraction par $2$, on obtient : $$\boxed{\;\ell=\dfrac{\pi R\times a}{180}\;}$$
CQFD.

EXEMPLES

Exercice résolu n°1.
Soit ${\mathcal C}(O;1)$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
Déterminer les longueurs des arcs de cercles interceptés respectivement par des angles au centre mesurant, en degré : 360° ; 180° ; 90° ; 60° ; 45° ; 30° ; 1°.

Les longueurs des arcs de cercles interceptés respectivement par des angles au centre mesurant $a$, en degré, sont données par la tableau de proportionnalité suivant :
$$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Mesure de l’angle au centre}&360&180&90&60&45&30 &1\\ \hline
\text{Longueur de l’arc} & 2\pi &\pi &\dfrac{\pi}{2} &\dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{4} &\dfrac{\pi}{6} &\dfrac{\pi}{180}\\ \hline
\end{array}$$
Pour $R=1$, le coefficient de proportionnalité du degré au radian est de $k=\dfrac{\pi}{180}$.

Exercice résolu n°2.
Soit ${\mathcal C}(O;10)$ le cercle de centre $O$ et de rayon $10$.
Déterminer les longueurs des arcs de cercles interceptés respectivement par des angles au centre mesurant, en degré : 360° ; 180° ; 90° ; 60° ; 45° ; 30° ; 1°.

Les longueurs des arcs de cercles interceptés respectivement par des angles au centre mesurant $a$, en degré, sont données par la tableau de proportionnalité suivant :
$$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Mesure de l’angle au centre}&360&180&90&60&45&30 &1\\ \hline
\text{Longueur de l’arc} & 20\pi &10\pi &5\pi &\dfrac{10\pi}{3} & \dfrac{5\pi}{2} &\dfrac{5\pi}{3} &\dfrac{\pi}{18}\\ \hline
\end{array}$$
Pour $R=10$, le coefficient de proportionnalité du degré au radian est de $k=\dfrac{10\pi}{180}= \dfrac{\pi}{18}$.

1. Le cercle trigonométrique

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

Définition 1.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$.
On appelle cercle trigonométrique, le cercle orienté ${\mathcal C}(O;1)$ de centre $O$ et de rayon $1$. Soient $I$ le point unité sur l’axe des abscisses. $\overrightarrow{OI}= \vec{\imath}$ et $J$ le point unité sur l’axe des ordonnées. $\overrightarrow{OJ}= \vec{\jmath}$.
Sur le cercle trigonométrique, on choisit comme origine $I$ pour mesurer les arcs dans les deux sens.
$\bullet$ Le sens direct ou sens trigonométrique (sens positif), est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
$\bullet$ Le sens indirect ou sens négatif, est le sens des aiguilles d’une montre.

REMARQUE

Dorénavant, nous dirons que $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ est un repère orthonormé direct si, et seulement si, $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ est un repère orthonormé et on passe du vecteur $\vec{\imath}=\overrightarrow{OI}$ au vecteur $\vec{\jmath}= \overrightarrow{OJ}$ en tournant dans le sens direct, c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Fig. 1. Le cercle trigonométrique

3. Le radian

Pour tout point $M$ sur le cercle trigonométrique, on définit l’« angle géométrique » $\widehat{IOM}$. Cet angle intercepte l’arc $\overset{\Large\frown}{IM}$ du cercle trigonométrique.

Définition 2.
Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.
La mesure en radian de l’angle géométrique $\widehat{IOM}$ est égale à la longueur de l’arc $\overset{\Large\frown}{IM}$ du cercle trigonométrique qu’il intercepte, exprimée dans l’unité du repère.

La mesure d’un angle $\widehat{IOM}$ est égale à $1$ radian lorsque la longueur de l’arc du cercle trigonométrique qu’il intercepte est de $1$ rayon $OI$.(*)

La mesure d’un angle $\widehat{IOM}$ est de $x$ radians $(0\leqslant x\leqslant 2\pi)$ lorsque la longueur de l’arc du cercle trigonométrique qui l’intercepte est de $x$ unités du repère.

