Enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique. Point image d’un nombre réel

  1. Longueur d’un arc de cercle. Cercle trigonométrique. Mesure d’un angle en radian.
  2. Enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique. Image d’un nombre réel.
  3. Cosinus et sinus d’un nombre réel. Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle.
  4. Valeurs remarquables des cosinus et sinus d’un nombre réel.
  5. Fonctions cosinus et sinus. Parité, périodicité. Construction des courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus.
  6. Placer un point sur le cercle trigonométrique.
  7. Lier la représentation graphique des fonctions cosinus et sinus et le cercle trigonométrique.
  8. Traduire graphiquement la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques.
  9. Par lecture du cercle trigonométrique, déterminer, pour des valeurs remarquables de x, les cosinus et sinus d’angles associés à x.
  10. Démonstration
    Calcul de $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$
  11. Exemple d’algorithme
    Exemple d’algorithme : Approximation de $\pi$ par la méthode d’Archimède.


1. Angle trigonométrique

Définition 3.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$.
Un angle trigonométrique est défini par trois données :
$\bullet$ Le sommet de l’angle est situé à l’origine $O$ du repère.
$\bullet$ Le côté initial de l’angle est toujours confondu avec l’axe des $x$ positifs.
$\bullet$ Le côté terminal de l’angle obtenu par rotation du côté initial autour de l’origine $O$, dans un sens ou dans l’autre.

Angles trigonométriques

2. Enroulement de la droite numérique

Définition 4.
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$.
Soit $d$ la droite tangente au cercle trigonométrique au point $I$.
Sur $d$, on définit le repère $(I; \vec{\jmath})$ d’origine $I$.
La droite $d$ est parallèle à l’axe des ordonnées $(Oy)$ et est de même sens. $d$ définit alors toute « la droite réelle » ou « droite numérique d’origine $I$ ».

On peut enrouler la droite réelle autour du cercle trigonométrique, à partir de l’origine $I$, dans les deux sens, positif ou négatif.
On crée ainsi une correspondance entre « tous les nombres réels » et « tous les points du cercle trigonométriques ».

Fig. Enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique

Théorème 2 et Définition.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$.
Soit $d$ la droite tangente au cercle trigonométrique au point $I$, munie du repère $(I; \vec{\jmath})$. Alors :
1°) Tout nombre réel $x$, s’applique sur un point unique $M$ sur le cercle trigonométrique, appelé le point-image de $x$.
2°) Réciproquement :
A tout point $M$ du cercle trigonométrique, correspond une infinité de nombres réels $\alpha$, abscisses de points de $d$, séparés de longueurs multiples de $2\pi$, dans les deux sens.
3°) Si $\alpha$ est l’abscisse de l’un de ces points, tous les autres auront pour abscisses $$x=\alpha+k\times 2\pi=\alpha+2k\pi,~~ k\in\Z$$

Définition 5.
Soit $x$ un nombre réel et $M$ le point-image de $x$ sur le cercle trigonométrique.
On dit que $x$ est une mesure en radian de l’angle trigonométrique $\widehat{IOM}$.
Si $x$ et $x’$ sont deux nombres réels associés au même point $M$ du cercle trigonométrique, alors la différence $x’-x$ est un multiple de $2\pi$. C’est-à-dire qu’il existe un entier relatif $k$ tel que $\boxed{\;x-x’=k\times2\pi\;}$. On note alors : $\boxed{\;x’\equiv x~(\text{modulo}~2\pi)\;}$
On dit alors que les deux mesures $x$ et $x’$ sont équivalentes (ou « congrues ») modulo $2\pi$, c’est-à-dire à un multiple de $2\pi$ près.

EXEMPLE

Exemple résolu n°2.
Soit $x=\dfrac{\pi}{3}$ une mesure d’un angle trigonométrique.
1°) Donner deux mesures différentes de cette angle.
2°) Donner toutes les mesures associées de cette angle.


1°) Si $x=\dfrac{\pi}{3}$ est une mesure d’un angle trigonométrique, alors $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\color{brown}{\dfrac{7\pi}{3}}$ et $x=\dfrac{\pi}{3}-2\pi= \color{brown}{-\dfrac{5\pi}{3}}$ sont aussi des mesures en radian de cet angle. On peut alors ajouter ou soustraire n’importe quel multiple de $2\pi$ pour obtenir une nouvelle mesure.

2°) Plus généralement, pour tout $k\in\Z$, $x+k\times2\pi=x+2k\pi$ est encore une mesure de cet angle. Par conséquent, l’ensemble de toutes les mesures associées de cette angle, est formé de toutes les valeurs $x+2k\pi$, $k\in\Z$.

