1. Vecteurs dans l’espace
1.1. La notion de vecteur
La notion de vecteur que nous avons étudiée dans le plan en Seconde puis en classe de 1ère, peut naturellement être étendue à l’espace.
Un vecteur est défini par la donnée d’une direction, un sens et une longueur (qu’on appelle la norme du vecteur). On peut définir de la même manière qu’en classe de 1ère, la somme de deux vecteurs et le produit d’un vecteur par un réel, qu’on appelle un scalaire.
Dans ce cadre, on dit que deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires s’ils ont la même direction.
Propriété n°1.
Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs du plan ou de l’espace. Alors les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1°) Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires ;
2°) Il existe $k\in\R$ tel que : $\boxed{~\vec v=k\vec u~}$ ;
3°) Il existe $k’\in\R$ tel que : $\boxed{~\vec u=k’\vec v~}$.
1.2. Caractérisation d’une droite (dimension 1D)
Définition 1.
Soit $A$ un point du plan et $\vec u$ un vecteur non nul dans le plan ou dans l’espace.
Alors l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\vec u$ définit la droite $d$ passant par $A$ et de direction le vecteur $\vec u$. Autrement dit : $$\boxed{~M\in d~\text{(ssi)}~\text{il existe}~k\in\R~\text{tel que : }~\overrightarrow{AM}=k\,\vec u~}$$
On dit alors que la droite $d$ passe par le point $A$ et est dirigée par $\vec u$ ; ou encore que $\vec u$ est un vecteur directeur de la droite $d$. Le couple $(A,\vec u)$ formé d’un point $A\in d$ et $\vec u$ un vecteur directeur de la droite $d$, forment un repère de la droite $d$ et on écrit : $$\boxed{~~d=(A,\vec u)~~}$$
Au collège, un repère d’une droite s’appelait une graduation et $d$ une droite graduée.
1.2. Caractérisation d’un plan (dimension 2D)
Nous avons également vu, en classe de 1ère, que si $O$ est un point du plan et $\vec\imath$ et $\vec\jmath$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan, alors le triplet $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ définit un repère du plan $(OIJ)$, où $O$, $I$ et $J$ sont les points non alignés tels que $\overrightarrow{OI}=\vec\imath$ et $\overrightarrow{OJ}=\vec\jmath$.
1.3. combinaison linéaire de vecteurs
Propriété 2.
Le plan ${\mathcal P}$ est muni du repère $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$. Soit M un point quelconque. Alors M appartient au plan ${\mathcal P}$ si et seulement si, le vecteur $\overrightarrow{OM}$ s’exprime comme « combinaison linéaire » des deux vecteurs de base $\vec\imath$ et $\vec\jmath$ ; c’est-à-dire :
$$\boxed{~~M \in{\mathcal P}~~\text{(ssi) il existe deux réels $x$ et $y$ tels que : }~\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath~~}$$
Définition 2.
Si $\vec\imath$ et $\vec\jmath$ sont deux vecteurs non colinéaires (donc non nuls). Alors, on dit que $\vec\imath$ et $\vec\jmath$ sont des vecteurs de base du plan ${\mathcal P}$ ou bien que le couple $(\vec\imath,\vec\jmath)$ est une base du plan ${\mathcal P}$.
Notez que les coordonnées du point $M$ du plan s’écrivent en ligne : $M(x;y)$
Et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OM}$ du plan s’écrivent en colonne : $\overrightarrow{OM}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$
2. Vecteurs coplanaires et points coplanaires dans l’espace
2.1. Vecteurs coplanaires dans l’espace
Définition 3.