(*) L’unité du repère est égale au rayon du cercle trigonométrique.
Radius = rayon. Radial adj.= disposé suivant un rayon (une force radiale). Radian = mesure des angles en prenant comme unité le rayon du cercle.

Nous pouvons ainsi faire une correspondance proportionnelle des deux unités connues : le radian et le degré. On obtient le tableau de proportionnalité, en utilisant pour notation les symboles : Rad = Radian et « ° » ou Deg = Degré.

On peut ainsi convertir les mesures des angles du degré au radian ou du radian ou degré en utilisant un tableau de proportionnalité.

Soit $a$ la mesure d’un angle en degré et $x$ sa mesure en radian. Alors, la mesure en radian s’obtient en écrivant la correspondance : $\boxed{\;2\pi~\text{Radian correspond à }360°\;}$ ou encore : $\boxed{\;\pi~\text{Rad} \longleftrightarrow 180°\;}$. On obtient le tableau de référence suivant : $$\begin{array}{|l|c|c|}\hline
\text{Deg} & 180& a \\ \hline
\text{Rad}& \pi &x \\ \hline
\end{array} $$
Ainsi, pour $x=1$ Rad, on écrit l’égalité des produits en croix, donc : $180\times 1=\pi a$. Finalement, pour la mesure de $1$ Radian en degré, on obtient : $$\boxed{\;\;1\text{ Rad}=\dfrac{180}{\pi}\simeq 57,30° \;\;}$$

Théorème 2.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$.
La longueur $\ell$ d’un arc de cercle de rayon $R$ et d’angle au centre dont la mesure $\theta$ est exprimée en radian, $0\leqslant \theta\leqslant 2\pi$, est donnée par : $$\boxed{\;\ell=R\theta\;}$$

En effet, on sait que la longueur d’un arc de cercle de rayon $R$ et d’angle au centre dont la mesure $a$ est exprimée en degré, $0\leqslant a\leqslant 360$, est donnée par : $\boxed{\;\ell=\pi R\dfrac{a}{180}\;}$. Or, la mesure $\theta$, exprimée en radian, de l’angle au centre qui intercepte cet arc est donnée par : $\theta=\pi\dfrac{a}{180}$. D’où : $R\theta=R\times \pi\dfrac{a}{180}=\ell$. D’où le résultat.

4. Point méthode. Construction d’un angle en radian

Pour voir toutes les méthodes de construction, cliquez ici >>

$\bullet$ Point méthode.
Soit $x$ la mesure en radian d’un angle trigonométrique.
On détermine la mesure $a=|x|$ de l’angle en degré ($0\leqslant a\leqslant360°$). Avec les formules suivantes. Puis on reporte la mesure en degré, au rapporteur, sur le cercle. Suivant le signe de $x$, on tourne dans le sens direct ou indirect pour placer le 2ème point $M$ sur le cercle. Avec les formules : $$\dfrac{x~ \text{en~radian}}{2\pi}=\dfrac{a~\text{en~degré}}{360}$$ ou encore : $$\dfrac{x~ \text{en~radian}}{\pi}=\dfrac{a~ \text{en~degré}}{180}$$

5. Angle trigonométrique

Définition 3.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$.
Un angle trigonométrique est défini par trois données :
$\bullet$ Le sommet de l’angle est situé à l’origine $O$ du repère.
$\bullet$ Le côté initial de l’angle est toujours confondu avec l’axe des $x$ positifs.
$\bullet$ Le côté terminal de l’angle obtenu par rotation du côté initial autour de l’origine $O$, dans un sens ou dans l’autre.

6. Enroulement de la droite numérique

Définition 4.
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$.
Soit $d$ la droite tangente au cercle trigonométrique au point $I$.
Sur $d$, on définit le repère $(I; \vec{\jmath})$ d’origine $I$.
La droite $d$ est parallèle à l’axe des ordonnées $(Oy)$ et est de même sens. $d$ définit alors toute « la droite réelle » ou « droite numérique d’origine $I$ ».

