Réciproque du théorème de Thalès, nœud papillon
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1. La réciproque du théorème de Thalès, nœud papillon
Réciproque ou Contraposée ? Lire la suite >>
Dans une configuration nœud papillon comme l’indique la figure ci-dessous, sous quelles conditions peut-on affirmer que les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ?

1. Réciproque du théorème de Thalès, nœud papillon (1ère version)
Si les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$, les points $B$, $A$ et $M$
sont alignés dans cet ordre et les points $C$, $A$ et $N$ sont alignés dans le même ordre ; si de plus, deux des trois rapports $\dfrac{AM}{AB}$, $\dfrac{AN}{AC}$ et $\dfrac{MN}{BC}$ sont égaux, alors les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
La condition d’alignement des points (très souvent oubliée par nos élèves) est très importante.
En effet, on peut construire une figure avec un triangle $ABC$, le point $M\in[AB]$ (sur le côté $[AB]$) et le point $N\not\in[AC]$, mais $N\in[CA)$ (extérieur au triangle $ABC$). On peut avoir égalité des rapports, mais des droites $(MN)$ et $(BC)$ non parallèles !
2. Exercices résolus
Exercice résolu n°1. (Brevet des collèges)
La figure ci-dessous n’est pas réalisée en vraie grandeur. Les points $B$, $A$ et $E$ sont alignés, ainsi que les points $C$, $A$ et $F$. On donne : $AB = 5$cm, $AE =3$cm, $EF = 4,8$cm et $BC=8$cm.
1°) Les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
2°) En déduire un calcul de la longueur $AF$.

Exercice résolu n°2. (Brevet des collèges)
$ABC$ est un triangle tel que $AB = 5$cm, $AC =6,5$cm et $BC =8$cm.
On place le point $M\in[AB]$ tel que $AM=2$cm et le point $N\in[CA)$, mais $N\not\in[CA]$, tel que $AN=2,6$cm.
1°) Calculer séparément les deux rapports : $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$. Que constatez-vous ?
2°) Peut-on en déduire que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ? Justifier votre réponse.
3. Exercices supplémentaires pour s’entraîner
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