3. Variables aléatoires continues : Loi exponentielle

  1. Définition d’une variable aléatoire continue
  2. Fonction de densité de probabilité sur un intervalle
  3. Exercices résolus sur les fonctions densités de probabilité
  4. Loi de probabilité à densité sur un intervalle
  5. Exercices résolus
  6. Espérance d’une variable aléatoire à densité
  7. Exercice résolu sur l’espérance d’une variable aléatoire continue

  1. Définition d’une variable aléatoire continue qui suit la loi uniforme
  2. Espérance d’une variable aléatoire à densité
  3. Exercices résolus sur la loi uniforme
  4. Sujet type Bac à faire et à refaire

  1. Définition d’une variable aléatoire continue qui suit la loi uniforme
  2. Espérance d’une variable aléatoire à densité
  3. Exercices résolus sur la loi uniforme
  4. Sujet type Bac à faire et à refaire

3. La loi exponentielle

3.1. Définition et premières propriétés

Définition 1.
Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif.
On dit qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ si et seulement si $X$ a pour fonction densité de probabilité la fonction $f$ définie sur $\left[ 0,+\infty\right[$ par : $\color{brown}{\boxed{\; f(x) =\lambda e^{-\lambda x}\;}}$ pour tout $x\in\left[ 0,+\infty\right[$.

En effet, soit $\lambda>0$, alors :
$\bullet$ La fonction $f$ est bien définie et continue sur $\left[ 0,+\infty\right[$, comme composée de fonctions continues.

$\bullet$ La fonction $f$ est positive sur $\left[ 0,+\infty\right[$ car $\lambda>0$ et pour tout $x\in\left[ 0,+\infty\right[$ : $e^{-\lambda x}>0$.

$\bullet$ De plus, une primitive de $f$ sur est la fonction $F$ définie par : $F(x) = -e^{-\lambda x}$. Donc, pour tout $x\in\left[ 0,+\infty\right[$ :
$\begin{eqnarray}
\int_0^x e^{-\lambda t} dt &=&\left[ F(t)\right]_0^x \\
&=&F(x)-F(0)\\
&=& -e^{-\lambda x}- (-e^{-\lambda \times 0})\\
\int_0^x e^{-\lambda t} dt &=& 1-e^{-\lambda x}\\
\end{eqnarray}$
Maintenant, on fait tendre $x$ vers l’infini. En posant $u =-\lambda x$, on obtient, d’après le cours :
$$\dlim_{x\to+\infty}e^{-\lambda x} = \dlim_{u\to-\infty}e^{u}=0$$
Donc : $\dlim_{x\to+\infty}\left[1-e^{-\lambda x}\right] = 1$.
Par conséquent :
$\dlim_{x\to+\infty}\left[\int_0^x e^{-\lambda t} dt\right] = 1$.
Ce qui donne : $$\int_0^{+\infty} e^{-\lambda t} dt = 1$$
Conclusion. La fonction $f$ définit bien une fonction densité de probabilité sur l’intervalle $x\in\left[ 0,+\infty\right[$.

Exemple

Remarque : On aurait pu définir $f$ sur tout $\R$ en posant :
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si } x<0\\
\lambda e^{-\lambda x} & \text{si } x\geqslant 0\\
\end{matrix}\right.$$
Dans ce cas, la fonction densité de probabilité est continue partout sur $\R$ sauf au point d’abscisse $x=0$ (il y aurait donc un point de discontinuité). Ce qui aurait alourdi les écritures et n’aurait rien modifié aux résultats !

Propriétés de la loi exponentielle

Propriété 1.
Soit $X$ est une variable aléatoire discrète équirépartie. Alors son espérance mathématique n’est autre que la moyenne des valeurs $x_i$.
$$E(X)=\dsum_{i=1}^{n}p_i x_i= \dfrac{1}{n}\dsum_{i=1}^{n}x_i=\dfrac{\left(\dsum_{i=1}^{n}x_i\right)}{n}$$

Soitun nombre réel strictement positif. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentiellede paramètre. Alors, pour tout, a < b, on a : (P1) : (P2) : (P3) :.

Démonstration : en classe.

3.2) Propriété de durée de vie sans vieillissement

Propriété (ROC)

Soitun nombre réel strictement positif. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentiellede paramètre. Alors, X vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, c’est-à-dire, pour tous réels positifs: (P4) :

La probabilité de l’événement (X ≥ h) est indépendante de l’instant initial t.

Démonstration : en classe.

3.3) Espérance de la loi exponentielle

Définition et propriété

Soitun nombre réel strictement positif. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentiellede paramètre. Alors, l’espérance de X est définie par :.

Propriété

Soitun nombre réel strictement positif. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentiellede paramètre. Alors, l’espérance de X est donnée par (P5) : .

Démonstration.

Soit. La fonction g définie parest continue sur [0; x], donc elle admet des primitives. Or, pour tout réel positif:. Il s’en suit que :.

Ce qui donne :.

Une primitive de la fonction g est donc la fonction G définie par : .

On a donc :

=

=

Lorsque x vers: et.

Donc . CQFD.

Exemple (BAC) : Baccalauréat S – Antilles-Guyane juin 2006 / Exercice n°3

Exercice résolu 2. (Bac ES, Centres étrangers, juin 2019)
Dans une concession automobile de la région, le temps d’attente, exprimé en minutes,
avant d’être reçu par un conseiller commercial peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1; 10]$.
1°) Un visiteur se présente. Quelle est la probabilité qu’il attende au moins 5 minutes avant
d’être reçu par un conseiller commercial ?
2°) Calculer la durée moyenne d’attente d’un conseiller commercial dans cette concession.

1°) On doit calculer $P(X\geqslant 5)$.
La variable aléatoire continue $X$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1; 10]$. Donc :
$P(X\geqslant 5)=P(5\leqslant X\leqslant 10)=\dfrac{10-5}{10-1} = \dfrac{5}{9}$.
Donc : $$\color{brown}{\boxed{\; P(X\geqslant 5)= \dfrac{5}{9}\;}}$$
La probabilité que le client attende au moins 5 minutes avant d’être reçu par un conseiller commercial est de $\dfrac{5}{9}$.

2°) Calculer la durée moyenne d’attente d’un conseiller commercial dans cette concession revient à calculer l’espérance de $X$ sur $[1;10]$.
D’après le cours, on sait que l’espérance d’une variable aléatoire continue $X$ qui suit une loi uniforme sur $[a; b]$ est donnée par : $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$.
Donc, $$E(X)=\dfrac{1+10}{2}=5,5$$
Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;E(X) =5,5\;}}$
Conclusion. La durée moyenne d’attente d’un conseiller commercial dans cette concession est de 5,5 minutes, soit 5min 30s.

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