On peut enrouler la droite réelle autour du cercle trigonométrique, à partir de l’origine $I$, dans les deux sens, positif ou négatif.
On crée ainsi une correspondance entre « tous les nombres réels » et « tous les points du cercle trigonométriques ».

Fig. Enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique

Théorème 2 et Définition.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$.
Soit $d$ la droite tangente au cercle trigonométrique au point $I$, munie du repère $(I; \vec{\jmath})$. Alors :
1°) Tout nombre réel $x$, s’applique sur un point unique $M$ sur le cercle trigonométrique, appelé le point-image de $x$.
2°) Réciproquement :
A tout point $M$ du cercle trigonométrique, correspond une infinité de nombres réels $\alpha$, abscisses de points de $d$, séparés de longueurs multiples de $2\pi$, dans les deux sens.
3°) Si $\alpha$ est l’abscisse de l’un de ces points, tous les autres auront pour abscisses $$x=\alpha+k\times 2\pi=\alpha+2k\pi,~~ k\in\Z$$

Définition 5.
Soit $x$ un nombre réel et $M$ le point-image de $x$ sur le cercle trigonométrique.
On dit que $x$ est une mesure en radian de l’angle trigonométrique $\widehat{IOM}$.
Si $x$ et $x’$ sont deux nombres réels associés au même point $M$ du cercle trigonométrique, alors la différence $x’-x$ est un multiple de $2\pi$. C’est-à-dire qu’il existe un entier relatif $k$ tel que $\boxed{\;x-x’=k\times2\pi\;}$. On note alors : $\boxed{\;x’\equiv x~(\text{modulo}~2\pi)\;}$
On dit alors que les deux mesures $x$ et $x’$ sont équivalentes (ou « congrues ») modulo $2\pi$, c’est-à-dire à un multiple de $2\pi$ près.

EXEMPLE

Exemple résolu n°2.
Soit $x=\dfrac{\pi}{3}$ une mesure d’un angle trigonométrique.
1°) Donner deux mesures différentes de cette angle.
2°) Donner toutes les mesures associées de cette angle.


1°) Si $x=\dfrac{\pi}{3}$ est une mesure d’un angle trigonométrique, alors $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\color{brown}{\dfrac{7\pi}{3}}$ et $x=\dfrac{\pi}{3}-2\pi= \color{brown}{-\dfrac{5\pi}{3}}$ sont aussi des mesures en radian de cet angle. On peut alors ajouter ou soustraire n’importe quel multiple de $2\pi$ pour obtenir une nouvelle mesure.

2°) Plus généralement, pour tout $k\in\Z$, $x+k\times2\pi=x+2k\pi$ est encore une mesure de cet angle. Par conséquent, l’ensemble de toutes les mesures associées de cette angle, est formé de toutes les valeurs $x+2k\pi$, $k\in\Z$.

7. Mesures remarquables

7.1. La plus petite mesure positive d’un angle

Définition 6.
Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, on considère un angle trigonométrique de mesure $x$ radians. Alors, parmi les valeurs associées à $x$ de la forme $x+2k\pi$, $k\in\Z$, il en existe une et une seule qui appartient à l’intervalle $[0 ;2\pi[$. Cette mesure s’appelle la plus petite mesure positive de l’angle trigonométrique.

EXEMPLE

Exercice résolu n°3.
Déterminer la plus petite mesure positive d’un angle trigonométrique de mesure $x=\dfrac{29\pi}{3}$ en radians.

$\dfrac{29\pi}{3}=9\pi+\dfrac{2\pi}{3}= 4\times(2\pi)+\pi+\dfrac{2\pi}{3}=4\times(2\pi)+\dfrac{5\pi}{3}$.
Or, $0\leqslant\dfrac{5\pi}{3}<2\pi$. Par conséquent, la plus petite mesure positive de $x$ est : $$\boxed{\;\alpha=\text{ppmp}(x)= \dfrac{2\pi}{3}\;}$$

7.2. Mesure principale d’an angle

Définition 6.
Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, on considère un angle trigonométrique de mesure $x$ radians. Alors, parmi les valeurs associés à $x$ de la forme $x+2k\pi$, $k\in\Z$, il en existe une et une seule qui appartient à l’intervalle $]-\pi ;\pi]$. Cette mesure s’appelle la mesure principale de l’angle trigonométrique.

