Propriétés des puissances de 10

Cours : Calculs sur les puissances de 10

1. Les puissances de 10

Définition 1. $\boxed{{\displaystyle {10}^0=1}}$ et $\boxed{{\displaystyle {10}^1=10}}$. Plus généralement, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $$\boxed{{\displaystyle {10}^n=\underset{n\text{ facteurs}}{\underbrace{10\times \dots \times 10}}}}$$ $$\boxed{{\displaystyle {10}^n=\underset{\text{1 suivi de }n\text{ zéros}}{\underbrace{10\dots 0}}}}$$

Définition 2. Un dixième = ${\displaystyle \frac{1}{10}}=0,01$ et un centième = ${\displaystyle \frac{1}{100}}=0,01$. Plus généralement, pour tout entier naturel non nul $n$, $$\boxed{{\displaystyle {10}^{-n}={\displaystyle \frac{1}{{10}^n}}}}$$ $$\boxed{{\displaystyle {10}^{-n}=\underset{\text{1 précédé de }n\text{ zéros y compris celui avant la virgule}}{\underbrace{0,0\dots 01}}}}$$

2. Propriétés des puissances de 10

Propriétés : Pour tous entiers relatifs $n$ et $p$ quelconques,
$(P_1)$ : ${10}^0=1$ et ${10}^1=10$.
$(P_2)$ : ${10}^n\times {10}^p={10}^{n+p}$
$(P_3)$ : ${10}^{-n}={\displaystyle \frac{1}{{10}^n}}$
$(P_4)$ : ${\displaystyle \frac{{10}^n}{{10}^p}}={10}^{n-p}$
$(P_5)$ : $({10}^n{)}^p={10}^{n\times p}$
$(P_6)$ : Tout nombre décimal $N$ peut s’écrire d’une infinité de manières sous la forme : $N=a\times {10}^p$, où $a$ est un nombre décimal relatif et p est un entier relatif.

3. Notation scientifique

$(P_7)$ : Notation scientifique : Tout nombre décimal positif $N$ peut s’écrire d’une manière unique sous la forme : $N=a\times {10}^p$, où $a$ est un nombre décimal compris entre $1$ et $10$ ($1\le a<10$) et $p$ est un entier relatif.
Ceci signifie que $a$ est un nombre décimal ayant exactement un seul chiffre non nul AVANT la virgule.

3. Notation de l’ingénieur

Propriété $P_8$ : Tout nombre décimal positif $N$ peut s’écrire d’une manière unique sous la forme : $N=a\times {10}^p$, où $a$ est un nombre décimal compris entre $1$ et $1000$ ($1\le a<1000$) et $p$ est un entier relatif multiple de 3.