Comment placer un point sur le cercle trigonométrique associé à un nombre réel ?

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$.
Soit $x$ un nombre réel quelconque. On cherche à placer le point image $M$ associé à $x$ sur le cercle trigonométrique.

Tout d’abord, pour se repérer, donnons-nous des mesures d’angles en écritures décimales : $$\begin{array}{|l|c|c|}\hline
\text{Deg} &360°& 180& 90 & 60° & 45° & 30°\\ \hline
\text{Rad} &2\pi &\pi &\dfrac{\pi}{2}&\dfrac{\pi}{3} &\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{6}\\ \hline
\text{Rad} &\simeq6,2832& \simeq3,1416 &\simeq1,5708 &\simeq0,7854&\simeq0,7854 &\simeq0,5236\\ \hline
\end{array} $$

1. Points méthodes si $x\in [0;2\pi]$ ou $x\in]-\pi;+\pi]$

C’est une mesure en radian. Le côté initial de l’angle est toujours confondu avec l’axe des $x$ positifs. On tourne dans le sens direct (sens positif = sens contraire des aiguilles d’une montre).

$\bullet$ Point méthode 1. $x\in [0;2\pi[$
$x$ est la plus petite mesure positive d’un angle trigonométrique.
On détermine la mesure $a$ de l’angle en degré (0\leqslant a\leqslant360°). Avec la formule : $$\dfrac{x~en~radian}{2\pi}=\dfrac{a~en~degré}{360}$$ ou encore : $$\dfrac{x~en~radian}{\pi}=\dfrac{a~en~degré}{180}$$ Puis on reporte la mesure en degré, au rapporteur, sur le cercle.

EXEMPLE

Exercice résolu n°1.
Construire le point image $M$ associé à $x=2$ sur le cercle trigonométrique.

$2\in[0;2\pi]$. On construit le tableau de proportionnalité suivant : $$\begin{array}{|l|c|c|}\hline
\text{Deg} & 180& a \\ \hline
\text{Rad}& \pi & 2 \\ \hline
\end{array} $$
On écrit l’égalité des produits en croix, donc : $180\times 2=\pi\times a$. Ce qui donne : $$\boxed{\;\;2\text{ Rad}=\dfrac{360}{\pi}\simeq 114,60° \;\;}$$

Fig. 1. Construction d’un angle de $2$ Rad$=114,6°$


$\bullet$ Point méthode 2. $x\in]-\pi;+\pi]$.
$x$ est la mesure principale d’un angle trigonométrique.
On procède de la même manière en tenant compte du signe de $x$, donc du sens de rotation.
On détermine la mesure $|a|$ de l’angle en degré. Avec les mêmes formules. Puis on reporte la mesure en degré, au rapporteur, sur le cercle.

Angles trigonométriques

EXEMPLE

Exercice résolu n°2.
Construire le point image $M$ associé à $x=-1,2$ sur le cercle trigonométrique.

$-1,2\in]-\pi;0]$. $x=-1,2<0$. On détermine la mesure $a=|x|$ de l’angle en degré. On construira le point $M’$ dans le sens négatif.
On construit d’abord le tableau de proportionnalité suivant : $$\begin{array}{|l|c|c|}\hline
\text{Deg} & 180& a \\ \hline
\text{Rad}& \pi &1,2 \\ \hline
\end{array} $$
On écrit l’égalité des produits en croix, donc : $180\times 1,2=\pi\times a$. Ce qui donne : $$\boxed{\;\;1,2\text{ Rad}=\dfrac{180\times1,2}{\pi}\simeq 68,75° \;\;}$$ Et par conséquent : $x=-68,75°$.


2. Recherche de la plus petite mesure positive de l’angle.

3. Recherche de la mesure principale de l’angle.