3. Mesures remarquables des angles trigonométriques

3.1. La plus petite mesure positive d’un angle

Définition 6.
Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, on considère un angle trigonométrique de mesure $x$ radians. Alors, parmi les valeurs associées à $x$ de la forme $x+2k\pi$, $k\in\Z$, il en existe une et une seule qui appartient à l’intervalle $[0 ;2\pi[$. Cette mesure s’appelle la plus petite mesure positive de l’angle trigonométrique.

EXEMPLE

Exercice résolu n°3.
Déterminer la plus petite mesure positive d’un angle trigonométrique de mesure $x=\dfrac{29\pi}{3}$ en radians.

$\dfrac{29\pi}{3}=9\pi+\dfrac{2\pi}{3}= 4\times(2\pi)+\pi+\dfrac{2\pi}{3}=4\times(2\pi)+\dfrac{5\pi}{3}$.
Or, $0\leqslant\dfrac{5\pi}{3}<2\pi$. Par conséquent, la plus petite mesure positive de $x$ est : $$\boxed{\;\alpha=\text{ppmp}(x)= \dfrac{2\pi}{3}\;}$$

3.2. Mesure principale d’an angle

Définition 6.
Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, on considère un angle trigonométrique de mesure $x$ radians. Alors, parmi les valeurs associés à $x$ de la forme $x+2k\pi$, $k\in\Z$, il en existe une et une seule qui appartient à l’intervalle $]-\pi ;\pi]$. Cette mesure s’appelle la mesure principale de l’angle trigonométrique.

EXEMPLE

Exercice résolu n°3bis.
Déterminer la mesure principale d’un angle trigonométrique de mesure $x=\dfrac{29\pi}{3}$ en radians.

Nous avons vu c-dessus que : $\dfrac{29\pi}{3}=4\times(2\pi)+\dfrac{5\pi}{3}$.
Or, $0\leqslant\dfrac{5\pi}{3}<2\pi$, mais $ \dfrac{5\pi}{3} \not\in]-\pi;+\pi]$. Donc, $\dfrac{5\pi}{3}$ n’est pas la mesure principale de $x$.
Il suffit de « reculer d’un tour » et on obtient : $ \dfrac{5\pi}{3}-2\pi= -\dfrac{\pi}{3}$. De plus $-\dfrac{\pi}{3}\in]-\pi;+\pi]$.
Par conséquent, la mesure principale de $x$ est : $$\boxed{\;\alpha=\text{mp}(x)= -\dfrac{\pi}{3}\;}$$


4. Exercices résolus

Exercice résolu n°4.
Déterminer la mesure principale de l’angle $x=\dfrac{273\pi}{12}$.
Indication :
1ère méthode algébrique : Encadrement direct.
2ème mathode : Utilisation de la division euclidienne.

Soit $\alpha$ la mesure principale de cet angle. Alors, il existe un entier relatif $k$ tel que $x=\alpha+k\times2\pi$ et $-pi<\alpha\leqslant\pi$.

1ère méthode (algébrique) (qui paraît compliquée, mais elle est rigoureuse et méthodique) : On pose $\alpha=x-k\times2\pi $ et on écrit que $-\pi<\alpha\leqslant\pi$ pour déterminer un encadrement de $k$. On a alors : $$\begin{array}{lc}
&-\pi<\alpha\leqslant\pi \\
\text{donc : }&-\pi< \dfrac{273\pi}{12}-2k\pi\leqslant\pi \\
\text{donc : }&-\pi-\dfrac{273\pi}{12} < -2k\pi \leqslant\pi-\dfrac{273\pi}{12}\\
\text{donc : }&-\dfrac{285\pi}{12} <-2k\pi \leqslant-\dfrac{261\pi}{12}\\
\end{array}$$ En divisant par $-2\pi$ (attention, on divise par un nombre négatif !), on obtient :
$$ \dfrac{285}{24} \leqslant k < \dfrac{261}{24} $$ Ce qui donne : $$ 10,875 \leqslant k <11,875$$

$k$ étant un nombre entier relatif, $k\in\Z$, cette inégalité admet une seule solution : $k =11$.

Donc : $\alpha=x-2k\pi= \dfrac{273\pi}{12} -2\times11\times\pi$. Et par suite $ \alpha=\dfrac{9\pi}{12}={\color{brown}{\dfrac{3\pi}{4}}}$.

