Les suites arithmétiques jouent un rôle important en mathématiques comme modèles discrets d’évolutions absolues constantes (croissance linéaire). D’autres part, ce sont des suites qui s’expriment sous une forme récurrente et sous une forme explicite, donc avec une fonction (affine) associée.

Sommaire

  1. Suites arithmétiques définies par récurrence. Exemple.
  2. Comment démontrer qu’une suite est arithmétique ? Exemple.
  3. Définition explicite d’une suite arithmétique. Exemple.
  4. Suites arithmétiques et fonction affine associée. Exemple.

1. Suites arithmétiques définies par récurrence

Définition 1.
Soit $r$ un nombre réel donné. On dit qu’une suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, lorsqu’on donne un premier terme $u_0$ et chaque terme s’obtient en ajoutant r au terme précédent.
Autrement dit : la suite $(u_n)$ est définie pour tout entier $n\geqslant0$ par : $$\left\{\begin{array}{l} u_0\in\R\text{ est donné}\\ u_{n+1}=u_n+r\\ \end{array}\right.$$ $u_n$ s’appelle le terme général de la suite.
La raison $r$ peut être assimilée à un pas constant d’un terme au terme suivant.

Illustration : $$u_0\, {\color{brown}{—\boxed{+r}\!\!\rightarrow}} u_1\,{\color{brown}{—\boxed{+r}\!\!\rightarrow}} u_2\, {\color{brown}{—\boxed{+r}\!\!\rightarrow}} u_3\cdots u_n\, {\color{brown}{—\boxed{+r}\!\!\rightarrow}} u_{n+1}$$ Si la suite commence au rang $1$, on commence à partir de $u_1$.

Exemple 1.
1°) Déterminer la nature de la suite définie pour tout entier $n\geqslant0$ par $$\left\{ \begin{array}{l}u_0=2 ; \\ u_{n+1}=u_n+0,5\\ \end{array}\right.$$ 2°) Calculer les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$.

Corrigé
1°) Par définition, la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=0,5$ et de premier terme $u_0=2$.

2°) Le premier terme est donné : $\color{brown}{\boxed{\;u_0=2\;}}$. Calculons les 3 termes suivants :
2ème terme : $u_1=u_0+r = 2+0,5=2,5$. Donc $\color{brown}{\boxed{\;u_1=2,5\;}}$
3ème terme : $u_2=u_1+r = 2,5+0,5=3$. Donc $\color{brown}{\boxed{\;u_2=3\;}}$
4ème terme : $u_3=u_2+r = 3+0,5=3,5$. Donc $\color{brown}{\boxed{\;u_3=3,5\;}}$
CQFD.$\blacktriangle$

2. Comment démontrer qu’une suite est arithmétique ?

Propriété 1.
Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de calculer et de montrer que pour tout entier $n$, la différence $r=u_{n+1} – u_n$ est égale à une constante (indépendante de $n$). Cette constante $r$ est la raison de la suite arithmétique.

Exercice 2.
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par : $u_n=2n+3$
1°) Démontrer que la suite $(u_n)$ est arithmétique
2°) Déterminer ses éléments caractéristiques.

Corrigé.
Les éléments caractéristiques d’une suite arithmétique sont la raison $r$ et le premier terme $u_0$.

1°) Montrons que la suite $(u_n)$ est arithmétique.
Pour cela, pour tout entier $n$, calculons $u_{n+1}-u_n$ :
$u_{n+1}-u_n=2(n+1)+3-[2n+3]=2n{\color{brown}{\!\!\!\! /}}+2+3{\color{blue}{\!\!\! /}}-2n{\color{brown}{\!\!\!\! /}}-3{\color{blue}{\!\!\! /}}={\color{brown}{2}}$.
Par conséquent : $u_{n+1}-u_n=2=$Constante, pour tout entier $n$.
Conclusion. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=2$.

2°) Recherche du premier terme $u_0$.
$u_0=u(0)=2\times0+3 = {\color{brown}{3}}$
Conclusion. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=2$ et son premier terme $u_0=3$.
CQFD.$\blacktriangle$

3. Définition explicite d’une suite arithmétique

Théorème 1.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.
$\bullet$ Si le premier terme est $u_0$, alors le terme général $u_n$ de la suite est donné par pour tout entier $n\geqslant0$ : $$\boxed{\;u_{n}=u_0+nr \;}$$
$\bullet$ Si le premier terme est $u_1$, alors le terme général $u_n$ de la suite est donné par pour tout entier $n\geqslant1$ : $$\boxed{\;u_{n}=u_1+(n-1)r \;}$$
$\bullet$ Si le premier terme est $u_2$, alors le terme général $u_n$ de la suite est donné par pour tout entier $n\geqslant2$ : $$\boxed{\;u_{n}=u_2+(n-2)r \;}$$ Et ainsi de suite.

Avec l’expression explicite de la suite arithmétique, on peut calculer le terme de n’importe quel rang $n$.

Exemple 3.
1°) On considère la suite définie par $$\left\{ \begin{array}{l}u_0=2 ; \text{ et pour tout entier }n\geqslant0 :\\ u_{n+1}=u_n+0,5\\ \end{array}\right.$$ 2°) Calculer $u_{10}$ et $u_{50}$.

Corrigé
Cette suite $(u_n)$ commence au rang $0$. On utilise donc la formule $u_{n}=u_0+nr$. Donc :
$u_{10}=u_0+10\times r = 2 +10 \times 0,5 = 7$. Donc $\color{brown}{\boxed{\;u_{10}=7\;}}$
$u_{50}=u_0+50\times r = 2 +50 \times 0,5 = 27$. Donc $\color{brown}{\boxed{\;u_{50}=27\;}}$.
Des résultats qu’on aurait pas trouvé aussi rapidement avec la forme récurrente.
CQFD.$\blacktriangle$

4. Suites arithmétiques et fonction affine associée

Définition 2.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$. L’expression explicite de la suite est donnée pour tout entier $n$ par : $$u_n=u_0+nr$$
Donc la fonction affine est la fonction affine $f$ définie pour tout réel $x$ par : $$\boxed{\;f(x)=mx+p\quad\text{avec}~m=r~\text{et}~p=u_0\;}$$ La raison $r$ de la suite correspond au coefficient linéaire de la fonction affine et le premier terme de la suite correspond terme constant de la fonction affine.
C’est pratique

Exemple 4.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=-2$ et de premier terme $u_0=5$.
1°) Déterminer la fonction affine $f$ associée à la suite arithmétique $(u_n)$.
2°) Donner l’expression explicite de la suite $(u_n)$.
3°) Calculer le terme $(u_{8})$.
4°) Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Corrigé
1°) Déterminer la fonction affine $f$ associée à la suite $(u_n)$
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-2$ et de premier terme $u_0=5$.
Donc, pour tour $x\in\R$ : $f(x) =rx+u_0$. Et par suite : $$\color{brown}{\boxed{\; f(x)=-2x+5}}$$
2°) L’expression explicite de la suite $(u_n)$
Pour tout entier $n$, on a : $$\color{brown}{\boxed{\; u_n=-2n+5}}$$
3°) Calculer le terme $(u_{8})$.
$u_{8}=-2\times 8 +5= -16+5= -11$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\;u_{8}=-11\;}}$$
4°) Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$
1ère méthode :
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-2$ et $-2<0$. Donc, la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
2ème méthode :
Le coefficient directeur de la fonction $f$ associée à la suite arithmétique est négatif. Donc la fonction associée est strictement décroissante, donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
CQFD.$\blacktriangle$