Distance entre deux points du plan. Longueur d’un segment. Alignement de trois points

Soient $(O ; I,J)$ un repère orthonormé du plan et $A$ et $B$ deux points de coordonnées $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$. Dans cette page, nous donnons la formule qui permet de calculer la distance entre les deux points $A$ et $B$, qui est aussi la longueur du segment $[AB]$.

C’est une application directe du théorème de Pythagore. Nous devons calculer des distances donc, comme en primaire, nous devons avoir un repère orthogonal et la même unité sur les deux axes. Donc, nous devons travailler dans un repère orthonormé $(O; I,J)$ du plan.

1. Calcul de la longueur d’un segment

Théorème 3.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$. Soient $A$ et $B$ deux points de coordonnées $A (x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, alors la distance entre les deux points $A$ et $B$ est égale à la longueur du segment $[AB]$ et est donnée par la formule : $$\boxed{~~AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}~~}$$

Démonstration
Le repère $(O;I;J)$ étant orthonormé, les deux axes $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires.
Donc le triangle $ABK$ est rectangle en $K$. De plus $OI=OJ=1$, donc, nous avons la même unité sur les deux axes. Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a : $$\begin{array}{rcl}
AB^2&=&AK^2+BK^2\\ AB^2 &=&(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\\ AB&=&\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\
\end{array}$$
D’où le résultat.

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Exemple 1.
Dans un repère orthonormé $(O;I;J)$, on donne les points de coordonnées $A (–2 ; 3)$ et $B(4 ;1)$.
Calculer la longueur du segment $[AB]$.

[Indication importante. J’écris exprès les points et leurs coordonnées les uns en dessous des autres pour calculer facilement les différences.] $$\boxed{~~\begin{array}{r}
A (–2~;~3)\\ B (~~4~;~1) \\ \end{array}~~}$$

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2. Inégalité triangulaire. Alignement de trois points

Nous avons déjà vu en classe de 5ème une condition sur les longueurs pour qu’un triangle $ABC$ existe. On dit aussi que le triangle est constructible si et seulement si la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Cette propriété s’appelle l’inégalité triangulaire ou encore « le plus court chemin entre deux points est la ligne droite » :

Théorème 4. Inégalité triangulaire et alignement
1°) Un triangle $ABC$ est constructible si et seulement si la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la somme des deux autres. Autrement dit, si et seulement si, les trois inégalités sont satisfaites : $$\begin{array}{rl} (a)\quad& \color{brown}{AB\leqslant AC+CB}\\
(b)\quad&\color{brown}{AC \leqslant AB+BC}\\ (c)\quad&\color{brown}{AB \leqslant AC+CB}\\
\end{array}$$
2°) S’il y a égalité, par exemple si $AB=AC+CB$, alors le triangle $ABC$ est aplati et les trois points $A$, $C$ et $B$ sont alignés dans cet ordre.

Exemple 2.
Dans un repère orthonormé $(O;I;J)$, placer les points $A(–1;–2)$ ; $B(5;1)$ et $C(1;–1)$.
Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier votre réponse.

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