1. Définition d’une variable aléatoire continue
  2. Fonction de densité de probabilité sur un intervalle
  3. Exercices résolus sur les fonctions densités de probabilité
  4. Loi de probabilité à densité sur un intervalle
  5. Exercices résolus
  6. Espérance d’une variable aléatoire à densité
  7. Exercice résolu sur l’espérance d’une variable aléatoire continue

1. Variable aléatoire continue

1.1. Définition et exemples

Dans toute la suite, on considère une expérience aléatoire et $\Omega$ l’univers associé (non nécessairement fini), muni d’une probabilité $P$.

Définition 1.
On appelle variable aléatoire continue, toute fonction $X$ de $\Omega$ dans $\R$ qui peut prendre comme valeurs tous les nombres réels d’un intervalle $I$ de $\R$.

Exemples

  1. La variable aléatoire $X$ égale à la durée de vie (âge au décès) d’une personne dans une ville donnée ou dans un pays donné, est une variable aléatoire continue.
  2. Le poids à la naissance d’un bébé, exprimé en kg, est une variable aléatoire continue.
  3. La variable aléatoire $X$ égale à la durée de fonctionnement d’une ampoule électrique exprimée en heures, est une variable aléatoire continue.
  4. La variable aléatoire $X$ égale à la durée de communication téléphonique, exprimée en heures, d’un jeune de 16 à 25 ans, est une variable aléatoire continue.
  5. L’instruction ALEA() sur un tableur ou RAND# ou nbrAleat() sur une calculatrice, donnent un nombre au hasard compris entre 0 et 1. Ces instructions définissent une v.a. continue $X$ prenant ses valeurs dans [0;1]. Toutes ces valeurs « peuvent » être prises.

1.2. Fonction de densité de probabilité sur un intervalle

Définition 2.
On appelle fonction de densité de probabilité ou densité de probabilité sur un intervalle $I$, toute fonction $f$ continue, positive sur $I$ et dont l’aire totale du domaine délimité par la courbe $C_f$ et l’axe des abscisses, lorsque $x$ parcourt $I$, est égale à 1.
Autrement dit : $f$ est une densité de probabilité sur l’intervalle $I$ lorsque :
1°) $f$ est continue sur $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points de I ;
2°) $f$ est positive sur $I$ ; c’est-à-dire pour tout $x\in I$ : $f(x)\geqslant 0$ ;
3°) et $\displaystyle\int_I f(x)dx = 1$.

Calcul de l’intégrale sur $I$ : La condition (3) se traduit dans différentes situations par :

  • si $I = [a; b]$ : $\int_I f(x)dx = \int_a^b f(x)dx$.
  • si $I=[a;+\infty[$: l’intégrale se calcule en deux temps : pour tout $x\in [a;+\infty[$, on calcule d’abord $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ ; puis on fait tendre $x$ vers $+\infty$ pour obtenir :
    $$\int_a^{+\infty}f(t)dt = \lim_{x \to+\infty}\int_a^x f(t)dt =\lim_{x \to+\infty}F(x)$$
  • si $I=\R$, on découpe $I$ en deux intervalles $]-\infty;0]$ et $[0;+\infty[$, puis on fait la somme des aires sur ces deux intervalles en procédant comme ci-dessus :
    $$\int_{\R}f(t)dt =\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt= \lim_{x \to+\infty}F(x)$$

1.3. Exercices résolus

Exercice résolu 1. Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=2x$. Montrer que $f$ définit bien une fonction de densité de probabilité sur $[0;1]$.

Méthode
i) Justifier que la fonction $f$ est continue sur $[0;1]$
ii) Montrer que pour tout $x\in [0;1]$ : $f(x)\geqslant 0$.
iii) Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[0;1]$, puis montrer que : $\int_0^1 f(x)dx = 1$.

Corrigé
i) La fonction $f$ est bien continue sur $[0;1]$ comme fonction polynôme.
ii) $f$ est positive sur $[0;1]$ car pour tout $x\in[0 ;1]$ : $x\geqslant0$, doc : $f(x)\geqslant0$.
iii) De plus, une primitive de $f $sur $[0;1]$ est la fonction $F$ définie par :
$F( x)=x^2$. Donc :
$$\begin{eqnarray}
\int_0^1 f(x) dx &=& \left[ F(x) \right]_0^1 \\
&=& F(1)-F(0)\\
&=& 1^2-0^2 \\
\int_0^1 f(x) dx &=& 1\\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. La fonction $f$ définit bien une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$.

Exercice résolu 2. Soit $g$ la fonction définie sur $[0;2]$ par $f(x)=kx^2$. Déterminer $k$ pour que $f$ définisse une fonction de densité de probabilité sur $[0;2]$.

