Nombres pairs et nombres impairs

1. Définitions

Définitions 1.
On dit qu’un nombre entier $n$ est pair si et seulement si, le reste de la division euclidienne de $n$ par $2$ est égal à $0$.
On dit alors que $n$ est divisible par $2$ ou encore si $n$ un multiple de $2$. Autrement dit : Un nombre entier $n$ est pair si, et seulement si, il existe un entier $k$ tel que : $$n=2k$$

Définitions 2.
Un nombre entier $n$ est impair si et seulement si, le reste de la division euclidienne de $n$ par $2$ est égal à $1$. On dit alors que $n$ est le successeur d’un nombre pair. Autrement dit, un entier $n$ est impair si, et seulement si, il existe un entier $k$ tel que : $$n=2k+1$$

Exemples

$28$, $32$ et $126$ sont des nombres pairs.
$21$, $45$ et $127$ sont des nombres impairs.

Déterminer la parité d’un nombre entier, c’est chercher si ce nombre est pair ou impair.

2. Comment reconnaître si un nombre est pair ou impair ?

Propriétés 1.
1°) Critères de divisibilité par $2$
$\quad$ Un nombre entier $n$ est pair si, et seulement si, il se termine par $0$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ou $8$.
2°) Un nombre entier qui n’est pas pair, est impair. Donc :
$\quad$ Un nombre entier $n$ est impair si, et seulement si, il se termine par $1$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ou $9$.

3. Propriétés des nombres pairs et impairs

Propriétés 2.
1°) La somme de deux nombres pairs est un nombre pair.
2°) La somme de deux nombres impairs est un nombre pair.
3°) La somme d’un nombre pair et un nombre impair est un nombre impair.

Remarque.
On pourrait énoncer et démontrer directement une deuxième série de propositions vraies avec « la différence ». Cependant, comme ces propositions s’appliquent aux nombres entiers, c’est-à-dire les nombres entiers relatifs, elles découlent naturellement des propriétés ci-dessus.

1°) Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers.
Supposons que $a$ et $b$ sont pairs.
Donc, il existe deux entiers $k$ et $k’$ tels que : $a=2k$ et $b=2k’$.
Mais alors :$$a+b=2k+2k’=2(k+k’)$$
On pose $k”=k+k’$. Donc : $a+b=2k”$.
Par conséquent, il existe un entier $k”$ tel que : $a+b=2k”$.
Conclusion. $a+b$ est pair. $\blacktriangle$

2°) Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers.
Supposons que $a$ et $b$ sont impairs.
Donc, il existe deux entiers $k$ et $k’$ tels que : $a=2k+1$ et $b=2k’+1$.
Mais alors :$$\begin{array}{rl}
a+b&=2k+1+2k’+1\\
&=2k+2k’+2\\
&=2(k+k’+1)\\
\end{array}$$
On pose $k”=k+k’+1$. Donc : $a+b=2k”$.
Par conséquent, il existe un entier $k”$ tel que : $a+b=2k”$.
Conclusion. $a+b$ est pair. $\blacktriangle$

3°) Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers.
Supposons que $a$ un entier pair et $b$ est un entier impair.
Donc, il existe deux entiers $k$ et $k’$ tels que : $a=2k$ et $b=2k’+1$.
Mais alors :$$a+b=2k+2k’+1=2(k+k’)+1$$
On pose $k”=k+k’$. Donc : $a+b=2k”+1$.
Par conséquent, il existe un entier $k”$ tel que : $a+b=2k”+1$.
Conclusion. $a+b$ est impair. $\blacktriangle$

Propriétés 3.
1°) Si $n$ est un nombre pair, alors son carré est un nombre pair.
2°) Si $n$ est un nombre impair, alors son carré est un nombre impair.

