1. L’implication logique. Le « Si…, Alors… » du collège

Nous avons déjà vu depuis la classe de 5ème des propositions logiques et étudié leurs réciproques (la proposition écrite dans l’autre sens). Nous allons introduire ici la notion de contraposée et la différencier de la réciproque.
Une implication logique est une phrase mathématique construite sous la forme : « Si… une hypothèse (est vraie), Alors… une conclusion (est vraie) ».
La syntaxe « Si… Alors… » est une implication et se note désormais :

Définition 1.
L’implication logique qu’on note : $\text{« }P\Rightarrow Q\text{ »}$ se lit « $P$ implique $Q$ » et signifie : « Si $P$ est vraie, Alors $Q$ est vraie ».
On dit aussi que « $P$ entraîne $Q$ ».
$P$ s’appelle une « hypothèse » ou une « prémisse » et $Q$ une « conclusion » ou une « conséquence » de $P$.

Exercice résolu n°1.
Soit $x$ un nombre relatif. L’implication logique : « $(x=2)\Rightarrow (x+3=5)$ », est une proposition vraie.

Démonstration.
Soit $x$ un nombre relatif.
Supposons que l’égalité $x=2$ est vraie.
On peut ajouter le même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité. Donc
on obtient alors : $x+3=2+3$.
Ce qui donne : $x+3=5$.
Conclusion. « $x+3=5$ » est vraie.

Prenons un deuxième exemple dans la vie courante :

Exercice résolu n°2.
L’implication logique : « Si j’habite à Paris, Alors j’habite en France », est une proposition vraie.

En effet, supposons que « j’habite à Paris ».
Comme la ville de Paris est située en France, bien sûr, ceci implique forcément que « j’habite en France ».
Par conséquent, L’implication logique : « Si j’habite à Paris, Alors j’habite en France », est une proposition vraie.

La réciproque d’une proposition logique est la proposition écrite dans l’autre sens !

La réciproque de la phrase de l’exemple 2 s’écrit dans l’autre sens :
« Si j’habite en France, Alors j’habite à Paris ».
Bien évidemment, cette réciproque est fausse, car « Si j’habite en France, Alors je n’habite pas forcément à Paris ». Je peux habiter Lyon ou Marseille ou ailleurs !

2. Une nouvelle proposition logique « La contraposée »

2.1. Négation d’une phrase logique

Définition 1.
Si $P$ est une phrase ou proposition logique, alors $\textbf{non}\,P$ est la négation de la phrase ou proposition $P$.
$\textbf{non}\,P$ est vraie lorsque $P$ est fausse et $\textbf{non}\,P$ est fausse lorsque $P$ est vraie.

Exercice résolu n°3.
Déterminer la négation de la phrase : « j’habite à Paris ».

La négation de la phrase : « j’habite à Paris », est la phrase « je n’habite pas à Paris ».

Plus généralement, pour trouver la négation d’une phrase ou proposition logique, il suffit de nier la phrase :

  • Négation de « est pair » est « n’est pas pair »
  • Négation de « est un carré parfait » est « n’est pas un carré parfait »
  • Négation de « est positif » est « n’est pas positif » (c’est-à-dire $\leqslant0$).

2.2. La contraposée d’une implication logique

Définition 2.
À partir d’une implication « Si $P$ est vraie, alors $Q$ est vraie », on peut former une nouvelle phrase ou implication logique. La contraposée de l’implication « Si $P$, alors $Q$» se définit par :
« Si $\textbf{non}\,Q$, alors $\textbf{non}\,P$ ».

Autrement dit : « Si $\textbf{non}\,Q$ est vraie, alors $\textbf{non}\,P$ est vraie ».
Ce qui revient à dire que « Si la conclusion est fausse, Alors l’hypothèse est fausse ».

Exercice résolu n°4.
Déterminer la contraposée de l’implication « Si j’habite à Paris, Alors j’habite en France ».

La contraposée de l’implication « Si j’habite à Paris, Alors j’habite en France », est l’implication :
« Si je n’habite en France, Alors je n’habite pas à Paris ».