Corrigé
i) La fonction $f$ est bien continue sur $[0;2]$ comme fonction polynôme.
ii) $f$ est positive sur $[0;2]$ si, et seulement si $k>0$ (le cas $k=0$ correspond à la fonction nulle et ne satisfait pas la 3ème condition). Donc $f\geqslant0$ (ssi) $k>0$.
iii) Une primitive de $f$ sur $[0;2]$ est la fonction $F$ définie par : $F( x)=k\dfrac{x^3}{3}+C$. Donc :
$$\begin{eqnarray}
\int_0^2 f(x) dx =1 &\text{ (ssi) }& \left[ F(x) \right]_0^2=1 \\
{}&\text{ (ssi) }& \left( k\times\dfrac{2^3}{3}+C\right) -\left( k\times\dfrac{0^3}{3}+C\right)=1\\
{}&\text{ (ssi) }& k\times\dfrac{8}{3}=1\\
{}&\text{ (ssi) }& k=\dfrac{3}{8}\\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. La fonction $f$ définit une fonction densité de probabilité sur $[0;2]$ si et seulement si :
$$\color{brown}{\boxed{\;k=\dfrac{3}{8}\;}}$$

Exercice résolu 3. Soit $h$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=ke^{-2x}$. Déterminer $k$ pour que $f$ définisse une fonction de densité de probabilité sur $[0;+\infty[$.

Corrigé
i) La fonction $f$ est bien continue sur $[0;2]$ comme composée de fonctions continues sur $[0;+\infty[$.
ii) La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Donc $f$ est positive sur $[0;+\infty[$ si et seulement si $k>0$ (le cas $k=0$ correspond à la fonction nulle et ne satisfait pas la 3ème condition). Donc $f\geqslant0$ (ssi) $k>0$.
iii) Une primitive de $f$ sur $[0;+\infty[$ est la fonction $F$ définie par : $F(x)=-\dfrac{k}{2}e^{-2x}+C$.
De plus, pour tout $x\in[0;+\infty[$ : $\int_0^x f(t) dt =\left[ F(x) \right]_0^x$.
Donc : $\int_0^x f(t) dt = \left( -\dfrac{k}{2}e^{-2x}+C\right) -\left( -\dfrac{k}{2}e^{-2\times0}+C\right)$.
Donc : $\int_0^x f(t) dt =\dfrac{k}{2}\left( 1-e^{-2x}\right)$

Faisons tendre $x$ vers $+\infty$. On obtient :
$$\int_0^{+\infty} f(t) dt = \dlim_{x\to+\infty}\int_0^x f(t) dt$$
Donc : $\int_0^{+\infty} f(t) dt =\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{k}{2}\left( 1-e^{-2x}\right) =\dfrac{k}{2}$, car $\dlim_{u\to-\infty}e^u=0$.
Par conséquent : $$\int_0^{+\infty} f(t) dt =1 \text{ (ssi) } k=2$$

Conclusion. La fonction $f$ définit une fonction densité de probabilité sur $[0;+\infty[$ si et seulement si : $$\color{brown}{\boxed{\;k=2\;}}$$
Et par suite, la fonction densité de probabilité $f$ est définie par : $f(x)=2e^{-2x}$.

1.4. Loi de probabilité à densité sur un intervalle

On considère une expérience aléatoire et $\Omega$ l’univers associé, muni d’une probabilité $P$.

Définition 3.
Soit $X$ une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle $I$ muni d’une fonction de densité $f$. On définit la loi de probabilité de densité $f$ de $X$, en associant à tout intervalle $J$ inclus dans $I$, la probabilité de l’événement « $X\in J$ », égale à l’aire du domaine ${\cal D} = \{M(x;y)$ tels que : $x\in J$ et $0\leqslant y \leqslant f (x)\}$, c’es-à-dire l’aire du domaine délimité par la courbe de $f$ et l’axe des abscisses, lorsque $x$ parcourt $J$.
Donc, si $J = [c ;d]$ alors : $\color{brown}{\boxed{\; P(X\in[c;d])= \int_c^d f(x) dx\;}}$
qu’on peut écrire encore : $\color{brown}{\boxed{\; P(c\leqslant X \leqslant d) = \int_c^d f(x) dx\;}}$

$$\color{green}{P(a\leqslant X \leqslant b) = 1}\text{ et }\color{brown}{P(c\leqslant X \leqslant d) = \int_c^d f(x) dx}$$

Propriétés immédiates.
Soit $X$ une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle $I$ muni d’une fonction densité de probabilité $f$. Alors :
(P1) Probabilité en un point : Pour tout réel $c\in I$ : $P(\{c\})=P(X=c)=0$.
(P2) Les bornes n’ont pas d’importance. Pour tous nombres réels $c$, $d\in I$ :
$$P(c\leqslant X \leqslant d) =P(c\leqslant X <d) =P(c<X \leqslant d) =P(c< X <d)$$
D’une manière analogue : $$P(X < c)=P(X \leqslant c)$$
(P3) : Événement contraire. Pour tout nombre réel $c\in I$ :
$$P(X > c) =1-P(X \leqslant c)$$

Démonstration.
(P1) Pour tout réel $c\in I$ : $P(X =c)=P( X\in {c })=P(c\leqslant X \leqslant c) = \int_c^c f(x) dx=0$.

