1. Limites graphiques

Ce sont les limites de la fonction aux bords de son domaine de définition et qu’on peut « lire directement » sur le graphique.

Théorème 1.
Limites graphiques. (à lire sur la courbe) : $$\begin{array}{l}
(L_1):\boxed{\;\;\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}\ln x=-\infty\;\;}\\
(L_2):\boxed{\;\;\dlim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty\;\;}\\
\end{array}$$

1°) Limite en $0^{+}$.
Soit $A$ un nombre réel négatif quelconque.
La fonction exponentielle est strictement croissante, donc pour tout réel strictement positif $x$, on a :
$\ln x< A \Leftrightarrow \e^{\ln x}< \e^{A}\Leftrightarrow 0 < x <\e^{A}$,
d’après les propriétés de réciprocité.
Par suite, pour tout réel strictement positif $x$ :
si $0 < x <\e^{A}$, alors $\ln x<A$.
Donc la fonction ln est inférieure à tout nombre négatif choisi au départ, à partir d’un certain rang. Donc : $$\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}\ln x=-\infty$$

2°) Limite en $+\infty$
Soit $A$ un nombre réel positif quelconque.
La fonction exponentielle est strictement croissante, donc pour tout réel strictement positif $x$, on a :
$\ln x> A \Leftrightarrow \e^{\ln x}> \e^{A}\Leftrightarrow x >\e^{A}$,
d’après les propriétés de réciprocité.
Par suite, pour tout réel strictement positif $x$ :
Si $x>\e^A$, Alors $\ln x>A$.
Donc la fonction $\ln$ est supérieure à tout nombre positif choisi au départ, à partir d’un certain rang. Donc : $$\dlim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty$$

2. Limites de croissance comparée

Ce sont les limites qui permettent de « comparer » la fonction logarithme népérien aux fonctions puissances, en particulier, à la fonction $x\mapsto y=x$ ; et lever certaines indéterminations [ce qui est toujours le cas dans les exercices].

Théorème 2.
Limites de croissance comparée. Les fonctions puissances croissent plus vite que la fonction $\ln$ aussi bien au voisinage de $0$ qu’en $+\infty$. La fonction $\ln$ est une « fonction à croissance lente ».
$$\begin{array}{l}
(L_{3a}):\boxed{\;\;\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}x\ln x=0\;\;}\\
(L_{3b}):\boxed{\;\;\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}x^n\ln x=0~\text{pour tout}~n\geqslant1\;\;}\\
(L_{4a}):\boxed{\;\;\dlim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\;\;}\\
(L_{4b}):\boxed{\;\;\dlim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0~\text{pour tout}~n\geqslant1\;\;}\\
\end{array}$$

Fig. 1. Courbes de comparaison de $y=\ln x$ et $y=x$

2°a) Limite de croissance comparée en $0^{0}$.
Nous allons utiliser les propriétés de réciprocité et les limites de la fonction $\exp$.
Soit $x>0$. On effectue un changement de variable en posant $X=\ln x$. Alors :
$X=\ln x \Leftrightarrow \e^X=\e^{\ln x} \Leftrightarrow \e^X=x$.
Donc : $x\ln x=\e^X\times X=X\e^X$
Et par suite : $$\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}X=\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}\ln x=-\infty$$
D’autre part, on a : $\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}X=-\infty$ et $\dlim_{X \to -\infty}X\e^X=0$ ; et par composition des limites, on obtient : $\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}x\ln x=0$. CQFD.

b) Limite de croissance comparée en $+\infty$.
Encore une fois, on fait appel aux propriétés de réciprocité et les limites de la fonction exponentielle. Soit $x>0$. On pose $X=\ln x$. Ce qui équivaut à $\e^X=x$. Alors : $$\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{X}{\e^X}=\dfrac{1}{\dfrac{\e^X}{X}}$$
D’autre part : $$\left\{\begin{array}{rl}
& \dlim_{x \to +\infty}X=\dlim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty\\
\text{et} &\dlim_{x \to +\infty}\dfrac{\e^X}{X}=+\infty\\ \end{array}\right.$$
Donc, par composition et inverse des limites, on obtient : $\dlim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$. CQFD.

3. Lien entre limites et nombre dérivé. Taux d’accroissement

Nous avons vu en classe de 1ère, deux manières qui utilisent la limite du taux d’accroissement d’une fonction $f$ pour calculer son nombre dérivé en un point d’abscisse $a$.

Propriété. Taux d’accroissement et nombre dérivé.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $a\in I$.
Nous disposons de deux formules du taux d’accroissement de la fonction $f$ qui permettent de calculer le nombre dérivé de $f$ au point d’abscisse $a$.
$$\begin{array}{rl}
&\boxed{\;\;\dlim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\;\;}\\
\text{et} &\boxed{\;\;\dlim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\;\;}\\
\end{array}$$

Théorème 3.
Limites et taux d’accroissement : $$\begin{array}{l}
(L_{5a}):\boxed{\;\;\dlim_{x \to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1\;\;}\\
(L_{5b}):\boxed{\;\;\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}=1\;\;}\\
\end{array}$$

Dans le cas présent, le calcul de la limite suivante « ressemble » revient à calculer la limite du taux d’accroissement de la fonction exponentielle en $0$. Ce qui reviendrait à calculer la valeur de la fonction dérivée en $0$. On trouve d’autres exemples avec : $\dlim_{x\to0}\dfrac{\e^x -1}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\cos x -1}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}$,$\ldots$
La méthode est exactement la même.

3°a) Taux d’accroissement en $1$.
On appelle $f$ la fonction logarithme népérien, alors pour tout $x>0$ : $f (x)=\ln x$.
On sait que $f$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{1}{x}$.
En écrivant $f ‘(1)$ en utilisant les deux formes de taux d’accroissements, on obtient directement les deux limites demandées :
$$\begin{array}{rcl}
\dlim_{x \to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}&=&\dlim_{x \to 1}\dfrac{\ln x-\ln1}{x-1}\\
&=&\dlim_{x \to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\\
&=& f’(1) \\
\dlim_{x \to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}&=& 1\quad\text{d’après }L_{5a}\\
\end{array}$$

3°b) Taux d’accroissement en $0$.
On obtient directement le résultat en écrivant le taux d’accroissement de la fonction $f$ en posant $h=x-1$, où $h$ tend vers $0$. $$\begin{array}{rcl}
\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}&=&\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)-\ln1}{h}\\
&=&\dlim_{h \to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\
&=& f’(1)\\
\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}&=& 1\\
\end{array}$$

3°b’) Utilisation d’une autre fonction.
On peut aussi utiliser la fonction $g$ définie par : $g(x) = ln(1+x)$. On obtient : $$\begin{array}{rcl}
\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}&=&\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)-\ln1}{h}\\
&=&\dlim_{h \to 0}\dfrac{g(h)-g(0)}{h}\\
&=& g’(0)=\dfrac{1}{1+0} \\
\dlim_{h \to 0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}&=& 1\quad\text{d’après }L_{5a}\\
\end{array}$$ CQFD.

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soit $f$ la fonction définie par : $f (x)=x−\ln x$. Calculer $\dlim_{x\to+\infty}f(x)$.

Corrigé

Exercice résolu n°2.
FicheBac n°8. Cliquez ici.