1. Vocabulaire des ensembles
Soit $E$ un ensemble. On rappelle que le cardinal de $E$, qu’on note $\text{Card}(E)$, désigne le nombre d’éléments de $E$. Voir Intersection et réunion de deux ensembles.
Définitions 1.
Dans une expérience aléatoire, on considère deux événements $A$ et $B$.
a) On appelle intersection des deux événements $A$ et $B$ et on note $A\cap B$, l’événement « $A$ et $B$ » qui est réalisé lorsque les deux événements $A$ et $B$ sont réalisés simultanément. Autrement dit : $A\cap B$ est réalisé si et seulement si, $A$ est réalisé et $B$ est réalisé simultanément.
b) On appelle réunion des deux événements $A$ et $B$ et on note $A\cup B$, l’événement « $A$ ou $B$ » qui est réalisé lorsque l’un des deux événements $A$ ou $B$ est réalisé.
Autrement dit : $A\cup B$ est réalisé si et seulement si, $A$ est réalisé ou $B$ est réalisé ou les deux sont réalisés.
Ici le « ou » est inclusif. Illustration.
Remarque
Dans le langage courant, le « ou » signifie un choix obligatoire ; comme dans « fromage ou dessert ». On dit que le « ou » est exclusif.
En mathématiques, dans la définition de la réunion de deux ensembles, le « ou » n’est pas exclusif. Dire que $x\in A\cup B$ signifie que $x$ appartient à « au moins un des deux ensembles »
Donc $x\in A\cup B$ lorsque « $x$ appartient à $A$ » ou « $x$ appartient à $B$ » ou « $x$ appartient aux deux ensembles $A$ et $B$ ». On dit que le « ou » est inclusif.
2. Événements incompatibles
Définitions 2.
Dans une expérience aléatoire, on considère deux événements $A$ et $B$.
a) On dit que $A$ et $B$ sont deux événements incompatibles lorsque les deux événements $A$ et $B$ ne peuvent pas se réaliser simultanément. Autrement dit :
$A$ et $B$ sont incompatibles si et seulement si, $A\cap B=\emptyset$.
Cas particulier
Soit $A$ un événement quelconque et $\overline{A}$ son événement contraire. Alors $A$ et $\overline{A}$ sont deux événements incompatibles, car : $A\cap \overline{A}=\emptyset$.
Exercice résolu n°1.
Une urne contient dix cartes identiques numérotées de 1 à 10. L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte de cette urne. L’univers $\Omega$ est l’ensemble des nombres entiers
de 1 à 10. On considère les 3 événements suivants : $A$ = « La carte tirée porte un numéro multiple de 3 », $B$ = « La carte tirée porte un numéro impair » et $C$ = « La carte tirée porte un numéro multiple de 4 ».
1° a) $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? b) Déterminer $A\cup B$.
2° a) $A$ et $C$ sont-ils incompatibles ? b) Déterminer $A\cup C$.
3. Probabilité d’une réunion
Théorème 1.
Dans une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B.
a) Si $A$ et $B$ sont deux événements quelconques, alors : $$\boxed{~P(A\cup B)=P(A)+P(B)–P(A\cap B)~}$$ b) Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors : $$\boxed{~P(A\cup B)=P(A)+P(B)~}$$
Pour voir ce résultat, il suffit de dénombrer (compter) les nombres d’éléments dans chaque ensemble.
Dans $A\cup B$, si on additionne le nombre d’éléments de $A$ et le nombre d’éléments de
$B$, on aura compté 2 fois le nombre d’éléments de $A\cap B$. Donc, il faut le soustraire
une fois. Ce qui donne : $$\text{Card}(A\cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A\cap B)$$
En divisant les deux membres par $\text{Card}(\Omega)=n$, on obtient :
$$P(A\cup B)= \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}+ \frac{\text{Card}(B)}{\text{Card}(\Omega)}- \frac{\text{Card}(A\cap B)}{\text{Card}(\Omega)}$$
D’où le résultat : $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
b) Ce deuxième résultat est un cas particulier du a). En effet, si $A$ et $B$ sont
incompatibles, alors $A\cap B=\emptyset$. Comme $P(A\cap B)=P(\emptyset)=0$.
D’où le résultat. CQFD.$\blacktriangle$
4. Exercices résolus
Exercice résolu n°2.
Exemple 14.
Dans une classe de Seconde de 35 élèves, option langues vivantes, 5 élèves font
uniquement du russe, et parmi les trente autres, vingt font anglais et dix-huit font
espagnol. On choisit au hasard un élève dans cette classe.
1°) Calculer les probabilités des événements $R$ = « L’élève fait du russe », $A$ = « L’élève fait de l’anglais » et $E$ = « L’élève fait de l’espagnol ».
2°) Calculer les probabilités des événements : $F$ = « L’élève fait du russe et de l’anglais » et $G$ = « L’élève fait de l’anglais et de l’espagnol ».