1. Variable aléatoire continue et fonctions densités de probabilité

  1. Définition d’une variable aléatoire continue
  2. Fonction de densité de probabilité sur un intervalle
  3. Exercices résolus sur les fonctions densités de probabilité
  4. Loi de probabilité à densité sur un intervalle
  5. Exercices résolus
  6. Espérance d’une variable aléatoire à densité
  7. Exercice résolu sur l’espérance d’une variable aléatoire continue

1. Variable aléatoire continue

1.1. Définition et exemples

Dans toute la suite, on considère une expérience aléatoire et $\Omega$ l’univers associé (non nécessairement fini), muni d’une probabilité $P$.

Définition 1.
On appelle variable aléatoire continue, toute fonction $X$ de $\Omega$ dans $\R$ qui peut prendre comme valeurs tous les nombres réels d’un intervalle $I$ de $\R$.

Exemples

  1. La variable aléatoire $X$ égale à la durée de vie (âge au décès) d’une personne dans une ville donnée ou dans un pays donné, est une variable aléatoire continue.
  2. Le poids à la naissance d’un bébé, exprimé en kg, est une variable aléatoire continue.
  3. La variable aléatoire $X$ égale à la durée de fonctionnement d’une ampoule électrique exprimée en heures, est une variable aléatoire continue.
  4. La variable aléatoire $X$ égale à la durée de communication téléphonique, exprimée en heures, d’un jeune de 16 à 25 ans, est une variable aléatoire continue.
  5. L’instruction ALEA() sur un tableur ou RAND# ou nbrAleat() sur une calculatrice, donnent un nombre au hasard compris entre 0 et 1. Ces instructions définissent une v.a. continue $X$ prenant ses valeurs dans [0;1]. Toutes ces valeurs « peuvent » être prises.

1.2. Fonction de densité de probabilité sur un intervalle

Définition 2.
On appelle fonction de densité de probabilité ou densité de probabilité sur un intervalle $I$, toute fonction $f$ continue, positive sur $I$ et dont l’aire totale du domaine délimité par la courbe $C_f$ et l’axe des abscisses, lorsque $x$ parcourt $I$, est égale à 1.
Autrement dit : $f$ est une densité de probabilité sur l’intervalle $I$ lorsque :
1°) $f$ est continue sur $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points de I ;
2°) $f$ est positive sur $I$ ; c’est-à-dire pour tout $x\in I$ : $f(x)\geqslant 0$ ;
3°) et $\displaystyle\int_I f(x)dx = 1$.

Calcul de l’intégrale sur $I$ : La condition (3) se traduit dans différentes situations par :

  • si $I = [a; b]$ : $\int_I f(x)dx = \int_a^b f(x)dx$.
  • si $I=[a;+\infty[$: l’intégrale se calcule en deux temps : pour tout $x\in [a;+\infty[$, on calcule d’abord $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ ; puis on fait tendre $x$ vers $+\infty$ pour obtenir :
    $$\int_a^{+\infty}f(t)dt = \lim_{x \to+\infty}\int_a^x f(t)dt =\lim_{x \to+\infty}F(x)$$
  • si $I=\R$, on découpe $I$ en deux intervalles $]-\infty;0]$ et $[0;+\infty[$, puis on fait la somme des aires sur ces deux intervalles en procédant comme ci-dessus :
    $$\int_{\R}f(t)dt =\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt= \lim_{x \to+\infty}F(x)$$

1.3. Exercices résolus

Exercice résolu 1. Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=2x$. Montrer que $f$ définit bien une fonction de densité de probabilité sur $[0;1]$.

Méthode
i) Justifier que la fonction $f$ est continue sur $[0;1]$
ii) Montrer que pour tout $x\in [0;1]$ : $f(x)\geqslant 0$.
iii) Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[0;1]$, puis montrer que : $\int_0^1 f(x)dx = 1$.

Corrigé
i) La fonction $f$ est bien continue sur $[0;1]$ comme fonction polynôme.
ii) $f$ est positive sur $[0;1]$ car pour tout $x\in[0 ;1]$ : $x\geqslant0$, doc : $f(x)\geqslant0$.
iii) De plus, une primitive de $f $sur $[0;1]$ est la fonction $F$ définie par :
$F( x)=x^2$. Donc :
$$\begin{eqnarray}
\int_0^1 f(x) dx &=& \left[ F(x) \right]_0^1 \\
&=& F(1)-F(0)\\
&=& 1^2-0^2 \\
\int_0^1 f(x) dx &=& 1\\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. La fonction $f$ définit bien une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$.

Exercice résolu 2. Soit $g$ la fonction définie sur $[0;2]$ par $f(x)=kx^2$. Déterminer $k$ pour que $f$ définisse une fonction de densité de probabilité sur $[0;2]$.

