L’implication logique

1. Le « Si…, Alors… » du collège

Nous avons déjà vu depuis la classe de 5ème des propositions logiques (phrases mathématiques) construites sous la forme :

« SI… une hypothèse (vraie), ALORS… une conclusion (vraie) »

La syntaxe « Si… Alors… » s’appelle désormais une implication logique.

Définition 1.
L’implication logique qu’on note : $$\text{« }P\Rightarrow Q\text{ »}$$
se lit « $P$ implique $Q$ » et signifie : « Si $P$ est vraie, Alors $Q$ est vraie ».
On dit aussi que « $P$ entraîne $Q$ ».

$P$ s’appelle « l’hypothèse » ou une « prémisse » et $Q$ « la conclusion » ou une « conséquence » de $P$.

Exemple 1.
Soit $x$ un nombre réel. L’implication logique : $$\text{« }(x=2)\Rightarrow (x+3=5)\text{ »}$$ est une proposition vraie.

Démonstration.
Soit $x$ un nombre réel.
Supposons que $x=2$.
On a alors : $x+3=2+3$.
Donc : $x+3=5$.
Conclusion. « $x+3=5$ » est vraie.

Remarque. A partir de la prémisse $x=2$, on peut « déduire » différentes conséquences. Exemples 1 et 2.

Exemple 2.
Soit $x$ un nombre réel. L’implication logique : $$\text{« }(x=2)\Rightarrow (x^2=4)\text{ »}$$ est une proposition vraie.

Démonstration.
Soit $x$ un nombre réel.
Supposons que $x=2$.
On a alors : $x^2=2^2$.
Donc : $x^2=4$.
Conclusion. « $x^2=4$ » est vraie.

Exemple 3.
L’implication logique : $$\text{« Si }\textit{j’habite à Paris}, \text{ Alors }\textit{j’habite en France } \text{»}$$ est une proposition vraie.

1. Principe de démonstration d’une implication logique

Au collège, nous faisions des démonstrations à une ou deux étapes, basées sur la syntaxe :

« On sait que…, Or…, Donc… »

« On sait que et on cite les hypothèses, c’est-à-dire les données du problème.
Or et on récite une propriété, ou bien on cite le nom d’un théorème
Donc on en déduit le résultat demandé
Et enfin, on écrit la Conclusion. »
Cette méthode suppose que la démonstration contient une seule étape. Avec deux étapes, on peut écrire :

« On sait que…, Or…, Donc… . De plus, on sait que, Donc… »

Définition 2.
Soient $P$ et $Q$ deux propositions logiques. La démonstration d’une implication logique est fondée sur l’axiome suivant :
« Si une hypothèse $P$ est vraie et l’implication $P\Rightarrow Q$ est vraie, alors la conclusion $Q$ est vraie ».
Avec des symboles :
Si « $P$ est vraie » et « $P\Rightarrow Q$ est vraie », Alors « $Q$ est vraie ».

Pour démontrer qu’une implication est vraie, nous devons « supposer que l’hypothèse est vraie », puis trouver un enchaînement d’implications vraies qui utilisent les propriétés et théorèmes déjà connus, pour aboutir à la conclusion qui, par conséquent, devient vraie.

2. Le raisonnement par implications successives

La propriété suivante s’appelle la propriété de « transitivité de l’implication » et est à la base du « raisonnement par implication ».

Propriété fondamentale 1.
Soient $P$, $Q$ et $R$ trois propositions logiques.
Si « $P\Rightarrow Q$ » et « $Q\Rightarrow R$ », Alors « $P\Rightarrow R$ ».

On peut donc généraliser cette propriété à une suite de plusieurs propositions logiques, créant un un enchaînement de propositions logiques qui aboutissent à la conclusion.

Propriété 2.
Soient $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ quatre propositions logiques.
Si « $P_1\Rightarrow P_2$ » et « $P_2\Rightarrow P_3$ » et « $P_3\Rightarrow P_4$ » ; Alors « $P_1\Rightarrow P_4$ ».

Rédaction de la démonstration.

  • 1ère étape :
    Supposons que $P_1$ est vraie.
  • 2ème étape :
    Nous avons les implications (successives) suivantes : $$\begin{array}{rcl}
    P_1\text{ est vraie} &\Rightarrow & P_2\text{ est vraie ; (immédiat)}\\
    &\Rightarrow & P_3\text{ est vraie ; car+justification}\\
    &\Rightarrow & P_4\text{ est vraie ; d’après tel théorème.}\\
    \end{array}$$
  • 3ème étape :
    Conclusion. La propriété $P_4$ est vraie.

Remarque.
En général, dans une suite de propositions logiques, nous utilisons des « mots de liaison ».
Le « implique » (ou le symbole $\Rightarrow$) est remplacé par un « donc », un « alors » ou un « par suite », ou encore en dernier, par un « d’où » ou un « par conséquent ». Ces mots de liaison désignent des implications logiques élémentaires (évidentes) ou qui se déduisent de propriétés ou théorèmes déjà connus.
Cet enchaînement d’implications logiques s’appelle un « raisonnement par implications successives ».

Nous devons suivre cette même construction dans nos raisonnements utilisant les propriétés et théorèmes connus : Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires, Théorème de Thalès, Théorème de Pythagore, Théorème de la droite des milieux,… etc.

