Pour utiliser les nombres complexes en géométrie, chercher des lieux géométriques et étudier les propriétés des angles et des arguments des nombres complexes, on se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$.

Dans le plan complexe, nous utiliserons le repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ et non pas $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ pour éviter les confusions possibles entre le vecteur $\vec{\imath}$ et le nombre complexe $i$, $i^2=-1$.

1. Argument et angles

Définition 1.
Soit $z\in\C$ et $M$ le point du plan d’affixe $z$. Alors le module $\abs{z}$ est égal à la norme du vecteur $\overrightarrow{OM}$ et $\arg(z)$ est égal à l’angle orienté que fait le vecteur $\overrightarrow{OM}$ avec le vecteurs unité $\vec{u}$ du repère. $$\boxed{\phantom{\dfrac{|}{|}}~\abs{z}=||\overrightarrow{OM}||~~\text{et}~~\arg(z)=(\vec{u};\overrightarrow{OM}) ~~}$$

Théorème 1.

Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ et $D(z_D)$ quatre points distincts du plan complexe muni du repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$. Alors :
1°) $\abs{z_A}=OA=||\overrightarrow{OA}||~$ et $~\arg(z_A)=(\vec{u};\overrightarrow{OA})~[2\pi]$.
2°) $\abs{z_B-z_A}=AB=||\overrightarrow{AB}||~$ et $~\arg(z_B-z_A)=(\vec{u};\overrightarrow{AB})~[2\pi]$.
3°) $\left|\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=\dfrac{\abs{z_C-z_A}}{\abs{z_B-z_A}}=\dfrac{AC}{AB}$
4°) L’angle $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})=\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)$ $[2\pi]$.

2. Utiliser les nombres complexes en géométrie

Théorème 2. Alignement de points

Trois points $A$, $B(z_B)$ et $C(z_C)$ sont alignés
$\begin{array}{rl}
\quad &\Longleftrightarrow\overrightarrow{AB}\text{ et }\overrightarrow{AC}\text{ sont colinéaires}\\
&\Longleftrightarrow\text{Il existe } k\in\R \text{ tel que } z_C-z_A=k(z_B-z_A)\\
&\Longleftrightarrow (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=0~[\pi]
\Longleftrightarrow \arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=0~[\pi] \\
\end{array}$

Théorème 3. Parallélisme

Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ et $D(z_D)$ quatre points distincts du plan complexe.
$$(AB)// (CD)\Longleftrightarrow (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})=0~[\pi] \Longleftrightarrow \arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)=0~[\pi] $$

Théorème 4. Orthogonalité

Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ et $D(z_D)$ quatre points distincts du plan complexe.
$\begin{array}{rl}
(AB)\perp (CD)
& \Longleftrightarrow (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})=\dfrac{\pi}{2}~[\pi] \\
& \Longleftrightarrow \arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)=\dfrac{\pi}{2}~[\pi] \\
&\Longleftrightarrow \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}~~\text{est un imaginaire pur}\\
\end{array}$

Corollaire. Triangle rectangle

Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$ et $C(z_C)$ trois points distincts du plan complexe.
$\begin{array}{rl}
ABC~~\text{est rectangle en }A
&\Longleftrightarrow (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{2}~[\pi] \\
&\Longleftrightarrow \arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\dfrac{\pi}{2}~[\pi] \\
&\Longleftrightarrow \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}~~\text{est un imaginaire pur}\\
\end{array}$

3. Lieux géométriques

Définition 2.
Un lieu géométrique est un ensemble de tous les points du plan réel ou complexe [ou de l’espace] qui satisfont tous une même propriété commune appelée propriété caractéristique.

Exemples

Propriété 1.

1°) Le cercle ${\mathscr C}(A;r)$ est lelieu géométrique qui vérifie la propriété caractéristique suivante.
Soit $M$ un point quelconque du plan complexe. Alors :
$$\boxed{~~\begin{array}{rl}
M\in{\mathscr C}(A;r)&\Longleftrightarrow AM=r\\
&\Longleftrightarrow \abs{z_M-z_A}=r\\
\end{array}~~}$$

Propriété 2.