Corrigé
i) La fonction $f$ est bien continue sur $[0;2]$ comme fonction polynôme.
ii) $f$ est positive sur $[0;2]$ si, et seulement si $k>0$ (le cas $k=0$ correspond à la fonction nulle et ne satisfait pas la 3ème condition). Donc $f\geqslant0$ (ssi) $k>0$.
iii) Une primitive de $f$ sur $[0;2]$ est la fonction $F$ définie par : $F( x)=k\dfrac{x^3}{3}+C$. Donc :
$$\begin{eqnarray}
\int_0^2 f(x) dx =1 &\text{ (ssi) }& \left[ F(x) \right]_0^2=1 \\
{}&\text{ (ssi) }& \left( k\times\dfrac{2^3}{3}+C\right) -\left( k\times\dfrac{0^3}{3}+C\right)=1\\
{}&\text{ (ssi) }& k\times\dfrac{8}{3}=1\\
{}&\text{ (ssi) }& k=\dfrac{3}{8}\\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. La fonction $f$ définit une fonction densité de probabilité sur $[0;2]$ si et seulement si :
$$\color{brown}{\boxed{\;k=\dfrac{3}{8}\;}}$$

Exercice résolu 3. Soit $h$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=ke^{-2x}$. Déterminer $k$ pour que $f$ définisse une fonction de densité de probabilité sur $[0;+\infty[$.

Corrigé
i) La fonction $f$ est bien continue sur $[0;2]$ comme composée de fonctions continues sur $[0;+\infty[$.
ii) La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Donc $f$ est positive sur $[0;+\infty[$ si et seulement si $k>0$ (le cas $k=0$ correspond à la fonction nulle et ne satisfait pas la 3ème condition). Donc $f\geqslant0$ (ssi) $k>0$.
iii) Une primitive de $f$ sur $[0;+\infty[$ est la fonction $F$ définie par : $F(x)=-\dfrac{k}{2}e^{-2x}+C$.
De plus, pour tout $x\in[0;+\infty[$ : $\int_0^x f(t) dt =\left[ F(x) \right]_0^x$.
Donc : $\int_0^x f(t) dt = \left( -\dfrac{k}{2}e^{-2x}+C\right) -\left( -\dfrac{k}{2}e^{-2\times0}+C\right)$.
Donc : $\int_0^x f(t) dt =\dfrac{k}{2}\left( 1-e^{-2x}\right)$

Faisons tendre $x$ vers $+\infty$. On obtient :
$$\int_0^{+\infty} f(t) dt = \dlim_{x\to+\infty}\int_0^x f(t) dt$$
Donc : $\int_0^{+\infty} f(t) dt =\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{k}{2}\left( 1-e^{-2x}\right) =\dfrac{k}{2}$, car $\dlim_{u\to-\infty}e^u=0$.
Par conséquent : $$\int_0^{+\infty} f(t) dt =1 \text{ (ssi) } k=2$$

Conclusion. La fonction $f$ définit une fonction densité de probabilité sur $[0;+\infty[$ si et seulement si : $$\color{brown}{\boxed{\;k=2\;}}$$
Et par suite, la fonction densité de probabilité $f$ est définie par : $f(x)=2e^{-2x}$.

1.4. Loi de probabilité à densité sur un intervalle

On considère une expérience aléatoire et $\Omega$ l’univers associé, muni d’une probabilité $P$.

Définition 3.
Soit $X$ une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle $I$ muni d’une fonction de densité $f$. On définit la loi de probabilité de densité $f$ de $X$, en associant à tout intervalle $J$ inclus dans $I$, la probabilité de l’événement “$X\in J$”, égale à l’aire du domaine ${\cal D} = \{M(x;y)$ tels que : $x\in J$ et $0\leqslant y \leqslant f (x)\}$, c’es-à-dire l’aire du domaine délimité par la courbe de $f$ et l’axe des abscisses, lorsque $x$ parcourt $J$.
Donc, si $J = [c ;d]$ alors : $\color{brown}{\boxed{\; P(X\in[c;d])= \int_c^d f(x) dx\;}}$
qu’on peut écrire encore : $\color{brown}{\boxed{\; P(c\leqslant X \leqslant d) = \int_c^d f(x) dx\;}}$

$$\color{green}{P(a\leqslant X \leqslant b) = 1}\text{ et }\color{brown}{P(c\leqslant X \leqslant d) = \int_c^d f(x) dx}$$

Propriétés immédiates.
Soit $X$ une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle $I$ muni d’une fonction densité de probabilité $f$. Alors :
(P1) Probabilité en un point : Pour tout réel $c\in I$ : $P(\{c\})=P(X=c)=0$.
(P2) Les bornes n’ont pas d’importance. Pour tous nombres réels $c$, $d\in I$ :
$$P(c\leqslant X \leqslant d) =P(c\leqslant X <d) =P(c<X \leqslant d) =P(c< X <d)$$
D’une manière analogue : $$P(X < c)=P(X \leqslant c)$$
(P3) : Événement contraire. Pour tout nombre réel $c\in I$ :
$$P(X > c) =1-P(X \leqslant c)$$

Démonstration.
(P1) Pour tout réel $c\in I$ : $P(X =c)=P( X\in {c })=P(c\leqslant X \leqslant c) = \int_c^c f(x) dx=0$.

