Variables aléatoires continues : 1. Loi uniforme continue

  1. Définition d’une variable aléatoire continue
  2. Fonction de densité de probabilité sur un intervalle
  3. Exercices résolus sur les fonctions densités de probabilité
  4. Loi de probabilité à densité sur un intervalle
  5. Exercices résolus
  6. Espérance d’une variable aléatoire à densité
  7. Exercice résolu sur l’espérance d’une variable aléatoire continue

  1. Définition d’une variable aléatoire continue qui suit la loi uniforme
  2. Espérance d’une variable aléatoire à densité
  3. Exercices résolus sur la loi uniforme
  4. Sujet type Bac à faire et à refaire

I. Loi uniforme

1.1. Loi uniforme discrète

Définition 1.
Une variable aléatoire $X$ qui peut prendre un nombre fini $n$ de valeurs possibles $x_1$, $x_2$,$\ldots$, $x_n$, suit une loi uniforme lorsque toutes les valeurs $x_i$ ont la même chance d’être réalisées ; c’est-à-dire qu’ils ont la même probabilité égale à $\dfrac{1}{n}$.
Autrement dit : Pour tout $i$, $1\leqslant i\leqslant n$ : $P(X=x_i) = \dfrac{1}{n}$.
On dit qu’on est en situation d’équiprobabilité. On dit également que $X$ est une variable aléatoire discrète équirépartie ou uniformément répartie.

Exemple

Un exemple simple de loi uniforme discrète est le lancer d’un dé parfaitement équilibré (non truqué). Toutes les faces ont la même chance d’apparaître. Les valeurs possibles des $x_i$ sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. Et pour tout $i$, $1\leqslant i\leqslant n$ : $p_i=P(X=x_i) = \dfrac{1}{6}$.

Espérance mathématique d’une loi uniforme discrète.

Propriété 1.
Soit $X$ est une variable aléatoire discrète équirépartie. Alors son espérance mathématique n’est autre que la moyenne des valeurs $x_i$.
$$E(X)=\dsum_{i=1}^{n}p_i x_i= \dfrac{1}{n}\dsum_{i=1}^{n}x_i=\dfrac{\left(\dsum_{i=1}^{n}x_i\right)}{n}$$

1.2. Définition d’une loi uniforme continue

Définition
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels distincts. Soit $X$ une variable aléatoire continue sur l’intervalle $[a;b]$. On dit que la variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme lorsque sa densité de probabilité est une fonction constante sur $[a; b]$.
On dit aussi que la variable aléatoire $X$ est uniformément répartie sur l’intervalle $[a;b]$.

Remarque

une loi uniforme correspond à une situation d’équiprobabilité dans le cas discret.

Propriété 2.
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur l’intervalle $[a; b]$ est définie par
$$f(x)=\dfrac{1}{b-a}\quad\text{pour tout}\; x\in[a;b]$$

Démonstration

$f$ est une fonction constante sur $[a; b]$ et $f$ est positive, donc il existe un réel $k$ tel que, pour tout $x\in[a ;b]$ : $f (x)=k$.
De plus, une primitive de $f$ sur $[a;b]$ est la fonction $F$ définie par : $F (x)=k x$. On a alors, puisque $b−a\neq 0$ :
$\int_a^b f(x)dx=1$ (ssi) $F(b)-F(a)=1$ (ssi) $kb−k a=1 (ssi) $k(b−a)=1$ (ssi) $k=\dfrac{1}{b-a}$.
Conclusion. Pour tout $x\in[a;b]$ : $\color{brown}{\boxed{\;f(x)=\dfrac{1}{b-a}\;}}$
CQFD.