3. Autres techniques

Pour démontrer une implication logique, on peut commencer, à partir des hypothèses, par démontrer un « petit résultat utile », un résultat intermédiaire (nous l’appellerons plus tard un « lemme ») qui nous aide à démontrer que notre conclusion est vraie.

Nous pouvons également, commencer par transformer et remplacer la proposition $P$ (l’hypothèse) par une proposition équivalente $P’$ plus utile à la démonstration ; ou la conclusion $Q$ par une proposition équivalente. $Q’$ plus simple.

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
Démontrer que $$(y+x^2y=3) \Rightarrow \left(y=\dfrac{3}{1+x^2}\right)$$

Modèle de rédaction
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
Supposons que $y+x^2y=3$ (*)
Il est clair que pour isoler $y$, il nous faut diviser par $1+x^2$.
Or, il est interdit de diviser par $0$.
Donc il faut nous assurer que $1+x^2\not=0$.

« Petit résultat utile ».
On sait que pour tout nombre réel $x$ : $x^2$ est un nombre positif.
Donc : $x^2\geqslant 0$.
Donc : $1+x^2\geqslant 1+0$.
Donc : $1+x^2>0$, car $1>0$.
Par suite, pour tout nombre réel $x$ : $$1+x^2\not=0\quad(1)$$
Nous avons donc notre « petit résultat utile ».

Or par hypothèse (*), on sait que : $$y+x^2y=3\quad\text{équivaut à}\quad y(1+x^2)=3\quad(2)$$
Pour isoler $y$, il nous faut diviser par $1+x^2$.
Or, d’après $(1)$, on sait que : $1+x^2\not=0$.
Par conséquent, d’après $(2)$, on peut diviser et écrire :
$$y=\dfrac{3}{1+x^2}\quad(3)$$
Conclusion. On a bien : $$y=\dfrac{3}{1+x^2}$$

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Exercice résolu n°2. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
L’implication : $$(y+xy=7) \Rightarrow \left(y=\dfrac{7}{1+x}\right)$$ est-elle vraie ?
Justifier votre réponse.

Modèle de rédaction
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
Supposons que $y+xy=7$ (*)
Il est clair que pour isoler $y$, il nous faut factoriser puis diviser par $1+x$.
Or, il est interdit de diviser par $0$.
Donc il faut nous assurer que $1+x\not=0$.

« Petit résultat utile ».
On sait que : $$1+x=0\text{ équivaut à }x=-1\quad(1)$$
Notre dénominateur risque de s’annuler si on prend $x=-1$.
Nous devons alors distinguer deux cas : $x=-1$ et $x\not=-1$ et étudier si notre conclusion est vraie « dans tous les cas ». Sinon, la conclusion ne serait pas vraie « pour tout réel $x$ ».
Nous avons donc notre « petit résultat utile ».

Or par hypothèse (*), on sait que : $$y+xy=7$$
Donc $$y(1+x)=7\quad(2)$$
Pour isoler $y$, il nous faut diviser par $1+x$.
Or, d’après $(1)$, on sait que : $1+x=0\text{ équivaut à }x=-1$.

1er cas : $x=-1$.
Or par hypothèse (*), on sait que : $$y+xy=7$$
En remplaçant $x$ par $-1$, on obtient : $$y+(-1)y=7$$
Donc : $$y-y=7$$
D’où : $$0=7.$$
Ce qui est impossible.
Donc, notre conclusion est fausse pour $x=-1$.

2ème cas : $x\not=-1$. Donc : $1+x\not=0\quad(2)$.
Or par hypothèse (*), on sait que : $$y+xy=7\quad\text{équivaut à}\quad y(1+x)=7$$
Par conséquent, d’après $(2)$, on peut diviser par $(1+x)$ et écrire :
$$y=\dfrac{7}{1+x}\quad(3)$$

Conclusion. L’implication est fausse, car il existe au moins un nombre réel $x$ pour lequel cette égalité $y=\dfrac{7}{1+x}$ est impossible. Il suffit de prendre $x=-1$.

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Exercice résolu n°3.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$.
Démontrer que : Si la droite $\Delta$ est la médiatrice du côté $[AC]$, alors $\Delta$ est parallèle à $(AB)$.

Modèle de rédaction :
Faire une figure à titre indicatif pour visualiser les données.

Supposons que : $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et la droite $\Delta$ est la médiatrice du côté $[AC]$.

Ici la prémisse est composée de deux données. Nous allons toutes les énumérer et les traduire avec des symboles.

$\bullet~(H_1)$ $ABC$ un triangle rectangle en $A$. Donc :
$$(AB)\bot(AC)\quad(H_1)$$
$\bullet$ La droite $\Delta$ est la médiatrice du côté $[AC]$. Donc, $\Delta$ est perpendiculaire au segment $[AC]$ et passe par son milieu. Donc, en particulier :
$$\Delta\bot(AC)\quad(H_2)\$$

Donc par hypothèses $(H_1)$ et $(H_2)$, on a : $$\begin{array}{c}(AB)\bot(AC)\\ \Delta\bot(AC) \\ \end{array}$$
Or, on sait que [je (ré)cite la propriété] : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. »
Donc : $$\Delta\bot(AB)$$
Conclusion. La droite $\Delta$ est parallèle à $(AB)$.

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5. Exercices supplémentaires pour s’entraîner

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