(P2) $[c ;d ]=[c ; d [\cup\{d \}$ . Ces deux événements étant incompatibles, on a :
$P(X\in [c;d ]) = P(X\in [c;d [) + P(X\in{d }) = P(X\in[c;d [) + 0 = P(X\in[c;d [)$.

(P3) L’événement $(X >c)$ est l’événement contraire de $(X \geqslant c)$.
Donc, par définition des probabilités de deux événements contraires, nous avons : $P(X > c) =1-P(X \leqslant c)$.
CQFD.

Remarques :

Les propriétés des probabilités dans le cas discret, s’étendent naturellement au cas continu.
Soient $A$ et $B$ deux événements. Alors :

Propriétés classiques étendues au cas continu.

1°) $\color{brown}{P(\emptyset)=0}$ et en plus, dans le cas continu, $\color{brown}{P(\{c\}) = P(X = c) = 0}$.
2°) $\color{brown}{P(\Omega)=1}$. Ici : $\color{brown}{P(X\in I)=1}$.
3°) $\color{brown}{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$
4°) $\color{brown}{P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$ (ssi) $\color{brown}{A}$ et $\color{brown}{B}$ sont incompatibles ($\color{brown}{i.e.\; A\cap B=\emptyset}$).
5°) $\color{brown}{P(\overline{A}) = 1 – P(A)}$ ; où $\color{brown}{\overline{A}}$ désigne l’événement contraire de $\color{brown}{A}$.
6°) Si $\color{brown}{B\neq\emptyset}$, alors la probabilité conditionnelle de “$\color{brown}{A}$ sachant que $\color{brown}{B}$ est réalisé” est donnée par la formule bien connue : $$\color{brown}{P_{B}(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}}$$

1.5. Exercices résolus

Exercice résolu 4. Soit $X$ la variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle $[0; 1]$, muni de la fonction densité $f$ définie par : $f(x) = 3x^2$.
1°) Vérifier que $f$ définit une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$.
2°) Déterminer $P(X = 0,5)$.
3°) Calculer $P(X \leqslant 0,5)$.
4°) En déduire $P(X > 0,5)$.
5°) Calculer $P(0,3\leqslant X \leqslant 0,5)$.
6°) Calculer $P_{(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)} (0,3\leqslant X \leqslant 0,9)$.

1°) Vérifions que $f$ définit une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$.
$\quad$ i) La fonction $f$ est bien continue sur $[0;1]$ comme fonction polynôme.
$\quad$ ii) $f$ est positive sur $[0;1]$.
$\quad$ iii) Une primitive de $f$ sur $[0;1]$ est la fonction $F$ définie par : $F( x)=x^3+C$.
$\quad$ Donc : $\int_0^1 f(x) dx =\left[ F(x) \right]_0^1=(1^3+C)-(0^3+C) = 1$.
Par conséquent, la fonction $f$ définit bien une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$.

2°) $P(X = 0,5)=P(0,5\leqslant X\leqslant0,5)=\int_{0,5}^{0,5}f(x) dx=0$.
Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\; P(X = 0,5) = 0\;}}$

3°) Calculons $P(X \leqslant 0,5)$. On a alors :
$$\begin{eqnarray}
P(X \leqslant 0,5)&=& P(0\leqslant X \leqslant 0,5) \\
&=& \int_{0}^{0,5}f(x) dx\\
&=& \left[ F(x)\right]_0^{0,5}\\
&=& \left( (0,5)^3+C\right) -\left( 0^3+C\right) \\
P(X \leqslant 0,5) &=& 0,125 \\
\end{eqnarray}$$
Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;P(X \leqslant 0,5)= 0,125\;}}$

4°) Calculons $P(X > 0,5)$. On peut utiliser l’une des deux méthodes suivantes :

1ère méthode : On peut refaire un calcul direct comme dans la question 3°, en posant :
$P(X > 0,5)=P(0,5 < X \leqslant 1)=\int_{0,5}^1 f(x) dx=\ldots$

2ème méthode : On remarque que l’événement “$X > 0,5$” est l’événement contraire de “$X \leqslant 0,5$”. On utilise alors le résultat de la question précédente. On a :
$P(X > 0,5) = 1 -P(X \leqslant 1)=1-0,125=0,875$.
Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;P(X > 0,5)= 0,875\;}}$

