Enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique.

Liens connexes

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Démonstration
Calcul de $\sin (\frac{π}{4})$ , $\cos (\frac{π}{3})$ et $\sin (\frac{π}{3})$
Exemple d’algorithme
Exemple d’algorithme : Approximation de $π$ par la méthode d’Archimède.

1. Angle trigonométrique

Définition 3.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ .
Un angle trigonométrique est défini par trois données :
$∙$ Le sommet de l’angle est situé à l’origine $O$ du repère.
$∙$ Le côté initial de l’angle est toujours confondu avec l’axe des $x$ positifs.
$∙$ Le côté terminal de l’angle obtenu par rotation du côté initial autour de l’origine $O$ , dans un sens ou dans l’autre.

2. Enroulement de la droite numérique

Définition 4.
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ .
Soit $d$ la droite tangente au cercle trigonométrique au point $I$ .
Sur $d$ , on définit le repère $(I; \vec{ȷ})$ d’origine $I$ .
La droite $d$ est parallèle à l’axe des ordonnées $(O y)$ et est de même sens. $d$ définit alors toute « la droite réelle » ou « droite numérique d’origine $I$ ».

On peut enrouler la droite réelle autour du cercle trigonométrique, à partir de l’origine $I$ , dans les deux sens, positif ou négatif.
On crée ainsi une correspondance entre « tous les nombres réels » et « tous les points du cercle trigonométriques ».

Fig. Enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique

Théorème 2 et Définition.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O; \vec{ı}; \vec{ȷ})$ .
Soit $d$ la droite tangente au cercle trigonométrique au point $I$ , munie du repère $(I; \vec{ȷ})$ . Alors :
1°) Tout nombre réel $x$ , s’applique sur un point unique $M$ sur le cercle trigonométrique, appelé le point-image de $x$ .
2°) Réciproquement :
A tout point $M$ du cercle trigonométrique, correspond une infinité de nombres réels $α$ , abscisses de points de $d$ , séparés de longueurs multiples de $2 π$ , dans les deux sens.
3°) Si $α$ est l’abscisse de l’un de ces points, tous les autres auront pour abscisses $x = α + k \times 2 π = α + 2 k π, k \in Z$

Définition 5.
Soit $x$ un nombre réel et $M$ le point-image de $x$ sur le cercle trigonométrique.
On dit que $x$ est une mesure en radian de l’angle trigonométrique $\hat{I O M}$ .
Si $x$ et $x^{'}$ sont deux nombres réels associés au même point $M$ du cercle trigonométrique, alors la différence $x^{'} - x$ est un multiple de $2 π$ . C’est-à-dire qu’il existe un entier relatif $k$ tel que $x - x^{'} = k \times 2 π$ . On note alors : $x^{'} \equiv x (modulo 2 π)$
On dit alors que les deux mesures $x$ et $x^{'}$ sont équivalentes (ou « congrues ») modulo $2 π$ , c’est-à-dire à un multiple de $2 π$ près.

EXEMPLE

Exemple résolu n°2.
Soit $x = \frac{π}{3}$ une mesure d’un angle trigonométrique.
1°) Donner deux mesures différentes de cette angle.
2°) Donner toutes les mesures associées de cette angle.

Corrigé Exercice 2.

1°) Si $x = \frac{π}{3}$ est une mesure d’un angle trigonométrique, alors $x = \frac{π}{3} + 2 π = \frac{7 π}{3}$ et $x = \frac{π}{3} - 2 π = - \frac{5 π}{3}$ sont aussi des mesures en radian de cet angle. On peut alors ajouter ou soustraire n’importe quel multiple de $2 π$ pour obtenir une nouvelle mesure.

2°) Plus généralement, pour tout $k \in Z$ , $x + k \times 2 π = x + 2 k π$ est encore une mesure de cet angle. Par conséquent, l’ensemble de toutes les mesures associées de cette angle, est formé de toutes les valeurs $x + 2 k π$ , $k \in Z$ .

