Les suites arithmétiques jouent un rôle important en mathématiques comme modèles discrets d’évolutions absolues constantes (à croissance linéaire). D’autres part, ce sont des suites qui s’expriment sous une forme récurrente et sous une forme explicite, donc avec une fonction (affine) associée.

Sommaire

  1. La tirelire de Vincent
  2. Évolution de la population d’un village
  3. Consommation électrique d’une famille

1. La tirelire de Vincent

Exemple 1.
Le papa de Vincent lui offre 50 € le jour de son septième anniversaire un Lundi. Il lui verse 5 € à rajouter à sa tirelire à la fin de chaque semaine. On suppose que Vincent ne casse pas sa tirelire.
1°) Calculer le montant de la tirelire la fin de la première semaine. puis à la fin de la deuxième semaine.
2°) Modéliser la situation par une suite $(t_n)$. Autrement dit : donnez un modèle discret d’évolutions absolues constantes.
3°) Quelle est la nature de la suite $(t_n)$ ?
4°) Calculer $t_1$, $t_2$ et $t_{10}$.
5°) Quel est le montant de la tirelire au huitième anniversaire de Vincent ? Justifiez votre réponse.

Corrigé
1°) Calculer le montant de la tirelire la fin de la première et la deuxième semaines, puis à la fin de la deuxième semaine.
Vincent a reçu 50 € à son 7ème anniversaire, un lundi, puis 5€ en fin de première semaine. Donc, en fin de 1ère semaine, il a $50+5=55~$€.
La deuxième semaine, Vincent reçoit encore 5 €. Cela se rajoute au montant précédent. Donc en fin de 2ème semaine, il a $55+5=60~$€.

2°) Modéliser la situation par une suite $(t_n)$. Un modèle discret d’évolutions absolues constantes.
On appelle $t_n$ le montant dans la tirelire la $n$-ième semaine à partir de la date du 7ème anniversaire. On a alors, $t_0=50$ et pour tout entier $n$ : $$t_{n+1}=t_n+5$$ 3°) Quelle est la nature de la suite $(t_n)$ ?
La formule donnée ci-dessus montre que la suite $(t_n)$ est une suite récurrente et arithmétique.

4°) Calculer $t_1$, $t_2$ et $t_{10}$.
On utilise alors la forme explicite pour calculer les termes de la suite $(t_n)$.
Pour tout entier $n$ : $$\begin{array}{l}t_n=t_0+nr\\ t_n=50+n\times5\\ t_n=50+5n\\ $$
Par conséquent :
$t_1=50+1\times5=55~$€.
$t_2=50+2\times5=60~$€.
$t_{10}=50+10\times5=50+50=100~$€.

5°) Quel est le montant de la tirelire au huitième anniversaire de Vincent ? Justifiez votre réponse.
Une année = 52 semaines. et $t_{52}=50+52\times5=50+260=310~$€.
Par conséquent, au huitième anniversaire, Vincent aura économisé 310 € en un an.

CQFD.$\blacktriangle$

2. Évolution de la population d’un village

Exemple 2.
Le village Saint Chéron, il ne reste plus que 15 familles en 2000. Pour éviter la fermeture de l’école et redynamiser le village, la municipalité a décidé en 2000, de réhabiliter des logements et accueillir dix nouvelles familles chaque année.
1°) Calculer le nombre de familles que compte le village en 2001 puis en 2002.
2°) Modéliser la situation par une suite $(f_n)$. Autrement dit : donnez un modèle discret d’évolutions absolues constantes.
3°) Quelle est la nature de la suite $(f_n)$ ?
4°) Calculer $f_1$, $f_2$ et $f_{10}$.
5°) On suppose que la tendance continue. Calculer le nombre de familles que compte le village en 2023. Justifiez votre réponse.

Corrigé
1°) Calculer le nombre de familles que compte le village en 2001 puis en 2002.
Le village compte 15 familles en 2000. En 2001, le village accueille 10 nouvelles familles. Donc, en 2001, le village compte $15+10=25$ familles.
En 2002, le village compte $25+10=35$ familles.

2°) Modéliser la situation par une suite $(f_n)$. Un modèle discret d’évolutions absolues constantes.
Pour tout entier $n$, on appelle $f_n$ le nombre de familles que compte le village en 2000+$n$. On a alors : $f_0=15$ et pour tout entier $n$ : $$f_{n+1}=f_n+10$$
3°) Quelle est la nature de la suite $(f_n)$ ?
La formule donnée ci-dessus montre que la suite $(f_n)$ est une suite récurrente et arithmétique.

