Comment générer une suite de nombres aléatoires entiers ou réels dans un intervalle $I=[a;b]$

1. Génération de nombres aléatoires

« Aléatoire » signifie lié au hasard, imprévisible. un nombre est aléatoire s’il est choisi d’une manière arbitraire dans un ensemble de valeurs. Par exemple, si on lance un dé cubique parfaitement équilibré à 6 faces numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6, toutes les faces ont exactement la même chance d’apparaître donc la même probabilité égale à $\dfrac{1}{6}$.

On peut aussi « choisir » au hasard un nombre aléatoire $x$ compris entre deux valeurs $a$ et $b$, donc les valeurs obtenues appartiennent toutes à l’intervalle $I=[a;b]$. La probabilité d’obtenir un nombre précis est égale à $0$. Par contre la probabilité que ce nombre soit compris entre les valeurs $c$ et $d$ ($a<c<d<b$) est proportionnelle à la longueur de ce sous-intervalle $[c,d]$ : $$P(c<x<d)=\dfrac{d-c}{b-a}=\dfrac{1}{b-a}\times (d-c) = k\times(d-c).$$

2. Suites de nombres aléatoires

Définition 1.
Une suite $(u_n)$ est dite une suite de nombres aléatoires pris dans un intervalle $I$ lorsque pour tout entier $n$, le terme $u_n$ est un nombre aléatoire appartenant à cet intervalle $I$.

Remarques
Par définition d’une suite de nombres aléatoires $(u_n)$, il n’existe aucune formule explicite ou récurrente qui permettrait de générer cette suite $(u_n)$.

3. Exemples

Exemple 1.
Si on lance plusieurs fois de suite un dé cubique parfaitement équilibré, à 6 faces numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6, nous obtenons une suite de nombres aléatoires entiers prenant les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Donner une méthode qui permet de générer une suite de nombres aléatoires entiers compris entre 1 et 6.

  1. Donner une méthode qui permet de générer une suite de nombres aléatoires entiers compris entre 1 et 6.
  2. Donner une méthode qui permet de générer une suite de nombres aléatoires réels compris entre $0$ et $1$.
  3. Soient $a$ $b$ deux nombres réels tels que $a<b$.
    Donner une méthode qui permet de générer une suite de nombres aléatoires entiers compris entre $a$ et $b$.

1°) A laide de la fonction ALEA.ENTRE.BORNES() sur un tableur on peut générer des valeurs entières comprises entre deux entiers donnés. Par exemple, la formule $\boxed{\;\text{=ALEA.ENTRE.BORNES}(1,6)\;}$ donne une simulation de lancers consécutifs d’un dé cubique parfaitement équilibré à 6 faces et génère une suite de nombres aléatoires entiers compris entre $1$ et $6$. $$u_n=\text{ALEA.ENTRE.BORNES}(1,6)$$

2°) Sur un tableur, la fonction ALEA() donne un nombre aléatoire compris entre $0$ et $1$. Par conséquent, on peut générer une suite de nombres aléatoires compris entre $0$ et $1$. $$u_n=\text{ALEA()$$
Avec la fonction ALEA(), on peut reconstruire la fonction ALEA.ENTRE.BORNES(1,6)
$$\boxed{\;\text{=ENT(6*ALEA()+1)}\;}$$
$0< \text{ALEA()} < 1$. Donc : $0< \text{6*ALEA()} < 6$. Donc $1< \text{ALEA()}+1 < 7$. Et par conséquent $1\leq ENT(6*ALEA()+1)\leq 6$, où ENT désigne la fonction PARTIE ENTIERE.

3°) Soient $a$ $b$ deux nombres réels tels que $a<b$.
$0< \text{ALEA()} < 1$. Donc : $(b-a)\times0< (b-a)\times\text{6*ALEA()} < (b-a)\times1$. Donc $0< (b-a)\times\text{ALEA()} <(b-a)$. Et par conséquent $a<a+(b-a)\times\text{ALEA()}<a+(b-a)$. Et par conséquent, nous obtenons : $$a<a+(b-a)\times\text{ALEA()}<b$$
Par cette méthode, nous pouvons générer une suite de nombres aléatoires réels compris strictement entre $a$ et $b$, donc appartenant à l’intervalle $I=]a;b[$