Taux d’accroissement d’une fonction

Le taux d’accroissement d’une fonction entre deux points $A$ et $B$ de la courbe permet de calculer la dérivée de la fonction à partir de la définition. Nous allons donner deux formules pour calculer le taux d’accroissement d’une fonction entre deux points de la courbe.
La première formule de calcul du taux d’accroissement d’une fonction utilise le calcul du coefficient directeur de la droite passant par ces deux points.
La deuxième formule du taux d’accroissement d’une fonction permet de simplifier les calculs.

Maintenant, nous commençons par donner la méthode de calcul du coefficient directeur d’une droite.

1. Coefficient directeur d’une droite.

Définition 1.
Dans le plan muni d’un repère $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$, soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$.

$\bullet$ Si $x_A=x_B$, la droite $(AB)$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Donc, elle n’admet pas de coefficient directeur. On dit alors que le coefficient directeur est infini.
Le vecteur directeur d’une droite $(AB)$ parallèle à $(Oy)$ est $\vec{\jmath}$.

$\bullet$ Si $x_A\not=x_B$, la droite $(AB)$ n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Elle est oblique ou horizontale. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donné par: $$\boxed{\; m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\;}$$
$\Delta y$ = différence des $y$ = accroissement des $y$.
La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}$.

2. Taux d’accroissement d’une fonction (1ère version)

Définition 1.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et ${\mathcal C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$.
Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)\in{\mathcal C}_f$. $x_A\not=x_B$.
On appelle taux d’accroissement $\tau(x_A;x_B)$ de la fonction $f$ entre les points $x_A$ et $x_B$, le nombre réel : $$\begin{array}{c}
\boxed{\;\tau(x_A;x_B)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\;}\\
\boxed{\; \tau(x_A;x_B)=\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}\;}\end{array} $$

C’est le coefficient directeur de la droite $(AB)$ où $A(a ; f(a))$ et $B(b;f(b))$.
$\tau$ est la lettre greque « tau ». Ça tombe bien !

Dans ce contexte, $\Delta x$ peut se lire « accroissement » entre $x_A$ et $x_B$ ou « différence » entre $x_B$ et $x_A$.

Taux d'accroissement $\tau(a;b)$ de la fonction $f$ entre $a$ et $b$
Figure 1. Taux d’accroissement $\tau(a;b)$ de la fonction $f$ entre $a$ et $b$

3. Taux d’accroissement d’une fonction (2ème version)

Autre méthode. Si on pose $h=b-a$, alors $b=a+h$ et $\Delta x=h$. On obtient une deuxième version de cette définition :

Définition 2.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $a\in I$. Soit $h$ un nombre réel non nul, proche de zéro, tel que $a+h\in I$. Alors le taux d’accroissement de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$, est le nombre réel : $$\boxed{\;\tau(a;a+h)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\;}$$ C’est le coefficient directeur de la droite $(AM)$ où $A(a ;f(a))$ et $M(a+h ;f(a+h))$.

Taux d'accroissement entre $a$ et $a+h$
Figure 2. Taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$

Exemple 1.

Exercice résolu n°1.
Déterminer le taux d’accroissement de la fonction $f:x\mapsto x^2$, entre $1$ et $1+h$.

Le taux d’accroissement de la fonction $f:x\mapsto x^2$, entre $1$ et $1+h$ est donné par : $$\begin{array}{rl}
\tau(1,1+h)&=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\
&=\dfrac{(1+h)^2-1^2}{h}\\
&=\dfrac{1^2+2\times1\times h+h^2-a^2}{h}\\
&=\dfrac{2h+h^2}{h}\\
\color{brown}{\tau(1,1+h)} & \color{brown}{ =2+h}\\ \end{array}$$