1. Variable aléatoire continue et fonctions densités de probabilité
1. Variable aléatoire continue
1.1. Définition et exemples
Dans toute la suite, on considère une expérience aléatoire et $\Omega$ l’univers associé (non nécessairement fini), muni d’une probabilité $P$.
Définition 1.
On appelle variable aléatoire continue, toute fonction $X$ de $\Omega$ dans $\R$ qui peut prendre comme valeurs tous les nombres réels d’un intervalle $I$ de $\R$.
Exemples
- La variable aléatoire $X$ égale à la durée de vie (âge au décès) d’une personne dans une ville donnée ou dans un pays donné, est une variable aléatoire continue.
- Le poids à la naissance d’un bébé, exprimé en kg, est une variable aléatoire continue.
- La variable aléatoire $X$ égale à la durée de fonctionnement d’une ampoule électrique exprimée en heures, est une variable aléatoire continue.
- La variable aléatoire $X$ égale à la durée de communication téléphonique, exprimée en heures, d’un jeune de 16 à 25 ans, est une variable aléatoire continue.
- L’instruction ALEA() sur un tableur ou RAND# ou nbrAleat() sur une calculatrice, donnent un nombre au hasard compris entre 0 et 1. Ces instructions définissent une v.a. continue $X$ prenant ses valeurs dans [0;1]. Toutes ces valeurs « peuvent » être prises.
1.2. Fonction de densité de probabilité sur un intervalle
Définition 2.
On appelle fonction de densité de probabilité ou densité de probabilité sur un intervalle $I$, toute fonction $f$ continue, positive sur $I$ et dont l’aire totale du domaine délimité par la courbe $C_f$ et l’axe des abscisses, lorsque $x$ parcourt $I$, est égale à 1.
Autrement dit : $f$ est une densité de probabilité sur l’intervalle $I$ lorsque :
1°) $f$ est continue sur $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points de I ;
2°) $f$ est positive sur $I$ ; c’est-à-dire pour tout $x\in I$ : $f(x)\geqslant 0$ ;
3°) et $\displaystyle\int_I f(x)dx = 1$.
Calcul de l’intégrale sur $I$ : La condition (3) se traduit dans différentes situations par :
- si $I = [a; b]$ : $\int_I f(x)dx = \int_a^b f(x)dx$.
- si $I=[a;+\infty[$: l’intégrale se calcule en deux temps : pour tout $x\in [a;+\infty[$, on calcule d’abord $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ ; puis on fait tendre $x$ vers $+\infty$ pour obtenir :
$$\int_a^{+\infty}f(t)dt = \lim_{x \to+\infty}\int_a^x f(t)dt =\lim_{x \to+\infty}F(x)$$ - si $I=\R$, on découpe $I$ en deux intervalles $]-\infty;0]$ et $[0;+\infty[$, puis on fait la somme des aires sur ces deux intervalles en procédant comme ci-dessus :
$$\int_{\R}f(t)dt =\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt= \lim_{x \to+\infty}F(x)$$
1.3. Exercices résolus
Exercice résolu 1. Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=2x$. Montrer que $f$ définit bien une fonction de densité de probabilité sur $[0;1]$.
Exercice résolu 2. Soit $g$ la fonction définie sur $[0;2]$ par $f(x)=kx^2$. Déterminer $k$ pour que $f$ définisse une fonction de densité de probabilité sur $[0;2]$.
Exercice résolu 3. Soit $h$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=ke^{-2x}$. Déterminer $k$ pour que $f$ définisse une fonction de densité de probabilité sur $[0;+\infty[$.
1.4. Loi de probabilité à densité sur un intervalle
On considère une expérience aléatoire et $\Omega$ l’univers associé, muni d’une probabilité $P$.
Définition 3.
Soit $X$ une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle $I$ muni d’une fonction de densité $f$. On définit la loi de probabilité de densité $f$ de $X$, en associant à tout intervalle $J$ inclus dans $I$, la probabilité de l’événement “$X\in J$”, égale à l’aire du domaine ${\cal D} = \{M(x;y)$ tels que : $x\in J$ et $0\leqslant y \leqslant f (x)\}$, c’es-à-dire l’aire du domaine délimité par la courbe de $f$ et l’axe des abscisses, lorsque $x$ parcourt $J$.
Donc, si $J = [c ;d]$ alors : $\color{brown}{\boxed{\; P(X\in[c;d])= \int_c^d f(x) dx\;}}$
qu’on peut écrire encore : $\color{brown}{\boxed{\; P(c\leqslant X \leqslant d) = \int_c^d f(x) dx\;}}$

Propriétés immédiates.
Soit $X$ une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle $I$ muni d’une fonction densité de probabilité $f$. Alors :
(P1) Probabilité en un point : Pour tout réel $c\in I$ : $P(\{c\})=P(X=c)=0$.
(P2) Les bornes n’ont pas d’importance. Pour tous nombres réels $c$, $d\in I$ :
$$P(c\leqslant X \leqslant d) =P(c\leqslant X <d) =P(c<X \leqslant d) =P(c< X <d)$$
D’une manière analogue : $$P(X < c)=P(X \leqslant c)$$
(P3) : Événement contraire. Pour tout nombre réel $c\in I$ :
$$P(X > c) =1-P(X \leqslant c)$$
Démonstration.