On dit que les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont des vecteurs coplanaires s’ils sont situés dans un même plan (vectoriel), autrement dit si chacun de ces vecteurs peut s’exprimer comme combinaison linéaire des deux autres, c’est-à-dire, en particulier, il existe deux réels $\alpha_1$ et $\beta_1$ tels que : $$\boxed{~\vec w=\alpha_1\vec u+\beta_1\vec v~}\quad(1)$$ On peut aussi écrire deux autres expressions. Il existe des réels $\alpha_2$, $\beta_2$, $\alpha_3$ et $\beta_3$ tels que : $$\begin{array}{c}
\boxed{~\vec v=\alpha_2\vec u+\beta_2\vec w~}\quad(2)\\ \boxed{~\vec u=\alpha_3\vec u+\beta_3\vec w~}\quad(3)\\ \end{array}$$
Propriété 3.
($P_8$) Trois vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires si et seulement si, il existe trois réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ non tous nuls tels que : $$\boxed{~\alpha\vec u+\beta\vec v+\gamma\vec w=\vec 0~}\quad(*)$$
Cette propriété regroupe les trois premières. C’est une conséquence immédiate de la définition. On dit alors que les trois vecteurs sont liés par une relation de dépendance $(*)$.
2.2. Points coplanaires dans l’espace
Définition 4.
On dit que quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont des points coplanaires s’ils sont situés dans un même plan, autrement dit si les trois vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.
2.3. Conséquences
Propriétés 4.
($P_9$) Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
($P_{10}$) Une droite $d$ est parallèle à un plan $\mathcal P$ si et seulement si, un vecteur directeur
de $d$ est un vecteur du plan $\mathcal P$.
($P_{11}$) Deux plans $\mathcal P$ et $\mathcal P’$ sont parallèles si, et seulement si, $\mathcal P$ et $\mathcal P’$ sont dirigés par un même couple de vecteurs non colinéaires.
3. Caractérisation de l’espace (dimension 3D)
Définition 5.
Si $\vec\imath$, $\vec\jmath$ et $\vec k$ sont trois vecteurs non coplanaires de l’espace, alors tout vecteur $\overrightarrow{V}$ de l’espace s’écrit d’une manière unique comme combinaison linéaire des trois vecteurs de base $\vec\imath$, $\vec\jmath$ et $\vec k$, c’est-à-dire qu’il existe trois réels $x$, $y$ et $z$ tels que : $$\boxed{~\overrightarrow{V}=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k~}$$
On dit que le triplet $(\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ est une base de l’espace.
Notez que les coordonnées du point $M$ de l’espace s’écrivent en ligne : $M(x;y;z)$
Et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{V}$ de l’espace s’écrivent en colonne : $\overrightarrow{V}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$
3.1. Opérations sur les vecteurs
Définition 6.
Soient $\vec u\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}x’\\ y’\\ z’\end{pmatrix}$. Soit $k\in\R$. Alors, $\vec u+\vec v$ est appelé le vecteur somme de $\vec u$ et $\vec v$. Le vecteur $k\vec u$ est appelé le vecteur produit de $\vec u$ par le scalaire $k$ et ont pour coordonnées : $$\boxed{~~\vec u+\vec v\begin{pmatrix}x+x’\\ y+y’\\ z+z’\end{pmatrix}~~\text{et}~~k\vec u\begin{pmatrix}kx\\ ky\\ kz\end{pmatrix}~~}$$
On dit que la somme des vecteurs se fait « par composantes » et le produit d’un vecteur par un scalaire se fait aussi « par composantes ».
En anglais « scale » = échelle.
Un scalaire est un nombre réel. La multiplication d’une dimension par un scalaire crée un agrandissement ou une réduction « à l’échelle ».
3.2. Égalité des vecteurs
Propriété n°5.
Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs abscisses sont égales, leurs ordonnées sont égales et leurs cotes sont égales.
Soient $\vec u\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}x’\\ y’\\ z’\end{pmatrix}$. Alors : $$\boxed{~\vec u=\vec v~~\text{(ssi)}~~x=x’, ~y=y’~\text{et}~z=z’~}$$
Exercice d’application
Exercice résolu n°1.
Les trois vecteurs Soient $\vec u\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}$, $\vec v\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$ et $\vec w\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 1\end{pmatrix}$ sont-ils coplanaires ?