Dans toute la suite, on considère une expérience aléatoire et $\Omega$ l’univers (fini) associé, muni d’une probabilité $P$. On se propose de définir une variable aléatoire réelle discrète et donner des exemples.
1. Variable aléatoire discrète
Définition 1.
On appelle variable aléatoire réelle $X$, toute fonction définie sur l’univers $\Omega$ et prenant ses valeurs dans $\R$ des nombres réels qui, à chaque issue de $\omega\in\Omega$, associe un nombre réel $x_k$ d’un intervalle $I$ de $\R$. On note $$\boxed{~~X(\omega)=x_k~~}$$
Ici, comme $\Omega$ est un ensemble fini, l’ensemble des valeurs prises par $X$ est évidemment fini. La variable aléatoire $X$ prend donc un nombre fini de valeurs. On dit que $X$ est une variable aléatoire réelle discrète. On note : $$\boxed{~~X(\Omega)=\{x_1 ; x_2 ; \ldots ; x_n\}~~}$$ l’ensemble des valeurs prises par $X$.
2. Exemple et exercice résolu
Exemple.
On lance un dé à six faces parfaitement équilibré, portant les chiffres de 1 à 6 sur ses faces.
A chaque issue, on associe le chiffre apparent sur la face supérieure. On définit ainsi une variable aléatoire réelle discrète $X$ prenant les valeurs $$X(\Omega)=\{1;2;3;4;5;6\}$$
Exercice résolu 1.
On lance deux dés à six faces parfaitement équilibrés, l’un bleu et l’autre rouge, portant les chiffres de 1 à 6 sur leurs faces respectives. On appelle $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque issue, la somme des deux chiffres apparents sur les faces supérieures des deux dés.
1°) Déterminer l’univers $\Omega$ associé à cette expérience aléatoire.
2°) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$.