(P2) $[c ;d ]=[c ; d [\cup\{d \}$ . Ces deux événements étant incompatibles, on a :
$P(X\in [c;d ]) = P(X\in [c;d [) + P(X\in{d }) = P(X\in[c;d [) + 0 = P(X\in[c;d [)$.

(P3) L’événement $(X >c)$ est l’événement contraire de $(X \geqslant c)$.
Donc, par définition des probabilités de deux événements contraires, nous avons : $P(X > c) =1-P(X \leqslant c)$.
CQFD.

Remarques :

Les propriétés des probabilités dans le cas discret, s’étendent naturellement au cas continu.
Soient $A$ et $B$ deux événements. Alors :

Propriétés classiques étendues au cas continu.

1°) $\color{brown}{P(\emptyset)=0}$ et en plus, dans le cas continu, $\color{brown}{P(\{c\}) = P(X = c) = 0}$.
2°) $\color{brown}{P(\Omega)=1}$. Ici : $\color{brown}{P(X\in I)=1}$.
3°) $\color{brown}{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$
4°) $\color{brown}{P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$ (ssi) $\color{brown}{A}$ et $\color{brown}{B}$ sont incompatibles ($\color{brown}{i.e.\; A\cap B=\emptyset}$).
5°) $\color{brown}{P(\overline{A}) = 1 – P(A)}$ ; où $\color{brown}{\overline{A}}$ désigne l’événement contraire de $\color{brown}{A}$.
6°) Si $\color{brown}{B\neq\emptyset}$, alors la probabilité conditionnelle de « $\color{brown}{A}$ sachant que $\color{brown}{B}$ est réalisé » est donnée par la formule bien connue : $$\color{brown}{P_{B}(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}}$$

1.5. Exercices résolus

Exercice résolu 4. Soit $X$ la variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle $[0; 1]$, muni de la fonction densité $f$ définie par : $f(x) = 3x^2$.
1°) Vérifier que $f$ définit une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$.
2°) Déterminer $P(X = 0,5)$.
3°) Calculer $P(X \leqslant 0,5)$.
4°) En déduire $P(X > 0,5)$.
5°) Calculer $P(0,3\leqslant X \leqslant 0,5)$.
6°) Calculer $P_{(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)} (0,3\leqslant X \leqslant 0,9)$.

1°) Vérifions que $f$ définit une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$.
$\quad$ i) La fonction $f$ est bien continue sur $[0;1]$ comme fonction polynôme.
$\quad$ ii) $f$ est positive sur $[0;1]$.
$\quad$ iii) Une primitive de $f$ sur $[0;1]$ est la fonction $F$ définie par : $F( x)=x^3+C$.
$\quad$ Donc : $\int_0^1 f(x) dx =\left[ F(x) \right]_0^1=(1^3+C)-(0^3+C) = 1$.
Par conséquent, la fonction $f$ définit bien une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$.

2°) $P(X = 0,5)=P(0,5\leqslant X\leqslant0,5)=\int_{0,5}^{0,5}f(x) dx=0$.
Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\; P(X = 0,5) = 0\;}}$

3°) Calculons $P(X \leqslant 0,5)$. On a alors :
$$\begin{eqnarray}
P(X \leqslant 0,5)&=& P(0\leqslant X \leqslant 0,5) \\
&=& \int_{0}^{0,5}f(x) dx\\
&=& \left[ F(x)\right]_0^{0,5}\\
&=& \left( (0,5)^3+C\right) -\left( 0^3+C\right) \\
P(X \leqslant 0,5) &=& 0,125 \\
\end{eqnarray}$$
Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;P(X \leqslant 0,5)= 0,125\;}}$

4°) Calculons $P(X > 0,5)$. On peut utiliser l’une des deux méthodes suivantes :

1ère méthode : On peut refaire un calcul direct comme dans la question 3°, en posant :
$P(X > 0,5)=P(0,5 < X \leqslant 1)=\int_{0,5}^1 f(x) dx=\ldots$

2ème méthode : On remarque que l’événement « $X > 0,5$ » est l’événement contraire de « $X \leqslant 0,5$ ». On utilise alors le résultat de la question précédente. On a :
$P(X > 0,5) = 1 -P(X \leqslant 1)=1-0,125=0,875$.
Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;P(X > 0,5)= 0,875\;}}$