Propriété 3.
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $I = [a; b]$. Alors, pour tout intervalle $J=[c;d]$ contenu dans $I=[a;b]$, on a :
$$\color{brown}{\boxed{\; P(X\in J)=P(c\leqslant X\leqslant d)=\dfrac{d-c}{b-a}=\dfrac{Longueur\; de\; J}{Longueur\; de\; J}\;}}$$

Démonstration

La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur l’intervalle $[a; b]$ est définie sur $[a; b]$ par : $f(x)=\dfrac{1}{b-a}=Constante$ . Donc :
$$\begin{eqnarray}
P(c\leqslant X\leqslant d) &=& \int_c^d\dfrac{1}{b-a}dx \\
&=&\left[\dfrac{1}{b-a}x\right]_c^d \\
&=& \dfrac{1}{b-a}d-\dfrac{1}{b-a}c \\
P(c\leqslant X\leqslant d) &=& \dfrac{d-c}{b-a}\\
\end{eqnarray}$$
CQFD.

1.3. Espérance d’une loi uniforme

Propriété n°4.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels distincts. Soit $X$ une variable aléatoire continue qui suit une loi uniforme sur $[a; b]$. Alors son espérance mathématique n’est autre que la moyenne des deux valeurs $a$ et $b$.
$$E(X)=\dfrac{a+b}{2}$$

Démonstration

La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur l’intervalle $[a; b]$ est définie sur $[a; b]$ par : $f(x)=\dfrac{1}{b-a}=Constante$ . Donc :
$$\begin{eqnarray}
P(c\leqslant X\leqslant d) &=& \int_c^d\dfrac{1}{b-a}dx \\
&=&\left[\dfrac{1}{b-a}x\right]_c^d \\
&=& \dfrac{1}{b-a}d-\dfrac{1}{b-a}c \\
P(c\leqslant X\leqslant d) &=& \dfrac{d-c}{b-a} \\
\end{eqnarray}$$
CQFD.

Exercice résolu 1.
Soit $X$ la variable aléatoire continue qui suit une loi uniforme sur l’intervalle $[0; 10]$.
1°) Déterminer la fonction densité $f$ associée à cette variable aléatoire continue.
2°) Calculer :
$\quad$ a) $P(X=3)$ ;
$\quad$ b) $P(2\leqslant X\leqslant 8)$ ;
$\quad$ c) $P(X\leqslant 6)$ ;
$\quad$ d) $P(X\geqslant 8)$.
3°) Calculer l’espérance de $X$ sur $[0;10]$.

1°) La fonction densité $f$ associée à la variable aléatoire continue $X$ qui suit une loi uniforme sur l’intervalle $[0; 10]$ est la fonction constante définie par : $f(x)=\dfrac{1}{10-0}=\dfrac{1}{10}$. D’où :
$$\color{brown}{\boxed{\; f(x)=\dfrac{1}{10}\;}}$$

2°) Calcul de probabilités avec une loi uniforme :
a) $P(X=3)=P(3\leqslant X\leqslant 3)=\dfrac{3-3}{10-0} = 0$.
Donc : $$\color{brown}{\boxed{\; P(X=3)=0\;}}$$
b) $P(2\leqslant X\leqslant 8)= \dfrac{8-2}{10-0}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$.
Donc : $$\color{brown}{\boxed{\; P(2\leqslant X\leqslant 8)=\dfrac{3}{5}\;}}$$
c) $P(X\leqslant 6)=P(0\leqslant X\leqslant 6)= \dfrac{6-0}{10-0}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$.
Donc : $$\color{brown}{\boxed{\; P(X\leqslant 6)=\dfrac{3}{5}\;}}$$
d) $P(X\geqslant 8)=P(8\leqslant X\leqslant 10)= \dfrac{10-8}{10-0}=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$.
Donc : $$\color{brown}{\boxed{\; P(X\geqslant 8)=\dfrac{1}{5}\;}}$$

3°) Calculer l’espérance de $X$ sur $[0;10]$.
D’après le cours, on sait que l’espérance de $X$ d’une variable aléatoire continue qui suit une loi uniforme sur $[a; b]$ est donnée par : $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$.
Donc, $$E(X)=\dfrac{0+10}{2}=5$$
Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;E(X) =5\;}}$

Exercice résolu 2. (Bac ES, Centres étrangers, juin 2019)
Dans une concession automobile de la région, le temps d’attente, exprimé en minutes,
avant d’être reçu par un conseiller commercial peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1; 10]$.
1°) Un visiteur se présente. Quelle est la probabilité qu’il attende au moins 5 minutes avant
d’être reçu par un conseiller commercial ?
2°) Calculer la durée moyenne d’attente d’un conseiller commercial dans cette concession.

