Théorème des valeurs intermédiaires


1. Énonce du T.V.I.

Théorème 4. (T.V.I.) 
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $[a,b]$. Alors pour tout nombre réel $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$, il existe au moins un réel $c\in[a;b]$ tel que $f (c) = k$.

On dit que toutes les valeurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f (b)$ sont atteintes au moins une fois par la fonction $f$.

Remarque
On n’a pas parlé de l’intervalle $[f(a);f(b)]$, ni de $[f(b);f (a)]$ car, pour l’instant, on ne sait pas a priori, laquelle des deux valeurs est plus grande que l’autre.

Illustration graphique

Fig. 1.


Dans notre cas de figure, selon la position de $k$ dans l’intervalle $[f(a);f (b)]$, il existe une, deux ou trois valeurs de $c\in[a;b]$ telles que $f(c) = k$.

Par conséquent, dans ce cas général, il existe au moins un réel $c\in[a;b]$ tel que $f (c) = k$.


2. T.V.I. appliqué aux fonctions monotones

Définition.
Un corollaire est une conséquence directe et immédiate du théorème précédent.

En général, c’est une version du théorème dans un cas particulier. Par exemple, le corollaire suivant est l’application directe du T.V.I. appliqué aux fonctions strictement monotones sur un intervalle $I$.

Corollaire n°1. (T.V.I. appliqué aux fonctions strictement monotones)
Soit $f$ une fonction définie, continue et strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur un intervalle $[a,b]$. Alors pour tout nombre réel $k\in[f(a);f(b)]$ (resp. $k\in[f(b);f(a)]$), il existe un unique réel $c\in[a;b]$ tel que $f(c) = k$.

On dit que toutes les valeurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f(b)$ sont atteintes exactement une fois par la fonction $f$. On remarquera qu’ici on doit vérifier trois hypothèses : définie, continue et strictement monotone sur l’intervalle $[a;b]$.

Remarque 1.
« resp.» est une abréviation du mot « respectivement » dans les énoncés scientifiques et permet de faire deux ou plusieurs lectures d’un même énoncé.
Cet énoncé en contient deux. On fait une première lecture sans les (resp. …) pour les fonctions « strictement croissantes », puis on le relis pour les fonctions « strictement décroissantes ».

Remarque 2.
Ce corollaire ainsi que le précédent permettent de déterminer le nombre de solutions de l’équation « $f(x)=0$ » sur un intervalle $I$. Il suffit de partager l’intervalle $I$ en intervalles (tranches) de monotonie à partir d’une étude du sens de variation ou du tableau de variations de $f$ sur $I$.

Illustration graphique

$f$ définie, continue et strictement croissante, donc pour tout $k\in[f(a);f(b)]$; il existe un unique réel $c\in[a;b]$ tel que $f (c) = k$.
$f$ définie, continue et strictement décroissante, donc pour tout $k\in[f(a);f(b)]$; il existe un unique réel $c\in[a;b]$ tel que $f (c) = k$.

Corollaire n°2. (du T.V.I. avec $f(a)$ et $f(b)$ de signes contraires) 
Soit $f$ une fonction définie et continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$ et telle que $f(a)\times f(b)<0$ , il existe un unique réel $c\in[a;b]$ tel que $f(c) = 0$.

Ce corollaire est une conséquence immédiate du corollaire n°1. En effet, il suffit de prendre $k = 0$.

Dire que $f(a)\times f(b)<0$ signifie que « $f (a)$ et $f (b)$ sont de signes contraires », donc « $0$ est compris entre $f (a)$ et $f (b)$ ». Donc, $0$ est une valeur intermédiaire de $f$ sur $[a;b]$.

Remarque 3.
Ce corollaire ainsi que le précédent permettent de déterminer le nombre de solutions de l’équation « $f(x)=0$ » sur un intervalle $I$. Il suffit de partager l’intervalle $I$ en intervalles (tranches) de monotonie à partir d’une étude du sens de variation ou du tableau de variations de $f$ sur $I$.

Voir « Application du T.V.I. à la résolution d’équations ». Lien !!

3. Exercices résolus.

Exercice résolu n°1.

Corrigé.