EXEMPLE

Exercice résolu n°3bis.
Déterminer la mesure principale d’un angle trigonométrique de mesure $x=\dfrac{29\pi}{3}$ en radians.

Nous avons vu c-dessus que : $\dfrac{29\pi}{3}=4\times(2\pi)+\dfrac{5\pi}{3}$.
Or, $0\leqslant\dfrac{5\pi}{3}<2\pi$, mais $ \dfrac{5\pi}{3} \not\in]-\pi;+\pi]$. Donc, $\dfrac{5\pi}{3}$ n’est pas la mesure principale de $x$.
Il suffit de « reculer d’un tour » et on obtient : $ \dfrac{5\pi}{3}-2\pi= -\dfrac{\pi}{3}$. De plus $-\dfrac{\pi}{3}\in]-\pi;+\pi]$.
Par conséquent, la mesure principale de $x$ est : $$\boxed{\;\alpha=\text{mp}(x)= -\dfrac{\pi}{3}\;}$$

8. Exercices résolus

Exercice résolu n°4.
Déterminer la mesure principale de l’angle $x=\dfrac{273\pi}{12}$.
Indication :
1ère méthode algébrique : Encadrement direct.
2ème mathode : Utilisation de la division euclidienne.

Soit $\alpha$ la mesure principale de cet angle. Alors, il existe un entier relatif $k$ tel que $x=\alpha+k\times2\pi$ et $-pi<\alpha\leqslant\pi$.

1ère méthode (algébrique) (qui paraît compliquée, mais elle est rigoureuse et méthodique) : On pose $\alpha=x-k\times2\pi $ et on écrit que $-\pi<\alpha\leqslant\pi$ pour déterminer un encadrement de $k$. On a alors : $$\begin{array}{lc}
&-\pi<\alpha\leqslant\pi \\
\text{donc : }&-\pi< \dfrac{273\pi}{12}-2k\pi\leqslant\pi \\
\text{donc : }&-\pi-\dfrac{273\pi}{12} < -2k\pi \leqslant\pi-\dfrac{273\pi}{12}\\
\text{donc : }&-\dfrac{285\pi}{12} <-2k\pi \leqslant-\dfrac{261\pi}{12}\\
\end{array}$$ En divisant par $-2\pi$ (attention, on divise par un nombre négatif !), on obtient :
$$ \dfrac{285}{24} \leqslant k < \dfrac{261}{24} $$ Ce qui donne : $$ 10,875 \leqslant k <11,875$$

$k$ étant un nombre entier relatif, $k\in\Z$, cette inégalité admet une seule solution : $k =11$.

Donc : $\alpha=x-2k\pi= \dfrac{273\pi}{12} -2\times11\times\pi$. Et par suite $ \alpha=\dfrac{9\pi}{12}={\color{brown}{\dfrac{3\pi}{4}}}$.

Conclusion. La mesure principale de cet angle est : $$\boxed{\;\;\alpha=\text{mp}(x)=\dfrac{3\pi}{4}\;\;}$$ Puis, on peut chercher la valeur absolue, pour donner la mesure en degré de l’angle géométrique. $$\boxed{\;\;\alpha=135°\;\;}$$