1°) On doit calculer $P(X\geqslant 5)$.
La variable aléatoire continue $X$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1; 10]$. Donc :
$P(X\geqslant 5)=P(5\leqslant X\leqslant 10)=\dfrac{10-5}{10-1} = \dfrac{5}{9}$.
Donc : $$\color{brown}{\boxed{\; P(X\geqslant 5)= \dfrac{5}{9}\;}}$$
La probabilité que le client attende au moins 5 minutes avant d’être reçu par un conseiller commercial est de $\dfrac{5}{9}$.

2°) Calculer la durée moyenne d’attente d’un conseiller commercial dans cette concession revient à calculer l’espérance de $X$ sur $[1;10]$.
D’après le cours, on sait que l’espérance d’une variable aléatoire continue $X$ qui suit une loi uniforme sur $[a; b]$ est donnée par : $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$.
Donc, $$E(X)=\dfrac{1+10}{2}=5,5$$
Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;E(X) =5,5\;}}$
Conclusion. La durée moyenne d’attente d’un conseiller commercial dans cette concession est de 5,5 minutes, soit 5min 30s.

2. La loi exponentielle

3.1) Définition et premières propriétés

Définition

Soitun nombre réel strictement positif. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi exponentiellede paramètresi et seulement si X a pour fonction de densité de probabilité la fonction f définie par :pour tout.

En effet,

  1. La fonction f est bien définie et continue surcomme produit de fonctions continues.
  2. La fonction f est positive surcaret pour tout:
  3. De plus, une primitive de f surest la fonction F définie par :. Donc, pour tout: Maintenant, on fait tendre x vers l’infini. On aDonc. Donc

Conclusion : La fonction f définit bien une fonction de densité de probabilité sur l’intervalle.


Remarque : On aurait pu définir f suren posant :

Dans ce cas, la fonction de densité de probabilité est continue partout sursauf au point d’abscisse x = 0 (il y aurait donc un point de discontinuité). Ce qui aurait alourdi les écritures et n’aurait rien modifié !

Propriétés de la loi exeponentielle

Soitun nombre réel strictement positif. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentiellede paramètre. Alors, pour tout, a < b, on a : (P1) : (P2) : (P3) :.

Démonstration : en classe.

3.2) Propriété de durée de vie sans vieillissement

Propriété (ROC)

Soitun nombre réel strictement positif. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentiellede paramètre. Alors, X vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, c’est-à-dire, pour tous réels positifs: (P4) :

La probabilité de l’événement (X ≥ h) est indépendante de l’instant initial t.

Démonstration : en classe.

3.3) Espérance de la loi exponentielle

Définition et propriété

Soitun nombre réel strictement positif. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentiellede paramètre. Alors, l’espérance de X est définie par :.

Propriété

Soitun nombre réel strictement positif. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentiellede paramètre. Alors, l’espérance de X est donnée par (P5) : .

Démonstration.

Soit. La fonction g définie parest continue sur [0; x], donc elle admet des primitives. Or, pour tout réel positif:. Il s’en suit que :.

Ce qui donne :.

Une primitive de la fonction g est donc la fonction G définie par : .

On a donc :

=

=

Lorsque x vers: et.

Donc . CQFD.

Exemple (BAC) : Baccalauréat S – Antilles-Guyane juin 2006 / Exercice n°3

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