Réciproque du théorème de Thalès, nœud papillon

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1. La réciproque du théorème de Thalès, nœud papillon

Réciproque ou Contraposée ? Lire la suite >>

Dans une configuration nœud papillon comme l’indique la figure ci-dessous, sous quelles conditions peut-on affirmer que les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ?

$(MN)//(BC)$ ?

1. Réciproque du théorème de Thalès, nœud papillon (1ère version)
Si les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$, les points $B$, $A$ et $M$
sont alignés dans cet ordre et les points $C$, $A$ et $N$ sont alignés dans le même ordre ; si de plus, deux des trois rapports $\dfrac{AM}{AB}$, $\dfrac{AN}{AC}$ et $\dfrac{MN}{BC}$ sont égaux, alors les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

La condition d’alignement des points (très souvent oubliée par nos élèves) est très importante.
En effet, on peut construire une figure avec un triangle $ABC$, le point $M\in[AB]$ (sur le côté $[AB]$) et le point $N\not\in[AC]$, mais $N\in[CA)$ (extérieur au triangle $ABC$). On peut avoir égalité des rapports, mais des droites $(MN)$ et $(BC)$ non parallèles !

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. (Brevet des collèges)
La figure ci-dessous n’est pas réalisée en vraie grandeur. Les points $B$, $A$ et $E$ sont alignés, ainsi que les points $C$, $A$ et $F$. On donne : $AB = 5$cm, $AE =3$cm, $EF = 4,8$cm et $BC=8$cm.
1°) Les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
2°) En déduire un calcul de la longueur $AF$.

$(EF)//(BC)$ ?

Modèle de rédaction :
1ère étape : Compléter la figure pour visualiser les données.

2ème étape : on cite les hypothèses :
Les droites $(BE)$ et $(CF)$ sont sécantes en $A$.
Les points $B$, $A$ et $C$ sont alignés dans cet ordre, et les points $C$, $A$ et $F$ sont alignés dans le même ordre.

3ème étape : on calcule séparément les rapports dont on connaît les valeurs.
$\dfrac{AE}{AB}=\color{brown}{\dfrac{3}{5}}$ et $\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{4,8}{8}=\dfrac{3\times 1,6}{5\times 1,6}=\color{brown}{\dfrac{3}{5}}$

4ème étape : On vérifie si les rapports sont égaux ou non.
On constate que : $$\dfrac{AE}{AB}=\color{brown}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{EF}{BC}$$

5ème étape : on applique la réciproque du théorème de Thalès.
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, on peut affirmer que les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles.

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Exercice résolu n°2. (Brevet des collèges)
$ABC$ est un triangle tel que $AB = 5$cm, $AC =6,5$cm et $BC =8$cm.
On place le point $M\in[AB]$ tel que $AM=2$cm et le point $N\in[CA)$, mais $N\not\in[CA]$, tel que $AN=2,6$cm.
1°) Calculer séparément les deux rapports : $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$. Que constatez-vous ?
2°) Peut-on en déduire que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ? Justifier votre réponse.

Modèle de rédaction :
Faire une figure à titre indicatif pour visualiser les données.

1°) Calculons séparément les deux rapports :
$\dfrac{AM}{AB}= \color{brown}{\dfrac{2}{5}}$ et $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2,6}{6,5}=\dfrac{2\times 1,3}{5\times 1,3}=\color{brown}{\dfrac{2}{5}}$.
On constate que ces deux rapports sont égaux.

2°) Pour vérifier si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, il nous faut vérifier si les points $B$, $A$, $M$ et $C$, $A$, $N$ sont rangés dans le même ordre.
Construisons une figure à titre indicatif pour visualiser les données.

D’après l’énoncé : le point $M\in[AB]$ (appartient à un côté du triangle $ABC$) tel que $AM=2$cm et le point $N$ appartient à la demi-droite $[CA)$, mais $N\not\in[CA]$, tel que $AM=2,6$cm.
Par conséquent, les points $B$, $A$, $M$ et $C$, $A$, $N$ ne sont pas rangés dans le même ordre, et ne forment pas deux triangles $ABC$ et $AMN$, opposés par le sommet $A$.
On ne peut donc pas appliquer la réciproque du théorème de Thalès.

Cependant, par lecture graphique, nous constatons que les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

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3. Exercices supplémentaires pour s’entraîner

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