2ème méthode (pratique, plus facile, aussi rigoureuse, mais rapide et pratique) :
On on cherche $k$ de telle sorte que $x=\alpha+2k\pi$ et $-\pi<\alpha\leqslant\pi$ :
On effectue donc la division euclidienne de $273$ par $12$. Donc : $273=12\times 22+9$.
En multipliant les deux membres par $\pi$ et en divisant par $12$, on obtient : $$\begin{array}{lrl}
&\dfrac{273}{12}\pi &=\left(\dfrac{12\times22+9}{12}\right)\pi \\
\text{donc : } &\dfrac{273}{12}\pi &=22\pi + \dfrac{9\pi}{12} \\
\text{ou encore : } &x &=\dfrac{3\pi}{4}\pi \\
&x &=22\pi + \dfrac{9\pi}{12} \\
&x &=11\times 2\pi + \dfrac{3\pi}{4} \\
\end{array}$$
On retrouve le $k = 11$.
Conclusion. La mesure principale de cet angle est : $$ \boxed{\; \alpha=\text{mp}(x)= \dfrac{3\pi}{4}\pi\;}$$ Puis, on peut chercher la valeur absolue, pour donner la mesure en degré de l’angle géométrique. $$\boxed{\;\;\alpha=135°\;\;}$$

Exemple résolu 5.
Déterminer la mesure principale de l’angle $\dfrac{89\pi}{12}$.
Utiliser la méthode de votre choix.

Soit $\alpha$ la mesure principale de cet angle. Alors, il existe un entier relatif $k$ tel que $x=\alpha+2k\pi$ et $-pi<\alpha\leqslant\pi$.
On effectue donc la division euclidienne de $89$ par $12$. Donc : $89=12\times 7+5$.
En multipliant les deux membres par $\pi$ et en divisant par $12$, on obtient : $$\begin{array}{lrl}
&\dfrac{89}{12}\pi &=\left(\dfrac{12\times7+5}{12}\right)\pi \\
\text{donc : } &x&=7\pi + \dfrac{5\pi}{12} \\
\end{array}$$ On obtient, cette fois, un multiple impair de $\pi$. Ici, $7\pi$ n’est pas un multiple entier de $2\pi$.

En écrivant : $7\pi=6\pi+\pi$, on obtient : $$\begin{array}{lrl}
&\dfrac{89}{12}\pi &=7\pi + \dfrac{5\pi}{12} \\
\text{d’où : } &x &=6\pi+\pi+\dfrac{5\pi}{12} \\
\text{d’où : } &x &=\dfrac{17\pi}{12}+3\times(2\pi) \\
\end{array}$$
On obtient $\alpha= \dfrac{17\pi}{12}$. Or, $\dfrac{17\pi}{12} >\pi$. Ce n’est pas une mesure principale de $x$.
Par contre, $ 0\leqslant\dfrac{17\pi}{12}<2\pi$, donc : $\boxed{\;\dfrac{17\pi}{12}=\text{ppmp}(x)\;}$, la plus petite mesure positive de $x$.

$\bullet$ Recherche de la mesure principale de $x$.

1°) Pour déterminer la mesure principale de $x$, on peut simplement « reculer d’un tour » et écrire : $\alpha= \dfrac{17\pi}{12} -2\pi= -\dfrac{7\pi}{12} =\text{mp}(x)$. Et comme $-\pi<\dfrac{17\pi}{12}\leqslant\pi$, on a bien : $$\boxed{\;\alpha=\text{mp}(x)=-\dfrac{7\pi}{12}\;}$$
2°) On pourrait aussi écrire : $7\pi=8\pi-\pi$. Ce qui donne : $$\begin{array}{lrl}
\text{donc : } &x&=8\pi-\pi + \dfrac{5\pi}{12} \\
\text{donc : } &x &=4\times2\pi-\dfrac{12\pi}{12}+\dfrac{5\pi}{12}\\
\text{d’où : } &x &=-\dfrac{7\pi}{12}+4\times(2\pi)\\
\end{array}$$
Conclusion. Coome $-\pi<-\dfrac{7\pi}{12}\leqslant\pi$, la mesure principale de l’angle $x=\dfrac{89\pi}{12}$ est : $$ \boxed{\; \alpha=\text{mp}(x)= -\dfrac{7\pi}{12}\;}$$ Puis, on peut chercher la valeur absolue, pour donner la mesure en degré de l’angle géométrique. $$\boxed{\;\;\alpha=105°\;\;}$$

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