Nous présentons ici des exercices résolus sur les suites arithmétiques en utilisant la forme explicite, la forme récurrente et la fonction affine associée.

1. Exercices d’application du cours

Exercice résolu 1.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0=8$ et telle que $u_1=5.5$.
1°) Calculer la raison $r$ de la suite $(u_n)$.
2°) Calculer le onzième terme de la suite $(u_{n})$.

Corrigé.
1°) La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0=8$ et de raison $r$. Donc, pour tout entier $n$ : $u_n=u_0+nr$. En particulier : $u_1=u_0+1\times r$. Donc : $$5,5=8+1\times r$$ Par conséquent : $r=5,5-8$. D’où : $$\boxed{\;r=-2,5\;}$$
2°) Maintenant qu’on connaît $u_0$ et $r$, on utilise la formule explicite pour calculer le onzième terme.
La suite commence au rang $0$. Donc, le onzième terme de la suite est $u_{10}$.
$u_{10}=u_0+10\times r$ Donc : $u_{10}=8+10\times (-2,5)=8-25=-17$.
Conclusion. Le onzième terme est : $\color{brown}{\boxed{\;u_{10}=-17\;}}$
CQFD.$\blacktriangle$

Exercice résolu 2.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et telle que $u_5=10$ et $u_8=4$
1°) Calculer la raison $r$ de la suite $(u_n)$.
2°) Calculer le premier terme de la suite $(u_{0})$.
3°) Calculer le terme $(u_{15})$.

Corrigé.
1°) La suite $(u_n)$ est arithmétique avec : $u_5=10$ et $u_8=4$.
Or entre $u_5$ et $u_8$, il y a $8-5=3$ pas. Donc : $$u_8-u_5=(8-5)\times r$$ Donc : $3\times r= 4-10$. Et par conséquent $3r=-6$. Doù : $$\boxed{\;r=-2\;}$$

2°) Calcul de $u_0$.
On sait que $u_5=u_0+5\times r$. Donc $5\times(-2)+u_0=10$ . D’où : $$\boxed{\;u_0=20\;}$$

3°) Maintenant qu’on connaît $u_0=20$ et $r=-2$, on utilise la formule explicite pour calculer le terme $(u_{15})$.
$u_{15}=u_0+15\times r$ Donc : $u_{15}=20+15\times (-2)=20-30=-10$.
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;u_{15}=-10\;}}$
CQFD.$\blacktriangle$

Exercice résolu 3.
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par : $u_n=4n-3$
Déterminer la nature de la suite $(u_n)$ et donner ses éléments caractéristiques.

Corrigé.
Déterminer la nature de la suite $(u_n)$, signifie voir si elle est arithmétique, géométrique, explicite, récurrente,…
Si elle est arithmétique, trouver sa raison $r$ et son premier terme $u_0$.

Recherche de la raison $r$.
Pour cela, pour tout entier $n$, calculons $u_{n+1}-u_n$ :
$u_{n+1}-u_n=4(n+1)-3-[4n-3]=4n{\color{brown}{\!\!\!\! /}}+4-3{\color{blue}{\!\!\! /}}-4n{\color{brown}{\!\!\!\! /}}+3{\color{blue}{\!\!\! /}}={\color{brown}{4}}$.
Par conséquent : $u_{n+1}-u_n=4=$Constante, pour tout entier $n$.

Recherche du premier terme $u_0$.
$u_0=u(0)=4\times0-3 = {\color{brown}{-3}}$
Conclusion. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=4$ et son premier terme $u_0=-3$.
CQFD.$\blacktriangle$