2.3. Quand la contraposée est-elle vraie ?

La propriété suivante est très importante pour faire des démonstrations :

Théorème 1. Très important !
Une implication logique et sa contraposée sont équivalentes. Elles ont toujours la même valeur de vérité. (ce qui n’est pas vrai pour la réciproque).
Autrement dit, Si l’une est vraie, Alors l’autre est vraie ; et Si l’une est fausse, Alors l’autre est fausse.

Remarque

On pourra appliquer cette notion pour la contraposée du théorème de Pythagore pour démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle ; ou la contraposée du théorème de Thalès pour démontrer que les deux droites ne sont pas parallèles, etc.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°5.
On considère l’implication logique « Si un nombre est multiple de 4, Alors il est pair. ».
1°) Cette implication est-elle vraie ? Justifier votre réponse.
2°) Écrire la réciproque de cette implication logique. Et dites si cette réciproque est vraie ou fausse.
3°) Écrire la contraposée de cette implication logique. Et dites si cette réciproque est vraie ou fausse.

Corrigé.
On considère l’implication logique « Si un nombre entier est multiple de 4, Alors il est pair. ».

1°) Cette implication est vraie.
En effet, supposons qu’un nombre entier $n$ est un multiple de 4.
Donc, il existe un existe un nombre entier $q$ tel que $n=4q$.
Mais alors, $n=2\times2q$, qu’on peut encore écrire $n=2\times(2q)$.
Si on pose $k=2q$, on obtient : $n=2\times k$.
Ce qui montre que $n$ est un multiple de $2$. Donc $n$ est un nombre pair.
Conclusion. Cette implication est vraie.

2°) La réciproque de cette implication logique est l’implication écrite dans l’autre sens :
« Si un nombre entier est pair, Alors il est multiple de 4 ».
Bien évidemment, cette proposition est fausse (par le contre-exemple), car il existe des nombres pairs qui ne sont pas des multiples de 4.
Par exemple $6$ est un nombre pair, mais $6$ n’est pas un multiple de 4.
Conclusion. La réciproque de cette implication est fausse.

3°) La contraposée de cette implication logique est l’implication
« Si un nombre entier n’est pas pair, Alors il n’est pas un multiple de 4 ».
Bien évidemment, Si un nombre entier $n$ n’est pas pair, alors il est impair.
Or, il n’existe aucun nombre entier impair qui soit multiple de 4.
Donc, en particulier $n$ n’est pas un multiple de 4.
Conclusion. La contraposée de cette implication est vraie.
CQFD.$\blacktriangle$

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Un exercice en géométrie

Exercice résolu n°6.
On considère l’implication logique « Si une figure géométrique est un carré, Alors elle a quatre côtés ».
1°) Cette implication est-elle vraie ? Justifier votre réponse.
2°) Écrire la réciproque de cette implication logique. Et dites si cette réciproque est vraie ou fausse.
3°) Écrire la contraposée de cette implication logique. Et dites si cette réciproque est vraie ou fausse.

Corrigé.
On considère l’implication logique « Si une figure géométrique est un carré, Alors elle a quatre côtés ».
1°) Cette implication est vraie
En effet, supposons une figure géométrique soit un carré.
Or un carré est un quadrilatère. Donc il a quatre côtés.
Conclusion. Cette implication est vraie.

2°) La réciproque de cette implication logique est l’implication écrite dans l’autre sens :
« Si une figure géométrique a quatre côtés, Alors cette c’est un carré ».
Bien évidemment, cette proposition est fausse (par le contre-exemple), car il existe des quadrilatère qui ne sont pas des carrés.
Par exemple un trapèze non rectangle est ne figure géométrique a quatre côtés, mais n’ayant pas d’angles droits, ce n’est pas un carré.
Conclusion. La réciproque de cette implication est fausse.

3°) La contraposée de cette implication logique est l’implication :
« Si une figure géométrique n’a pas quatre côtés, Alors ce n’est pas un carré ».
Bien évidemment, cette contraposée est vraie.
Conclusion. La contraposée de cette implication est vraie.
CQFD.$\blacktriangle$

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