4°) Calculer $f_1$, $f_2$ et $f_{10}$.
On utilise alors la forme explicite pour calculer les termes de la suite $(f_n)$.
Pour tout entier $n$ : $$\begin{array}{l}f_n=f_0+nr\\ f_n=15+n\times10\\ f_n=15+10n\\ $$ Par conséquent :
$f_1=15+1\times10=25$.
$f_2=15+2\times10=35$.
$f_{10}=15+10\times10=15+100=115$.

5°) On suppose que la tendance continue. Calculer le nombre de familles que compte le village en 2023. Justifiez votre réponse.
$2023=2000+23$. Donc, si la tendance continue, Le nombre de familles est donné par $f_{23}$. On a alors :
$f_{23}=15+23\times10=15+230= 245$ familles.
CQFD.$\blacktriangle$

3. Consommation électrique d’une famille

La consommation électrique des particuliers obéit à une facturation suivant la puissance du compteur électrique de l’habitation. Le kVA = kilovoltampère, est l’unité de mesure utilisée pour exprimer la puissance d’un compteur électrique.

Base 03kVA (Escaliers de services), Base 06kVA (Appartements F3-F4) ou Base 09kVA (Maison individuelle moyenne).
Nous proposons d’effectuer les calculs pour des habitations de taille moyenne qui sont pour la plupart dotées d’une puissance compteur de 6 kVA.
Abonnement mensuel : 12,44 €TTC et Prix de la consommation électrique : 0,1582 €/Kwh

Exemple 2.
La consommation électrique des particuliers obéit à une facturation suivant la puissance du compteur électrique de l’habitation. Base 06kVA. Abonnement 12,44 €TTC. Consommation
1°) Calculer le montant d’une facture pour une consommation de 10 Kwh puis pour 100 Kwh.
2°) Modéliser la situation par une suite $(c_n)$. Autrement dit : donnez un modèle discret d’évolutions absolues constantes suivant la consommation électrique.
3°) Quelle est la nature de la suite $(c_n)$ ?
4°) Calculer $c_{10}$, $c_{100}$ et $c_{250}$.
5°) On suppose que les tarifs ne changent pas. Calculer le montant de la facture d’une famille pour une consommation de 675 Kwh.

Corrigé
1°) Calculer le montant d’une facture pour une consommation de 10 kwh puis pour 100 kwh.
Le montant de la facture $F$ pour 10 kwh, se décompose comme suit :
$F=$ Abonnement + la consommation.
$F=12,44+10\times 0,1582 = 12,44+1,582=14,022~$€.
Le montant de la facture $F$ pour 100 Kwh, se décompose comme suit :
$F’=$ Abonnement + la consommation.
$F’=12,44+100\times 0,1582 = 12,44+15,82=28,26~$€.

2°) Modéliser la situation par une suite $(c_n)$. Un modèle discret d’évolutions absolues constantes.
On appelle $c_n$ le montant de la facture pour une consommation de $n~$Kwh. On a alors, $c_0=12,44$ et pour tout entier $n$ : $$c_{n+1}=c_n+0,1582$$
3°) Quelle est la nature de la suite $(c_n)$ ?
La formule donnée ci-dessus montre que la suite $(c_n)$ est une suite récurrente et arithmétique.

4°) Calculer $c_{10}$, $c_{100}$ et $c_{250}$.

On utilise alors la forme explicite pour calculer les termes de la suite $(c_n)$.
Pour tout entier $n$ : $$\begin{array}{l}c_n=c_0+nr\\ c_n=12,44+n\times0,1582\\ c_n=12,44+0,1582\times n\\ $$
Par conséquent :
$c_{10}=12,44+10\times 0,1582=12,44+1,582=14,022~$€.
$c_{100}=12,44+100\times 0,1582 = 12,44+15,82=28,26~$€.
$c_{250}=12,44+250\times 0,1582 = 12,44+39,55=51,99~$€.

5°) On suppose que les tarifs ne changent pas. Calculer le montant de la facture d’une famille pour une consommation de 675 Kwh.
$c_{675}=12,44+675\times 0,1582 = 12,44+106,785=119,23~$€.
CQFD.$\blacktriangle$