Variable aléatoire discrète

1. Définition d’une variable aléatoire discrète ($\Omega$ fini)

Définition 1.
On considère une expérience aléatoire et l’univers $\Omega$ l’ensemble fini associé, muni d’une probabilité. On appelle variable aléatoire discrète $X$, toute fonction de $\Omega$ dans $\R$, qui associe à chaque issue un nombre réel d’un intervalle $I$ de $\R$, $X$ prend un nombre fini de valeurs.

Ici, comme l’univers $\Omega$ est fini, l’ensemble des valeurs prises par $X$ est évidemment fini.

On pose $X(\Omega)=\{x_1; x_2;\ldots; x_n\}$.
On note “$X = x_k$”, l’événement formé de toutes les issues $\omega$ de $\Omega$ qui réalisent $X(\omega)= x_k$.
On note en général $p_k= P(X = x_k)$, la probabilité de l’événement “$X = x_k$”. On obtient la définition suivante.

Exercice résolu n°1.
On lance deux dés à six faces non truqués, le premier est rouge et le deuxième est bleu.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque lancer la somme des deux résultats obtenus.
1°) Déterminer l’univers $\Omega$ associé à cette expérience aléatoire.
2°) Déterminer l’ensemble $X(\Omega)$ de toutes les valeurs prises par $X$.

1°) Chacun des deux dés prend 6 valeurs de l’ensemble $A=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5;6\}$. Chaque lancer correspond à un couple $(x;~y)$ où $x$ désigne le chiffre apparaissant sur le premier dé et $y$ le chiffre sur le deuxième. $\Omega$ est alors égal au produit cartésien $A\times A$. $$\Omega=A\times A=\{(x;y){\large /} x\in A\text{ et }y\in A\}$$ Lire « $\Omega$ égal à l’ensemble de tous les couples $(x;~y)$ tels que $x\in A$ et $y\in A$ ». Donc : $$\Omega=\{(1;1);(1;2);\ldots(1;6);(2;1);\ldots;(2;6):\ldots; (6;6)\}$$

2°) Pour calculer toutes les valeurs de $X(\Omega)$, on peut construire un tableau à double entrée en notant la somme des valeurs du couple $(x;~y)$ à l’intersection de la ligne $x$ et la colonne $y$.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{black}{\Large +}& \color{blue}{1} & \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4} & \color{blue}{5} & \color{blue}{6} \\ \hline
\color{brown}{1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
\color{brown}{1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
\color{brown}{2} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
\color{brown}{3} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
\color{brown}{4} & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\color{brown}{5} & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline
\color{brown}{6} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
\end{array}$$
Par conséquent : $$\color{brown}{\boxed{\;X(\Omega)=\{2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\}\;}}$$
CQFD. $\blacktriangle$

2. Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète $X$

Définition. 2
La loi de probabilité de la variable aléatoire discrète $X$, est définie par la donnée des probabilités de tous les événements “$X = x_k$”, notées $p_k$, pour tout $k$ tel que $1\leqslant k\leqslant n$.
On présente (souvent) cette loi dans un tableau comme suit $$\begin{array}{|r|c|c|c|c|} \hline
\text{Valeurs }x_k & x_1 & x_2&\cdots&x_n\\ \hline
p_k=P(X=x_k) & p_1 & p_2&\cdots&p_n\\ \hline
\end{array}$$

Exercice résolu n°2.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ de l’exercice n°1.