1°) Soit $n$ un nombre entier.
Supposons que $n$ est pair.
Donc, il existe un entier $k$ tel que : $n=2k$.
Mais alors :$$n^2=(2k)^2=2k\times 2k=2\times 2k^2$$
On pose $k’=2k^2$. Donc : $n^2=2k’$.
Par conséquent, il existe un entier $k’$ tel que : $n^2=2k’$.
Conclusion. $n^2$ est pair. $\blacktriangle$

2°) Soit $n$ un nombre entier.
Supposons que $n$ est impair.
Donc, il existe un entier $k$ tel que : $n=2k+1$.
Mais alors : $$\begin{array}{rl}
n^2&=(2k+1)^2\\
&=(2k)^2+2\times 2k\times1+1^2\\
&= 4k^2+4k+1\\
&=2(2k^2+2)+1\\
\end{array}$$
On pose $k’=2k^2+2$. Donc : $n^2=2k’+1$.
Par conséquent, il existe un entier $k’$ tel que : $n^2=2k’+1$.
Conclusion. $n^2$ est impair. $\blacktriangle$

Propriétés 4.
Soit $n$ est nombre entier. Alors :
1°) Si le carré de $n$ est un nombre pair, alors $n$ est un nombre pair.
2°) Si le carré de $n$ est un nombre impair, alors $n$ est un nombre impair.

Ce résultat nous sera utile pour démontrer que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.

1°) Soit $n$ un nombre entier.
Supposons que $n^2$ est un nombre pair.
Montrons que $n$ est pair.
On raisonne par l’absurde.
Supposons le contraire. c’est-à-dire que $n$ n’est pas pair ; donc il est impair.
Mais alors, comme $n$ est impair, d’après la propriété 3 (ci-dessus), on en déduit que $n^2$ est aussi impair. On aboutit à une contradiction, puisqu’on supposé que $n^2$ était pair.
Par conséquent, l’hypothèse supplémentaire que « $n$ n’est pas pair » est fausse.
Conclusion. Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. $\blacktriangle$

1°) Soit $n$ un nombre entier.
Supposons que $n^2$ est un nombre impair.
Montrons que $n$ est impair.
On raisonne par l’absurde.
Supposons le contraire. c’est-à-dire que $n$ n’est pas impair ; donc il est pair.
Mais alors, comme $n$ est pair, d’après la propriété 3 (ci-dessus), on en déduit que $n^2$ est aussi pair. On aboutit à une contradiction, puisqu’on supposé que $n^2$ était impair.
Par conséquent, l’hypothèse supplémentaire que « $n$ n’est pas impair » est fausse.
Conclusion. Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair. $\blacktriangle$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair.

Soit $n$ un nombre entier. Son successeur est $n+1$.
Montrons que $n(n+1)$ est un nombre pair.
Nous allons distinguer les deux cas possibles suivant la parité de $n$.
$\bullet$ 1er cas : $n$ est pair.
Donc, il existe un entier $k$ tel que : $n=2k$.
Mais alors : $n+1=2k+1$. Ce qui donne : $$n(n+1)=2k\times(2k+1)=2\times k(2k+1)$$
On pose $k’=k(2k+1)$. Donc : $n(n+1)=2k’$.
Par conséquent, il existe un entier $k’$ tel que : $n(n+1)=2k’$.
Conclusion 1. $n(n+1)$ est pair. $\blacktriangle$

$\bullet$ 1er cas : $n$ est impair.
Donc, il existe un entier $k$ tel que : $n=2k+1$.
Mais alors : $n+1=2k+1+1=2k+2$. Ce qui donne : $$n(n+1)=(2k+1)\times(2k+2)=2\times (2k+1)(k+1)$$
On pose $k’=(2k+1)(k+1$. Donc : $n(n+1)=2k’$.
Par conséquent, il existe un entier $k’$ tel que : $n(n+1)=2k’$.
Conclusion 2. $n(n+1)$ est pair. $\blacktriangle$

Conclusion. Pour tout entier $n$, le produit $n(n+1)$ est pair. $\blacktriangle$

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