Réciproque ou contraposée ?


1. L’implication logique

Nous avons déjà vu depuis la classe de 5ème des propositions logiques (phrases mathématiques) construites sous la forme :

« SI… une hypothèse (vraie), ALORS… une conclusion (vraie) »

La syntaxe « Si… Alors… » s’appelle une implication logique.

Définition.
L’implication logique qu’on note : $$\text{« }P\Rightarrow Q\text{ »}$$
se lit « $P$ implique $Q$ » et signifie : « Si $P$ est vraie, Alors $Q$ est vraie ».
On dit aussi que « $P$ entraîne $Q$ ».
$P$ s’appelle « l’hypothèse » ou une « prémisse » et $Q$ « la conclusion » ou une « conséquence » de $P$.

Exemple 1.
Soit $x$ un nombre réel. L’implication logique :

« $(x=2)\Rightarrow (x+3=5)$ » (1)

est une proposition vraie.

Démonstration.
Soit $x$ un nombre réel.
Supposons que $x=2$.
On a alors : $x+3=2+3$.
Donc : $x+3=5$.
Conclusion. « $x+3=5$ » est vraie.

Remarque. A partir de la prémisse $x=2$, on peut « déduire » différentes conséquences.

Exemple 2.
Soit $x$ un nombre réel. L’implication logique :

« $(x=2)\Rightarrow (x^2=4)$ » (2)

est une proposition vraie.

Démonstration.
Soit $x$ un nombre réel.
Supposons que $x=2$.
On a alors : $x^2=2^2$.
Donc : $x^2=4$.
Conclusion. « $x^2=4$ » est vraie.

Exemple 2.
L’implication logique :

« Si j’habite à Paris, Alors j’habite en France » (3)

est une proposition vraie.

Propriété fondamentale 1.
Soient $P$, $Q$ et $R$ trois propositions logiques.
Si « $P\Rightarrow Q$ » et « $Q\Rightarrow R$ », Alors « $P\Rightarrow R$ ».

Cette propriété s’appelle la « transitivité de l’implication » est est à la base du « raisonnement par implication ».

Remarque.
Dans une suite de propositions logiques, un « donc », un « alors » ou un « par conséquent » ou encore un « par suite » sont des implications logiques élémentaires (évidentes) qui forment un enchaînement de propositions logiques qu’on appelle un « raisonnement logique ».

On peut donc généraliser cette propriété à une suite finie de propositions logiques.

Propriété 2.
Soit $n$ un nombre entier naturel, $n\geqslant 3$.
Soient $P_1$, $P_2$ et $P_n$ trois propositions logiques.
Si « $P_1\Rightarrow P_2$ » et « $P_2\Rightarrow P_3$ » et « $P_{n-1}\Rightarrow P_n$ » ; Alors « $P_1\Rightarrow P_n$ ».

2. Réciproque d’une implication

La réciproque est la proposition écrite dans l’autre sens « $Q$ implique $P$ », autrement dit « Si $Q$ est vraie, Alors $P$ est vraie »

Exemples:

« Si $x=2$, alors $x+3=5$ » (2)

Ces deux propositions logiques sont vraies.


La réciproque de la proposition (1) est la proposition écrite dans l’autre sens comme suit :

« Si j’habite en France, alors j’habite à Paris » (1bis)

Bien évidemment, cette proposition logique (1bis) est fausse.
Dans cet exemple, on dit alors que « la réciproque est fausse ».

La réciproque de la proposition (2) est la proposition écrite dans l’autre sens comme suit :

« Si $x+3=5$, alors $x=2$ » (2bis)

Il est clair que la proposition logique (2bis) est fausse.
Dans cet exemple, on dit alors que « la réciproque est vraie ».


Mais, ce qu’on appelle « la contraposée » est la proposition logique des négations dans l’autre sens :

« SI je n’habite pas en France, ALORS je n’habite pas à Paris »

Il est clair que cette dernière proposition est VRAIE. Ce qui se traduit par :

« SI la conclusion est fausse, ALORS l’hypothèse est (forcément) fausse »

Nous pourrons nous poser la question concernant tous les théorèmes connus : Théorème de Thalès, Théorème de Pythagore, Théorème de la droite des milieux,… etc.

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. (Brevet des collèges)
Sur le dessin ci-dessous, les points $A$, $C$, $O$, $E$ sont alignés ainsi que les points $B$, $D$, $O$ et $F$. (On ne demande pas de refaire le dessin).
De plus, on donne les longueurs suivantes :
$CO = 3$cm, $AO = 3,5$cm, $OB = 4,9$cm, $OD = 1,8$cm, $OF = 2,8$cm et $OE = 2$cm.
1) Montrer que les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont parallèles.
2) Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Modèle de rédaction :
Faire une figure à titre indicatif pour visualiser les données.

1°) Montrons que les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont parallèles.
Naturellement, pour cette question, on se place dans le nœud papillon.
Les droites $(BF)$ et $(AE)$ sont sécantes en $O$.
Les points $A$, $O$ et $E$ sont alignés dans cet ordre, et les points $B$, $O$ et $F$ sont alignés dans le même ordre.

Je calcule séparément les rapports :
$\dfrac{OF}{OB}=\dfrac{2,8}{4,9}=\dfrac{28}{49}=\color{brown}{\dfrac{4}{7}}$ et $\dfrac{OE}{OA}=\dfrac{2}{3,5}=\dfrac{2\times 2}{3,5\times 2}=\color{brown}{\dfrac{4}{7}}$.
On constate que ces deux rapports sont égaux. $$\dfrac{OF}{OB}=\dfrac{OE}{OA}$$

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, on peut affirmer que les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont parallèles.


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Exercice résolu n°2. (Brevet des collèges)
Même énoncé que l’exercice n°1.
2) Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Modèle de rédaction :
Faire une figure à titre indicatif pour visualiser les données.

2°) Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
Naturellement, pour cette question, on se place dans le triangle $OAB$
Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont sécantes en $O$.
Les points $A$, $C$ et $O$ sont alignés dans cet ordre, et les points $B$, $D$ et $O$ sont alignés dans le même ordre.

Je calcule séparément les rapports :
$\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{3}{3,5}=\dfrac{3\times 2}{3,5\times 2}=\color{brown}{\dfrac{6}{7}}$ et $\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{3,5}{4,9}=\dfrac{35}{49}=\color{brown}{\dfrac{5}{7}}$.
On constate que ces deux rapports ne sont pas égaux. $$\dfrac{OC}{OA}\not=\dfrac{OD}{OB}$$

Donc, d’après la contraposée du théorème de Thalès, on peut affirmer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.


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3. Exercices supplémentaires pour s’entraîner

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