1. Ce que dit le programme
En classe de première, les suites sont présentées d’un point de vue principalement algébrique. L’objectif est que l’élève soit confronté à des systèmes discrets pour lesquels les suites numériques apparaissent comme modélisation adaptée. C’est aussi l’occasion d’aborder le concept de définition par récurrence.
L’élève rencontre différents modes de génération de suites :
— par une formule explicite $u_n=f(n)$ ;
— par une relation de récurrence $u_{n+1} =f(u_n)$ ;
— par des motifs géométriques ou combinatoires, par exemple suite de nombres figurés, suite décrivant le nombre d’éléments dans une configuration dépendant d’un entier naturel.
Les suites arithmétiques et géométriques sont formalisées. D’autres types simples peuvent être abordés, mais aucune connaissance spécifique à leur sujet n’est au programme.
Dans tous les cas, on peut s’intéresser au passage d’un mode de génération à un autre, et notamment à la recherche d’une formule explicite pour une suite définie d’une autre façon. Les suites interviennent comme modélisations d’évolutions à temps discret rencontrées dans les autres disciplines : évolution ou actualisation d’un capital, évolution d’une population, décroissance radioactive. C’est l’occasion de réactiver le travail sur l’information chiffrée fait en classe de seconde, notamment sur le taux d’évolution. L’élève doit automatiser le fait qu’une évolution à taux fixe est modélisée par une suite géométrique et percevoir l’intérêt de considérer le rapport de deux termes consécutifs. Lors de l’étude ultérieure de la fonction exponentielle, on réactive le travail sur les suites géométriques en mettant en parallèle évolution géométrique à temps discret et évolution exponentielle à temps continu.
2. Les suites numériques
- Définition d’une suite numérique
- Différents modes de génération d’une suite numérique
- Forme explicite : Chaque terme $u_n$ est défini par une expression explicite en fonction de $n$
- Forme récurrente : Chaque terme $u_n$ est défini par une expression en fonction de $n$
- Forme aléatoire : Chaque terme $u_n$ est défini comme un nombre aléatoire quelconque ou dans un intervalle.
- Forme géométrique : Chaque terme $u_n$ est défini par une construction utilisant ou non $n$ objets.
- Avec un tableur : Chaque terme $u_n$ est défini par une construction utilisant ou non $n$ objets.
- Avec un algorithme : Chaque terme $u_n$ est défini par un algorithme en fonction de $n$.
- Sens de variation d’une suite
- Les suites arithmétiques
- Les suites arithmétiques comme modèles discrets d’évolutions absolues constantes (croissance linéaire)
- Suite arithmétique : Relation de récurrence. Forme explicite.
- Suites arithmétiques. Exercices résolus. Série 1
- Sens de variation d’une suite arithmétique
- Propriétés des suites arithmétiques
- Représentation graphique d’une suite arithmétique
- Les suites géométriques
- Les suites géométriques (à termes strictement positifs) comme modèles discrets d’évolutions relatives constantes (croissance exponentielle)
- Suites géométriques. Relation de récurrence. Forme explicite. Fonction associée
- Propriété des suites géométriques
- Sens de variation d’une suite géométrique
- Représentation graphique d’une suite géométrique
- Exercices sur les suites
- Modéliser une situation à l’aide d’une suite.
- Reconnaître si une situation relève d’un modèle discret de croissance linéaire ou exponentielle.
- Calculer un terme de rang donné d’une suite définie par une relation fonctionnelle ou une relation de récurrence.
- Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d’une suite.
- Conjecturer, à partir de sa représentation graphique, la nature arithmétique ou géométrique d’une suite.
- Démontrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique.
- Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique ou géométrique à l’aide de la raison.