1. Suites minorées, majorées et suites bornées

Pour étudier les variations d’une suite, il est nécessaire de savoir si c’est une suite est minorée, majorée et une suite bornée.

Définitions 1.
1°) Une suite numérique $(u_n)$ est dite minorée si, et seulement si, il existe un nombre réel $m$ inférieur à tous les termes de la suite. Autrement dit : il existe $m\in\R$ tel que pour tout entier $n\in\N$ : $$\boxed{\;m\leqslant u_n\;}$$
Le nombre $m$ s’appelle un minorant de la suite $(u_n)$.

Exemple 1.
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in\N$ par : $u_n=n+1$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est minorée par $1$.

En effet,
Pour tout $n\in\N$ : $n\geqslant0$. Donc en ajoutant 1 aux deux termes, on obtient : pour tout $n\in\N$ : $n+1\geqslant0+1$. Donc : $n+1\geqslant1$.
Par conséquent : pour tout $n\in\N$ : $u_n\geqslant1$.
Conclusion. La suite $(u_n)$ est minorée par $1$. CQFD.$\blacktriangle$

Définition 2.
Une suite numérique $(u_n)$ est dite majorée si, et seulement si, il existe un nombre réel $M$ supérieur à tous les termes de la suite. Autrement dit : il existe $m\in\R$ tel que pour tout entier $n\in\N$ : $$\boxed{\;u_n\leqslant M\;}$$
Le nombre $M$ s’appelle un majorant de la suite $(u_n)$.

Exemple 2.
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout $n\in\N$ par : $v_n=\dfrac{1}{n+1}$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est majorée par $1$.

En effet,
Pour tout $n\in\N$ : $n\geqslant0$. Donc en ajoutant 1 aux deux termes, on obtient : pour tout $n\in\N$ : $n+1\leqslant0+1$. Or, les inverses de deux nombres strictement positifs sont rangés dans le sens contraire. Donc : $\dfrac{1}{n+1}\leqslant\dfrac{1}{1}$.
Par conséquent : pour tout $n\in\N$ : $v_n\geqslant1$.
Conclusion. La suite $(v_n)$ est majorée par $1$. CQFD.$\blacktriangle$

Remarques
1°) Si $m$ est un minorant de la suite $(u_n)$, alors tout nombre réel inférieur à $m$ est encore un minorant de la suite $(u_n)$.
2°) Si $M$ est un majorant de la suite $(u_n)$, alors tout nombre réel supérieur à $M$ est encore un majorant de la suite $(u_n)$.

Définitions 3.
1°) Une suite numérique $(u_n)$ est dite bornée si, et seulement si elle est à la fois minorée et majorée.
Autrement dit : il existe deux nombres réels $m$ et $M$ tels que pour tout entier $n\in\N$ : $$\boxed{\;m\leqslant u_n\leqslant M\;}$$

Exemple 3.
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout $n\in\N$ par : $v_n=\dfrac{1}{n+1}$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est bornée.

En effet,
Pour tout $n\in\N$ : $n\geqslant0$. Donc en ajoutant 1 aux deux termes, on obtient : pour tout $n\in\N$ : $n+1\geqslant0+1$. Or, les inverses de deux nombres strictement positifs sont rangés dans le sens contraire. Donc : $\dfrac{1}{n+1}\leqslant1$.
Or, pour tout $n\in\N$ $\dfrac{1}{n+1}>0$. Donc $0<\dfrac{1}{n+1}\leqslant 1$.
Par conséquent : pour tout $n\in\N$ : $0<v_n\geqslant1$.
Conclusion. La suite $(v_n)$ est majorée par $1$. CQFD.$\blacktriangle$

3. Exercices résolus

Exercice 1.
Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_n=\dfrac{2n-3}{n+1}$.
Déterminer si le sens $(u_n) $ est minorée, majorée ou bornée.

Corrigé.
Nous allons transformer l’expression de la suite $(u_n)$. Pour tout $n\in\N$, on peut écrire : $u_n=\dfrac{2\times(n+1)-5}{n+1}=2+\dfrac{-5}{n+1}$. Donc : $$u_n=2-\dfrac{5}{n+1}$$
$n\geqslant0$. Donc en ajoutant 1 aux deux termes, on obtient : pour tout $n\in\N$ : $n+1\geqslant0+1$. Or, les inverses de deux nombres strictement positifs sont rangés dans le sens contraire. Donc : $\dfrac{1}{n+1}\leqslant1$.
Or, pour tout $n\in\N$ : $\dfrac{1}{n+1}>0$. Donc $0<\dfrac{1}{n+1}\leqslant 1$.
En multipliant les trois membres par $(-5)$ on change le sens des inégalités et on obtient des nombres négatifs.
$$-5\leqslant \dfrac{-5}{n+1}<0$$
Par suite, on ajoute $2$ aux trois membres et on obtient : $$-3\leqslant 2-\dfrac{5}{n+1}<2$$ Par conséquent : pour tout $n\in\N$ : $-3<u_n\leqslant2$.
Conclusion. La suite $(u_n)$ est minorée par $-3$ et majorée par $2$. Donc, la suite $(u_n)$ est bornée.
CQFD.$\blacktriangle$