3. Mesures remarquables des angles trigonométriques

3.1. La plus petite mesure positive d’un angle

Définition 6.
Dans un repère orthonormé direct $(O, \vec{ı}, \vec{ȷ})$ , on considère un angle trigonométrique de mesure $x$ radians. Alors, parmi les valeurs associées à $x$ de la forme $x + 2 k π$ , $k \in Z$ , il en existe une et une seule qui appartient à l’intervalle $[0; 2 π [$ . Cette mesure s’appelle la plus petite mesure positive de l’angle trigonométrique.

EXEMPLE

Exercice résolu n°3.
Déterminer la plus petite mesure positive d’un angle trigonométrique de mesure $x = \frac{29 π}{3}$ en radians.

Corrigé Exercice 3.

$\frac{29 π}{3} = 9 π + \frac{2 π}{3} = 4 \times (2 π) + π + \frac{2 π}{3} = 4 \times (2 π) + \frac{5 π}{3}$ .
Or, $0 ⩽ \frac{5 π}{3} < 2 π$ . Par conséquent, la plus petite mesure positive de $x$ est : $α = ppmp (x) = \frac{2 π}{3}$

3.2. Mesure principale d’an angle

Définition 6.
Dans un repère orthonormé direct $(O, \vec{ı}, \vec{ȷ})$ , on considère un angle trigonométrique de mesure $x$ radians. Alors, parmi les valeurs associés à $x$ de la forme $x + 2 k π$ , $k \in Z$ , il en existe une et une seule qui appartient à l’intervalle $] - π; π]$ . Cette mesure s’appelle la mesure principale de l’angle trigonométrique.

EXEMPLE

Exercice résolu n°3bis.
Déterminer la mesure principale d’un angle trigonométrique de mesure $x = \frac{29 π}{3}$ en radians.

Corrigé Exercice 3bis.

Nous avons vu c-dessus que : $\frac{29 π}{3} = 4 \times (2 π) + \frac{5 π}{3}$ .
Or, $0 ⩽ \frac{5 π}{3} < 2 π$ , mais $\frac{5 π}{3} \notin] - π; + π]$ . Donc, $\frac{5 π}{3}$ n’est pas la mesure principale de $x$ .
Il suffit de « reculer d’un tour » et on obtient : $\frac{5 π}{3} - 2 π = - \frac{π}{3}$ . De plus $- \frac{π}{3} \in] - π; + π]$ .
Par conséquent, la mesure principale de $x$ est : $α = mp (x) = - \frac{π}{3}$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°4.
Déterminer la mesure principale de l’angle $x = \frac{273 π}{12}$ .
Indication :
1ère méthode algébrique : Encadrement direct.
2ème mathode : Utilisation de la division euclidienne.

Corrigé Exercice 4.

Soit $α$ la mesure principale de cet angle. Alors, il existe un entier relatif $k$ tel que $x = α + k \times 2 π$ et $- p i < α ⩽ π$ .

1ère méthode (algébrique) (qui paraît compliquée, mais elle est rigoureuse et méthodique) : On pose $α = x - k \times 2 π$ et on écrit que $- π < α ⩽ π$ pour déterminer un encadrement de $k$ . On a alors : $\begin{array}{lc} - π < α ⩽ π \\ donc : & - π < \frac{273 π}{12} - 2 k π ⩽ π \\ donc : & - π - \frac{273 π}{12} < - 2 k π ⩽ π - \frac{273 π}{12} \\ donc : & - \frac{285 π}{12} < - 2 k π ⩽ - \frac{261 π}{12} \end{array}$ En divisant par $- 2 π$ (attention, on divise par un nombre négatif !), on obtient :
$\frac{285}{24} ⩽ k < \frac{261}{24}$ Ce qui donne : $10, 875 ⩽ k < 11, 875$

$k$ étant un nombre entier relatif, $k \in Z$ , cette inégalité admet une seule solution : $k = 11$ .

Donc : $α = x - 2 k π = \frac{273 π}{12} - 2 \times 11 \times π$ . Et par suite $α = \frac{9 π}{12} = \frac{3 π}{4}$ .