Conclusion. La mesure principale de cet angle est : $$\boxed{\;\;\alpha=\text{mp}(x)=\dfrac{3\pi}{4}\;\;}$$ Puis, on peut chercher la valeur absolue, pour donner la mesure en degré de l’angle géométrique. $$\boxed{\;\;\alpha=135°\;\;}$$

2ème méthode (pratique, plus facile, aussi rigoureuse, mais rapide et pratique) :
On on cherche $k$ de telle sorte que $x=\alpha+2k\pi$ et $-\pi<\alpha\leqslant\pi$ :
On effectue donc la division euclidienne de $273$ par $12$. Donc : $273=12\times 22+9$.
En multipliant les deux membres par $\pi$ et en divisant par $12$, on obtient : $$\begin{array}{lrl}
&\dfrac{273}{12}\pi &=\left(\dfrac{12\times22+9}{12}\right)\pi \\
\text{donc : } &\dfrac{273}{12}\pi &=22\pi + \dfrac{9\pi}{12} \\
\text{ou encore : } &x &=\dfrac{3\pi}{4}\pi \\
&x &=22\pi + \dfrac{9\pi}{12} \\
&x &=11\times 2\pi + \dfrac{3\pi}{4} \\
\end{array}$$
On retrouve le $k = 11$.
Conclusion. La mesure principale de cet angle est : $$ \boxed{\; \alpha=\text{mp}(x)= \dfrac{3\pi}{4}\pi\;}$$ Puis, on peut chercher la valeur absolue, pour donner la mesure en degré de l’angle géométrique. $$\boxed{\;\;\alpha=135°\;\;}$$


Exemple résolu 5.
Déterminer la mesure principale de l’angle $\dfrac{89\pi}{12}$.
Utiliser la méthode de votre choix.

Soit $\alpha$ la mesure principale de cet angle. Alors, il existe un entier relatif $k$ tel que $x=\alpha+2k\pi$ et $-pi<\alpha\leqslant\pi$.
On effectue donc la division euclidienne de $89$ par $12$. Donc : $89=12\times 7+5$.
En multipliant les deux membres par $\pi$ et en divisant par $12$, on obtient : $$\begin{array}{lrl}
&\dfrac{89}{12}\pi &=\left(\dfrac{12\times7+5}{12}\right)\pi \\
\text{donc : } &x&=7\pi + \dfrac{5\pi}{12} \\
\end{array}$$ On obtient, cette fois, un multiple impair de $\pi$. Ici, $7\pi$ n’est pas un multiple entier de $2\pi$.

En écrivant : $7\pi=6\pi+\pi$, on obtient : $$\begin{array}{lrl}
&\dfrac{89}{12}\pi &=7\pi + \dfrac{5\pi}{12} \\
\text{d’où : } &x &=6\pi+\pi+\dfrac{5\pi}{12} \\
\text{d’où : } &x &=\dfrac{17\pi}{12}+3\times(2\pi) \\
\end{array}$$
On obtient $\alpha= \dfrac{17\pi}{12}$. Or, $\dfrac{17\pi}{12} >\pi$. Ce n’est pas une mesure principale de $x$.
Par contre, $ 0\leqslant\dfrac{17\pi}{12}<2\pi$, donc : $\boxed{\;\dfrac{17\pi}{12}=\text{ppmp}(x)\;}$, la plus petite mesure positive de $x$.

$\bullet$ Recherche de la mesure principale de $x$.

1°) Pour déterminer la mesure principale de $x$, on peut simplement « reculer d’un tour » et écrire : $\alpha= \dfrac{17\pi}{12} -2\pi= -\dfrac{7\pi}{12} =\text{mp}(x)$. Et comme $-\pi<\dfrac{17\pi}{12}\leqslant\pi$, on a bien : $$\boxed{\;\alpha=\text{mp}(x)=-\dfrac{7\pi}{12}\;}$$
2°) On pourrait aussi écrire : $7\pi=8\pi-\pi$. Ce qui donne : $$\begin{array}{lrl}
\text{donc : } &x&=8\pi-\pi + \dfrac{5\pi}{12} \\
\text{donc : } &x &=4\times2\pi-\dfrac{12\pi}{12}+\dfrac{5\pi}{12}\\
\text{d’où : } &x &=-\dfrac{7\pi}{12}+4\times(2\pi)\\
\end{array}$$
Conclusion. Coome $-\pi<-\dfrac{7\pi}{12}\leqslant\pi$, la mesure principale de l’angle $x=\dfrac{89\pi}{12}$ est : $$ \boxed{\; \alpha=\text{mp}(x)= -\dfrac{7\pi}{12}\;}$$ Puis, on peut chercher la valeur absolue, pour donner la mesure en degré de l’angle géométrique. $$\boxed{\;\;\alpha=105°\;\;}$$