2°) La médiatrice $\Delta$ du segment $[AB]$ est lelieu géométrique qui vérifie la propriété caractéristique suivante.
Soit $M$ un point quelconque du plan complexe. Alors :
$$\boxed{~~M\in\Delta\Longleftrightarrow MA=MB~~}$$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Déterminer l’ensemble $E_1$ des points $M$ d’affixes $z$ dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ et vérifiant l’égalité $\abs{z-3+2\i}=5$.

Soient $A$ le point d’affixe $z=3-2\i$ et $M$ un point quelconque d’affixe $z$ dans le plan complexe. On a les équivalences suivantes :
$$\begin{array}{rl} M\in E_1
&\Longleftrightarrow \abs{z-3+2\i}=5\\
&\Longleftrightarrow \abs{z-z_A}=5\\
&\Longleftrightarrow AM=5\\
&\Longleftrightarrow M\in{\mathscr C}(A;5)\\
\end{array}$$
Conclusion. $E_1$ est le cercle de centre $A(3;-2)$ et de rayon $r=5$. $$\boxed{~~E_1={\mathscr C}(A;5)~~}$$
CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°2.
Déterminer l’ensemble $E_2$ des points $M$ d’affixes $z$ dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ et vérifiant l’égalité $\abs{z-3+2\i}=\abs{z+1-\i}$.


Soient $A$ et $B$ les points d’affixes $z_A=3-2\i$ et $z_B=-1+\i$.
Soit $M$ un point quelconque du plan complexe d’affixe $z$. On a les équivalences suivantes :
$$\begin{array}{rl} M\in E_2
&\Longleftrightarrow \abs{z-3+2\i}=\abs{z+1-\i}\\
&\Longleftrightarrow \abs{z-z_A}=\abs{z-z_B}\\
&\Longleftrightarrow AM=BM\\
&\Longleftrightarrow M\text{ est équidistant de } A \text{et de }B\\
&\Longleftrightarrow M\in\Delta, \text{ médiatrice de }[AB]\\
\end{array}$$
Conclusion. $E_2$ est la médiatrice du segment $[AB]$. $$\boxed{~~E_2=\Delta_{[AB]}~~}$$
CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°3.
Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$ et $C(z_C)$ trois points distincts du plan complexe tels que : $z_A=3-2\i$, $z_B=-1+\i$ et $z_C=6+2\i$.
1°) Calculer le module et l’argument de $Z=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.
2°) En déduire la nature du triangle $ABC$.

1°) Calculons $\abs{Z}$.
$\begin{array}{rl}
\abs{Z}&=\dfrac{\abs{z_C-z_A}}{\abs{z_B-z_A}}\\
&=\dfrac{\abs{6+2\i-(3-2\i)}}{\abs{-1+\i-(3-2\i)}}\\
&=\dfrac{\abs{3+4\i}}{\abs{-4+3\i}}\\
&=\dfrac{\sqrt{3^2+4^2}}{\sqrt{(-4)^2+3^2}}\\
&=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{25}}\\
\abs{Z} &= 1\\ \end{array}$$ D’où : $$\boxed{~~\abs{Z}=1~~}$$
D’autre part, d’après le calcul précédent : $$Z=\dfrac{3+4\i}{-4+3\i}=\dfrac{3+4\i}{\i^24+3\i}$ $=\dfrac{3+4\i}{\i(3+4)\i}$ $=\dfrac{1}{\i} = -\i$$
Or, $\arg(-\i)=-\dfrac{\pi}{2}$. D’où : $$\boxed{~~\arg(Z)=-\dfrac{\pi}{2}~~}$$

2°) D’après la question précédente, on a d’une part :
$\abs{Z}=1$, donc $\dfrac{AC}{AB}=1$ et par suite $AB=AC$. Ce qui signifie que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
Et d’autre part, $\arg(Z)=-\dfrac{\pi}{2}$. Ce qui donne :
$$\Longleftrightarrow (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=-\dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$$ Ce qui signifie que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux. Donc, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Conclusion. Le triangle $ABC$ est isocèle-rectangle en $A$.
CQFD.$\blacktriangle$

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