Il est fondamental en mathématiques de distinguer le statut d’une égalité et le rôle des lettres qui apparaissent dans cette égalité. Cette notion touche à la didactique des mathématiques et à la distinction entre plusieurs usages des symboles et des lettres dans les égalités et les équations.
1. Statut des égalités
Une égalité $A=B$ peut être de plusieurs natures :
a) Identité :
L’égalité est vraie pour toutes les valeurs possibles de la ou des lettres.
Exemple.
« $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ » est une identité (remarquable), car elle est toujours vérifiée quels que soient les valeurs de $a$ et de $b$.
b) Équation :
L’égalité est vraie seulement pour certaines valeurs particulières de la lettre inconnue $x$ utilisée.
Exemple.
$2x+5=7$ est une équation qui n’est vraie ici que pour une seule valeur $x=1$.
c) Équation avec paramètre :
Une lettre $m$ considérée comme fixée mais arbitraire dans un calcul. La lettre $m$ joue le rôle de paramètre. Pour chaque valeur du paramètre $m$, l’égalité correspond à une équation d’inconnue $x$. L’égalité désigne alors une famille d’équations suivant le paramètre $m$. Elle est vraie pour certaines valeurs particulières de la lettre inconnue $x$, en fonction du paramètre $m$.
Exemple.
Pour tout $m\in\R$, on considère l’équation de paramètre $m$ : $$mx^2+(m+2)x+1=0$$
Cette égalité désigne une (infinité d’) équation.s du second degré si $m\not=0$, et une seule équation du 1er degré si $m=0$.
d) Définition fonctionnelle (ou loi de correspondance) :
Par exemple, dans l’égalité : $y=5x+7$, « à chaque valeur de $x$, on associe une valeur de $y$ obtenue par la formule $y=5x+7$ ». Cette égalité définit une fonction $f:\mapsto y=f(x)=5x+7$. Elle permet de calculer la valeur de $y$ (image de $x$) à partir de la donnée de la valeur de $x$. C’est une définition fonctionnelle.
Les lettres $x$ et $y$ sont des variables, $x$ est une variable libre, $y$ une variable dépendante, qui se calcule à partir de la valeur de $x$.
Remarque
On utilise souvent la notation « := » pour désigner une égalité de « Définition ».
🔹2. Statut des lettres
Propriété 1.
Les lettres utilisées peuvent jouer plusieurs rôles selon le contexte :
a) Variable : Une lettre qui peut prendre librement différentes valeurs dans un ensemble de définition, est une variable.
b) Inconnue : Une lettre dont on cherche la valeur qui satisfait une équation est une inconnue.
c) Paramètre : Une lettre considérée comme fixée mais arbitraire dans un calcul, est un paramètre.
3. Exemples
1°) Dans l’expression de la fonction carrée définie par : $f(x)=x^2$, la lettre $x$ est une variable. L’égalité est une définition fonctionnelle.
2°) Dans l’égalité : $3x−5=1$, la lettre $x$ est une inconnue. L’égalité est une équation.
3°) Dans l’égalité : $y=ax+b$, $a$ et $b$ sont des paramètres. On les fixe pour définir l’équation d’une droite particulière. Cette égalité est une définition fonctionnelle, avec deux variables $x$ et $y$. Ici, $x$ est une variable libre, $y$ une variable dépendante (qui se calcule à partir de la valeur de $x$) et $a$ et $b$ sont des paramètres. Autrement dit : « à chaque valeur de $x$, on associe une valeur de $y$ obtenue par la formule $y=ax+b$.
Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Déterminer le statut de l’égalité et des lettres dans chacune des égalités suivantes :
1°) $(E_1)$ : $(x-2)(x+2)=x^2-4$
2°) $(E_2)$ : $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
3°) $(E_3)$ : $y=3x^2-4x+1$.
Exercice résolu n°2.
Déterminer le statut de l’égalité et des lettres dans chacune des égalités suivantes :
1°) $(E_1)$ : $(x-y)(x+y)=x^2-y^2+4$
2°) $(E_2)$ : $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$.