5°) Calculer $P(0,3\leqslant X \leqslant 0,5)$.
$$\begin{eqnarray}
P(0,3\leqslant X \leqslant 0,5) &=& \int_{0,3}^{0,5}f(x) dx\\
&=&\left[ F(x)\right]_{0,3}^{0,5}\\
&=&\left( (0,5)^3+C\right) -\left( (0,3)^3+C\right)\\
&=& 0,125-0,027\\
\end{eqnarray}$$
Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;P(0,3\leqslant X \leqslant 0,5)= 0,098\;}}$

6°) Calculer Calculer $P_{(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)} (0,3\leqslant X \leqslant 0,9)$.
On utilise la formule des probabilités conditionnelles :

$P_{(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)} (0,3\leqslant X \leqslant 0,9)$
$\quad=\dfrac{P\left([0,2\leqslant X \leqslant 0,5]\cap [0,3\leqslant X \leqslant 0,9] \right)}{P(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)}$
$\quad= \dfrac{P(0,3\leqslant X \leqslant 0,5)}{P(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)}
= \dfrac{\int_{0,3}^{0,5}f(x) dx}{\int_{0,2}^{0,5}f(x) dx}$
$\quad= \dfrac{\left[ F(x)\right]_{0,3}^{0,5}}{\left[ F(x)\right]_{0,2}^{0,5}}
= \dfrac{\left( (0,5)^3\right) -\left( (0,3)^3\right)}{\left( (0,5)^3\right) -\left( (0,2)^3\right)}= \dfrac{0,098}{0,117}$.

$P_{(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)} (0,3\leqslant X \leqslant 0,9)=\dfrac{98}{117}$.

Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;P_{(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)} (0,3\leqslant X \leqslant 0,9)\simeq 0,838\;}}$

1.6. Espérance d’une variable aléatoire à densité

On considère une expérience aléatoire et $\Omega$ l’univers associé, muni d’une probabilité $P$.

Définition 3.
Soit $X$ une variable aléatoire continue de densité de probabilité $f$ sur l’intervalle $I$. Alors, l’espérance mathématique ou simplement l’espérance de $X$ sur $I$, est définie par :
$$E(X) = \int_I xf(x)dx$$
$E(X)$ désigne la valeur moyenne de la variable aléatoire $X$ sur l’intervalle $I$.

Remarques :

1°) Le calcul de l’intégrale se fait comme dans le cas d’une fonction de densité comme suit :

  • si $I = [a; b]$ : $E(X) = \int_a^b xf(x)dx$.
  • si $I=[a;+\infty[$: $E(X) =\int_a^{+\infty}t f(t)dt = \lim_{x \to+\infty}\int_a^x t f(t)dt$.
  • si $I=\R$, on découpe $I$ en deux intervalles $]-\infty;0]$ et $[0;+\infty[$, puis on fait la somme des aires sur ces deux intervalles en procédant comme ci-dessus :
    $E(X)=\int_{\R}tf(t)dt =\int_{-\infty}^{+\infty}t f(t)dt= \int_{-\infty}^{0}t f(t)dt + \int_{0}^{+\infty}t f(t)dt$

2°) Cette formule constitue un prolongement dans le cadre continu de l’espérance d’une variable aléatoire discrète $E(X=\dsum_{i=1}^{n}p_i x_i$.
En effet, lorsque $I = [a ;b]$ on a : $E(X) = \int_a^b xf(x)dx$.
on peut analyser le parallélisme entre les deux formules :

  • Le symbole $\dsum$ est remplacé par le symbole $\displaystyle\int$ ;
  • $x_i$ par $x$ et la probabilité $p_i$ par $f(x)dx$ ;
  • La somme pour $i$ allant de 1 à $n$, permettait de faire la somme pour toutes les valeurs de $x_i$, alors que l’intégrale fait la somme pour toutes les valeurs de $x$ entre $x=a$ et $x=b$.

1.7. Exercice résolu sur l’espérance d’une variable aléatoire continue

Exercice résolu 5. Soit $X$ la variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle $[0; 1]$, muni de la fonction densité $f$ définie par : $f(x) = 3x^2$.
Calculer l’espérance de X sur $[0;1]$.

Par définition, l’espérance de $X$ sur l’intervalle $[0; 1]$, est donnée par :
$E(X) = \int_0^1 xf(x)dx = \int_0^1 x\times 3 x^2 dx =\int_0^1 3x^3 dx$.
Or une primitive de la fonction $g : x\mapsto 3x^3$ est la fonction $G$ définie par : $G(x)=3\times \dfrac{x^4}{4}+C$. Ce qui donne :
$E(X) =\left[G(x) \right]_0^1 = \left(3\times\dfrac{1^4}{4}+C \right)-\left(3\times\dfrac{0^4}{4}+C \right)$.

Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;E(X) =\dfrac{3}{4} \;}}$

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