Conclusion. La mesure principale de cet angle est : $α = mp (x) = \frac{3 π}{4}$ Puis, on peut chercher la valeur absolue, pour donner la mesure en degré de l’angle géométrique. $α = 135 °$

2ème méthode (pratique, plus facile, aussi rigoureuse, mais rapide et pratique) :
On on cherche $k$ de telle sorte que $x = α + 2 k π$ et $- π < α ⩽ π$ :
On effectue donc la division euclidienne de $273$ par $12$ . Donc : $273 = 12 \times 22 + 9$ .
En multipliant les deux membres par $π$ et en divisant par $12$ , on obtient : $\begin{array}{lrl} \frac{273}{12} π & = (\frac{12 \times 22 + 9}{12}) π \\ donc : & \frac{273}{12} π & = 22 π + \frac{9 π}{12} \\ ou encore : & x & = \frac{3 π}{4} π \\ x & = 22 π + \frac{9 π}{12} \\ x & = 11 \times 2 π + \frac{3 π}{4} \end{array}$
On retrouve le $k = 11$ .
Conclusion. La mesure principale de cet angle est : $$ \boxed{\; \alpha=\text{mp}(x)= \dfrac{3\pi}{4}\pi\;}$$ Puis, on peut chercher la valeur absolue, pour donner la mesure en degré de l’angle géométrique. $α = 135 °$

Exemple résolu 5.
Déterminer la mesure principale de l’angle $\frac{89 π}{12}$ .
Utiliser la méthode de votre choix.

Corrigé Exercice 5.

Soit $α$ la mesure principale de cet angle. Alors, il existe un entier relatif $k$ tel que $x = α + 2 k π$ et $- p i < α ⩽ π$ .
On effectue donc la division euclidienne de $89$ par $12$ . Donc : $89 = 12 \times 7 + 5$ .
En multipliant les deux membres par $π$ et en divisant par $12$ , on obtient : $\begin{array}{lrl} \frac{89}{12} π & = (\frac{12 \times 7 + 5}{12}) π \\ donc : & x & = 7 π + \frac{5 π}{12} \end{array}$ On obtient, cette fois, un multiple impair de $π$ . Ici, $7 π$ n’est pas un multiple entier de $2 π$ .

En écrivant : $7 π = 6 π + π$ , on obtient : $\begin{array}{lrl} \frac{89}{12} π & = 7 π + \frac{5 π}{12} \\ d’où : & x & = 6 π + π + \frac{5 π}{12} \\ d’où : & x & = \frac{17 π}{12} + 3 \times (2 π) \end{array}$
On obtient $α = \frac{17 π}{12}$ . Or, $\frac{17 π}{12} > π$ . Ce n’est pas une mesure principale de $x$ .
Par contre, $0 ⩽ \frac{17 π}{12} < 2 π$ , donc : $\frac{17 π}{12} = ppmp (x)$ , la plus petite mesure positive de $x$ .

$∙$ Recherche de la mesure principale de $x$ .

1°) Pour déterminer la mesure principale de $x$ , on peut simplement « reculer d’un tour » et écrire : $α = \frac{17 π}{12} - 2 π = - \frac{7 π}{12} = mp (x)$ . Et comme $- π < \frac{17 π}{12} ⩽ π$ , on a bien : $α = mp (x) = - \frac{7 π}{12}$
2°) On pourrait aussi écrire : $7 π = 8 π - π$ . Ce qui donne : $\begin{array}{lrl} donc : & x & = 8 π - π + \frac{5 π}{12} \\ donc : & x & = 4 \times 2 π - \frac{12 π}{12} + \frac{5 π}{12} \\ d’où : & x & = - \frac{7 π}{12} + 4 \times (2 π) \end{array}$
Conclusion. Coome $- π < - \frac{7 π}{12} ⩽ π$ , la mesure principale de l’angle $x = \frac{89 π}{12}$ est : $α = mp (x) = - \frac{7 π}{12}$ Puis, on peut chercher la valeur absolue, pour donner la mesure en degré de l’angle géométrique. $α = 105 °$