L’implication logique
1. Le « Si…, Alors… » du collège
Nous avons déjà vu depuis la classe de 5ème des propositions logiques (phrases mathématiques) construites sous la forme :
« SI… une hypothèse (vraie), ALORS… une conclusion (vraie) »
La syntaxe « Si… Alors… » s’appelle désormais une implication logique.
Définition 1.
L’implication logique qu’on note : $$\text{« }P\Rightarrow Q\text{ »}$$
se lit « $P$ implique $Q$ » et signifie : « Si $P$ est vraie, Alors $Q$ est vraie ».
On dit aussi que « $P$ entraîne $Q$ ».
$P$ s’appelle « l’hypothèse » ou une « prémisse » et $Q$ « la conclusion » ou une « conséquence » de $P$.
Exemple 1.
Soit $x$ un nombre réel. L’implication logique : $$\text{« }(x=2)\Rightarrow (x+3=5)\text{ »}$$ est une proposition vraie.
Démonstration.
Soit $x$ un nombre réel.
Supposons que $x=2$.
On a alors : $x+3=2+3$.
Donc : $x+3=5$.
Conclusion. « $x+3=5$ » est vraie.
Remarque. A partir de la prémisse $x=2$, on peut « déduire » différentes conséquences. Exemples 1 et 2.
Exemple 2.
Soit $x$ un nombre réel. L’implication logique : $$\text{« }(x=2)\Rightarrow (x^2=4)\text{ »}$$ est une proposition vraie.
Démonstration.
Soit $x$ un nombre réel.
Supposons que $x=2$.
On a alors : $x^2=2^2$.
Donc : $x^2=4$.
Conclusion. « $x^2=4$ » est vraie.
Exemple 3.
L’implication logique : $$\text{« Si }\textit{j’habite à Paris}, \text{ Alors }\textit{j’habite en France } \text{»}$$ est une proposition vraie.
1. Principe de démonstration d’une implication logique
Au collège, nous faisions des démonstrations à une ou deux étapes, basées sur la syntaxe :
« On sait que…, Or…, Donc… »
« On sait que et on cite les hypothèses, c’est-à-dire les données du problème.
Or et on récite une propriété, ou bien on cite le nom d’un théorème
Donc on en déduit le résultat demandé
Et enfin, on écrit la Conclusion. »
Cette méthode suppose que la démonstration contient une seule étape. Avec deux étapes, on peut écrire :
« On sait que…, Or…, Donc… . De plus, on sait que, Donc… »
Définition 2.
Soient $P$ et $Q$ deux propositions logiques. La démonstration d’une implication logique est fondée sur l’axiome suivant :
« Si une hypothèse $P$ est vraie et l’implication $P\Rightarrow Q$ est vraie, alors la conclusion $Q$ est vraie ».
Avec des symboles :
Si « $P$ est vraie » et « $P\Rightarrow Q$ est vraie », Alors « $Q$ est vraie ».
Pour démontrer qu’une implication est vraie, nous devons « supposer que l’hypothèse est vraie », puis trouver un enchaînement d’implications vraies qui utilisent les propriétés et théorèmes déjà connus, pour aboutir à la conclusion qui, par conséquent, devient vraie.
2. Le raisonnement par implications successives
La propriété suivante s’appelle la propriété de « transitivité de l’implication » et est à la base du « raisonnement par implication ».
Propriété fondamentale 1.
Soient $P$, $Q$ et $R$ trois propositions logiques.
Si « $P\Rightarrow Q$ » et « $Q\Rightarrow R$ », Alors « $P\Rightarrow R$ ».
On peut donc généraliser cette propriété à une suite de plusieurs propositions logiques, créant un un enchaînement de propositions logiques qui aboutissent à la conclusion.
Propriété 2.
Soient $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ quatre propositions logiques.
Si « $P_1\Rightarrow P_2$ » et « $P_2\Rightarrow P_3$ » et « $P_3\Rightarrow P_4$ » ; Alors « $P_1\Rightarrow P_4$ ».
Rédaction de la démonstration.
- 1ère étape :
Supposons que $P_1$ est vraie. - 2ème étape :
Nous avons les implications (successives) suivantes : $$\begin{array}{rcl}
P_1\text{ est vraie} &\Rightarrow & P_2\text{ est vraie ; (immédiat)}\\
&\Rightarrow & P_3\text{ est vraie ; car+justification}\\
&\Rightarrow & P_4\text{ est vraie ; d’après tel théorème.}\\
\end{array}$$ - 3ème étape :
Conclusion. La propriété $P_4$ est vraie.
Remarque.
En général, dans une suite de propositions logiques, nous utilisons des « mots de liaison ».
Le « implique » (ou le symbole $\Rightarrow$) est remplacé par un « donc », un « alors » ou un « par suite », ou encore en dernier, par un « d’où » ou un « par conséquent ». Ces mots de liaison désignent des implications logiques élémentaires (évidentes) ou qui se déduisent de propriétés ou théorèmes déjà connus.
Cet enchaînement d’implications logiques s’appelle un « raisonnement par implications successives ».
Nous devons suivre cette même construction dans nos raisonnements utilisant les propriétés et théorèmes connus : Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires, Théorème de Thalès, Théorème de Pythagore, Théorème de la droite des milieux,… etc.
3. Autres techniques
Pour démontrer une implication logique, on peut commencer, à partir des hypothèses, par démontrer un « petit résultat utile », un résultat intermédiaire (nous l’appellerons plus tard un « lemme ») qui nous aide à démontrer que notre conclusion est vraie.
Nous pouvons également, commencer par transformer et remplacer la proposition $P$ (l’hypothèse) par une proposition équivalente $P’$ plus utile à la démonstration ; ou la conclusion $Q$ par une proposition équivalente. $Q’$ plus simple.
4. Exercices résolus
Exercice résolu n°1. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
Démontrer que $$(y+x^2y=3) \Rightarrow \left(y=\dfrac{3}{1+x^2}\right)$$
Exercice résolu n°2. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
L’implication : $$(y+xy=7) \Rightarrow \left(y=\dfrac{7}{1+x}\right)$$ est-elle vraie ?
Justifier votre réponse.
Exercice résolu n°3.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$.
Démontrer que : Si la droite $\Delta$ est la médiatrice du côté $[AC]$, alors $\Delta$ est parallèle à $(AB)$.
5. Exercices supplémentaires pour s’entraîner
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