(P1) Pour tout réel $c\in I$ : $P(X =c)=P( X\in {c })=P(c\leqslant X \leqslant c) = \int_c^c f(x) dx=0$.
(P2) $[c ;d ]=[c ; d [\cup\{d \}$ . Ces deux événements étant incompatibles, on a :
$P(X\in [c;d ]) = P(X\in [c;d [) + P(X\in{d }) = P(X\in[c;d [) + 0 = P(X\in[c;d [)$.
(P3) L’événement $(X >c)$ est l’événement contraire de $(X \geqslant c)$.
Donc, par définition des probabilités de deux événements contraires, nous avons : $P(X > c) =1-P(X \leqslant c)$.
CQFD.
Remarques :
Les propriétés des probabilités dans le cas discret, s’étendent naturellement au cas continu.
Soient $A$ et $B$ deux événements. Alors :
Propriétés classiques étendues au cas continu.
1°) $\color{brown}{P(\emptyset)=0}$ et en plus, dans le cas continu, $\color{brown}{P(\{c\}) = P(X = c) = 0}$.
2°) $\color{brown}{P(\Omega)=1}$. Ici : $\color{brown}{P(X\in I)=1}$.
3°) $\color{brown}{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$
4°) $\color{brown}{P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$ (ssi) $\color{brown}{A}$ et $\color{brown}{B}$ sont incompatibles ($\color{brown}{i.e.\; A\cap B=\emptyset}$).
5°) $\color{brown}{P(\overline{A}) = 1 – P(A)}$ ; où $\color{brown}{\overline{A}}$ désigne l’événement contraire de $\color{brown}{A}$.
6°) Si $\color{brown}{B\neq\emptyset}$, alors la probabilité conditionnelle de “$\color{brown}{A}$ sachant que $\color{brown}{B}$ est réalisé” est donnée par la formule bien connue : $$\color{brown}{P_{B}(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}}$$
1.5. Exercices résolus
Exercice résolu 4. Soit $X$ la variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle $[0; 1]$, muni de la fonction densité $f$ définie par : $f(x) = 3x^2$.
1°) Vérifier que $f$ définit une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$.
2°) Déterminer $P(X = 0,5)$.
3°) Calculer $P(X \leqslant 0,5)$.
4°) En déduire $P(X > 0,5)$.
5°) Calculer $P(0,3\leqslant X \leqslant 0,5)$.
6°) Calculer $P_{(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)} (0,3\leqslant X \leqslant 0,9)$.
1.6. Espérance d’une variable aléatoire à densité
On considère une expérience aléatoire et $\Omega$ l’univers associé, muni d’une probabilité $P$.
Définition 3.
Soit $X$ une variable aléatoire continue de densité de probabilité $f$ sur l’intervalle $I$. Alors, l’espérance mathématique ou simplement l’espérance de $X$ sur $I$, est définie par :
$$E(X) = \int_I xf(x)dx$$
$E(X)$ désigne la valeur moyenne de la variable aléatoire $X$ sur l’intervalle $I$.
Remarques :
1°) Le calcul de l’intégrale se fait comme dans le cas d’une fonction de densité comme suit :
- si $I = [a; b]$ : $E(X) = \int_a^b xf(x)dx$.
- si $I=[a;+\infty[$: $E(X) =\int_a^{+\infty}t f(t)dt = \lim_{x \to+\infty}\int_a^x t f(t)dt$.
- si $I=\R$, on découpe $I$ en deux intervalles $]-\infty;0]$ et $[0;+\infty[$, puis on fait la somme des aires sur ces deux intervalles en procédant comme ci-dessus :
$E(X)=\int_{\R}tf(t)dt =\int_{-\infty}^{+\infty}t f(t)dt= \int_{-\infty}^{0}t f(t)dt + \int_{0}^{+\infty}t f(t)dt$
2°) Cette formule constitue un prolongement dans le cadre continu de l’espérance d’une variable aléatoire discrète $E(X=\dsum_{i=1}^{n}p_i x_i$.
En effet, lorsque $I = [a ;b]$ on a : $E(X) = \int_a^b xf(x)dx$.
on peut analyser le parallélisme entre les deux formules :
- Le symbole $\dsum$ est remplacé par le symbole $\displaystyle\int$ ;
- $x_i$ par $x$ et la probabilité $p_i$ par $f(x)dx$ ;
- La somme pour $i$ allant de 1 à $n$, permettait de faire la somme pour toutes les valeurs de $x_i$, alors que l’intégrale fait la somme pour toutes les valeurs de $x$ entre $x=a$ et $x=b$.
1.7. Exercice résolu sur l’espérance d’une variable aléatoire continue
Exercice résolu 5. Soit $X$ la variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle $[0; 1]$, muni de la fonction densité $f$ définie par : $f(x) = 3x^2$.
Calculer l’espérance de X sur $[0;1]$.
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