5°) Calculer $P(0,3\leqslant X \leqslant 0,5)$.
$$\begin{eqnarray}
P(0,3\leqslant X \leqslant 0,5) &=& \int_{0,3}^{0,5}f(x) dx\\
&=&\left[ F(x)\right]_{0,3}^{0,5}\\
&=&\left( (0,5)^3+C\right) -\left( (0,3)^3+C\right)\\
&=& 0,125-0,027\\
\end{eqnarray}$$
Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;P(0,3\leqslant X \leqslant 0,5)= 0,098\;}}$

6°) Calculer Calculer $P_{(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)} (0,3\leqslant X \leqslant 0,9)$.
On utilise la formule des probabilités conditionnelles :

$P_{(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)} (0,3\leqslant X \leqslant 0,9)$
$\quad=\dfrac{P\left([0,2\leqslant X \leqslant 0,5]\cap [0,3\leqslant X \leqslant 0,9] \right)}{P(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)}$
$\quad= \dfrac{P(0,3\leqslant X \leqslant 0,5)}{P(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)}
= \dfrac{\int_{0,3}^{0,5}f(x) dx}{\int_{0,2}^{0,5}f(x) dx}$
$\quad= \dfrac{\left[ F(x)\right]_{0,3}^{0,5}}{\left[ F(x)\right]_{0,2}^{0,5}}
= \dfrac{\left( (0,5)^3\right) -\left( (0,3)^3\right)}{\left( (0,5)^3\right) -\left( (0,2)^3\right)}= \dfrac{0,098}{0,117}$.

$P_{(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)} (0,3\leqslant X \leqslant 0,9)=\dfrac{98}{117}$.

Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;P_{(0,2\leqslant X \leqslant 0,5)} (0,3\leqslant X \leqslant 0,9)\simeq 0,838\;}}$

1.6. Espérance d’une variable aléatoire à densité

On considère une expérience aléatoire et $\Omega$ l’univers associé, muni d’une probabilité $P$.

Définition 3.
Soit $X$ une variable aléatoire continue de densité de probabilité $f$ sur l’intervalle $I$. Alors, l’espérance mathématique ou simplement l’espérance de $X$ sur $I$, est définie par :
$$E(X) = \int_I xf(x)dx$$
$E(X)$ désigne la valeur moyenne de la variable aléatoire $X$ sur l’intervalle $I$.

Remarques :

1°) Le calcul de l’intégrale se fait comme dans le cas d’une fonction de densité comme suit :

  • si $I = [a; b]$ : $E(X) = \int_a^b xf(x)dx$.
  • si $I=[a;+\infty[$: $E(X) =\int_a^{+\infty}t f(t)dt = \lim_{x \to+\infty}\int_a^x t f(t)dt$.
  • si $I=\R$, on découpe $I$ en deux intervalles $]-\infty;0]$ et $[0;+\infty[$, puis on fait la somme des aires sur ces deux intervalles en procédant comme ci-dessus :
    $E(X)=\int_{\R}tf(t)dt =\int_{-\infty}^{+\infty}t f(t)dt= \int_{-\infty}^{0}t f(t)dt + \int_{0}^{+\infty}t f(t)dt$

2°) Cette formule constitue un prolongement dans le cadre continu de l’espérance d’une variable aléatoire discrète $E(X=\dsum_{i=1}^{n}p_i x_i$.
En effet, lorsque $I = [a ;b]$ on a : $E(X) = \int_a^b xf(x)dx$.
on peut analyser le parallélisme entre les deux formules :

  • Le symbole $\dsum$ est remplacé par le symbole $\displaystyle\int$ ;
  • $x_i$ par $x$ et la probabilité $p_i$ par $f(x)dx$ ;
  • La somme pour $i$ allant de 1 à $n$, permettait de faire la somme pour toutes les valeurs de $x_i$, alors que l’intégrale fait la somme pour toutes les valeurs de $x$ entre $x=a$ et $x=b$.

1.7. Exercice résolu sur l’espérance d’une variable aléatoire continue

Exercice résolu 5. Soit $X$ la variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle $[0; 1]$, muni de la fonction densité $f$ définie par : $f(x) = 3x^2$.
Calculer l’espérance de X sur $[0;1]$.

Par définition, l’espérance de $X$ sur l’intervalle $[0; 1]$, est donnée par :
$E(X) = \int_0^1 xf(x)dx = \int_0^1 x\times 3 x^2 dx =\int_0^1 3x^3 dx$.
Or une primitive de la fonction $g : x\mapsto 3x^3$ est la fonction $G$ définie par : $G(x)=3\times \dfrac{x^4}{4}+C$. Ce qui donne :
$E(X) =\left[G(x) \right]_0^1 = \left(3\times\dfrac{1^4}{4}+C \right)-\left(3\times\dfrac{0^4}{4}+C \right)$.

Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;E(X) =\dfrac{3}{4} \;}}$