On sait que $\Omega$ contient 36 couples. Donc : Card$(\Omega)=36$.
D’après l’exercice précédent : $X(\Omega)=\{2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\}$. On doit calculer les probabilités de tous les événements $E_k=$”$X=k$”, pour tout $2\leqslant k\leqslant 12$.
Regardons les diagonales montantes du carré de valeurs de $X$.
$E_2=\{(1;~1)\}$. Donc $P(X=2)=\frac{\text{Card}(E_2)}{\text{Card}(\Omega)}=\frac{1}{36}$.
$E_3=\{(1;~2);(2;~1)\}$. Donc $P(X=3)=\frac{\text{Card}(E_3)}{\text{Card}(\Omega)}=\frac{2}{36}$.
$E_4=\{(1;~3);(2;~2);(3;~1)\}$. Donc $P(X=4)=\frac{\text{Card}(E_4)}{\text{Card}(\Omega)}=\frac{3}{36}$.
$E_5=\{(1;~4);(2;~3);(3;~2); (4;1)\}$. Donc $P(X=5)=\frac{\text{Card}(E_5)}{\text{Card}(\Omega)}=\frac{4}{36}$.
$E_6=\{(1;~5);(2;~4);(3;~3); (4;~5);(5;~1)\}$. Donc $P(X=6)=\frac{\text{Card}(E_6)}{\text{Card}(\Omega)}=\frac{5}{36}$.
$\ldots\ldots$
D’une manière analogue, on obtient :
$P(X=7)=\frac{6}{36}$ ; $P(X=8)=\frac{5}{36}$ ; $P(X=9)=\frac{4}{36}$ ; $P(X=10)=\frac{3}{36}$ ; $P(X=11)=\frac{2}{36}$ et $P(X=12)=\frac{1}{36}$.
Conclusion. La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
\text{Valeurs de }k &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
p_k=P(X=k) &\frac{1}{36}&\frac{2}{36}&\frac{3}{36}&\frac{4}{36}&\frac{5}{36}&\frac{6}{36}&\frac{5}{36}&\frac{4}{36}&\frac{3}{36}&\frac{2}{36}&\frac{1}{36}\\ \hline
\end{array}$$
CQFD. $\blacktriangle$

3. Espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète $X$

Définition 3.
L’espérance mathématique de la variable aléatoire discrète $X$, notée $E(X)$, désigne la moyenne des valeurs prises par $X$, et pondérées par leurs probabilités de réalisation :
$$\color{brown}{E(X)= p_1 x_1 + p_2 x_2 +\cdots+p_n x_n}$$ qu’on note aussi avec le signe $\dsum=$ « Somme » :
$$\color{brown}{E(X)= \sum_{k=1}^{k=n} p_k x_k}$$

4. Variance d’une variable aléatoire discrète $X$

Définition 4.
La variance de la variable aléatoire discrète $X$, notée $V(X)$, désigne la moyenne des carrés des écarts à la moyenne de $X$. Autrement dit, en posant $m = E(X)$. $$\color{brown}{V(X)= E\left[ (X-E(X))^2 \right]=\sum_{k=1}^{k=n} p_k \left(x_k-m\right)^2 }$$ La variance est le carré d’une distance donc, c’est un nombre positif ou nul.

Théorème 1.
$$\color{brown}{V(X)= E\left(X^2\right)-E(X)^2 }$$
ou encore $$\color{brown}{V(X)=\left(\sum_{k=1}^{k=n}p_k x_k^2\right)-m^2}$$ La variance $V(X)$ permet de caractériser la dispersion des valeurs $x_k$ par rapport à la moyenne $E(X)$.

5. Écart-type d’une variable aléatoire discrète $X$

Définition.
L’écart-type de la variable aléatoire discrète $X$, noté $\sigma$ (lire « sigma ») ou $\sigma(X)$ ou parfois $\sigma_X$, est égal à la racine carrée de la variance : $$\color{brown}{\sigma(X)=\sqrt{V(X)}}$$ ou $$\color{brown}{\sigma^2(X)=V(X)}$$ ou simplement $\color{brown}{\sigma^2=V}$.

Comme la variance, l’écart-type permet de caractériser la dispersion des valeurs xk par rapport à la moyenne $E(X)$. Une différence d’utilisation entre $\sigma$ et $\sigma^2=V$, est que $\sigma$ est de même dimension que les valeurs $x_k$, donc les valeurs $x_k$peuvent être directement comparées à $\sigma$.