Pré-requis :
$\bullet$ Expérience aléatoire. Issues. Événements
$\bullet$ Des statistiques aux probabilités. Loi des grands nombres.
1. Situation d’équiprobabilité
Définition 1.
Dans une expérience aléatoire, si tous les événements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés, on dit qu’on est dans une situation d’équiprobabilité ou que l’expérience aléatoire est équiprobable.
Exemple 1.
Lancer d’un dé à 6 faces parfaitement équilibré. On peut supposer donc que les six faces ont exactement la même chance d’apparaître. Donc, on est bien dans une situation d’équiprobabilité. Donc, pour tout $\omega\in\Omega$ : $$P(\omega) =\dfrac{1}{6}$$
Définition 2.
Si $A$ est un ensemble fini, on appelle cardinal de $A$, et on note $\text{Card(A)}$, le nombre d’éléments dans $A$.
Exemple 2.
Si $A$ désigne l’ensemble des nombres entiers pairs compris entre 1 et 12 (exclus),
alors $A=\{2;4;6;8;10\}$ et $\text{Card(A)}=5$, puisque $A$ contient exactement $5$ éléments.
Théorème 1.
On considère une expérience aléatoire sur un univers $\Omega$ ayant exactement $n$ événements élémentaires. Si on est en situation d’équiprobabilité, alors :
1°) La probabilité de chaque événement élémentaire est égale à $\dfrac{1}{n}$ ;
2°) La probabilité d’un événement quelconque $A$ est donnée par la formule : $$P(A) =\dfrac{\textit{Nombre d’issues favorables}}{\textit{Nombre d’issues possibles}}$$ ou encore $$\boxed{~P(A)=\dfrac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}=\dfrac{k}{n}~}$$ où $k=\text{Card}(A)$ désigne le nombre d’éléments dans $A$.
3. Calculs et loi de probabilités
Définition 4.
Pour définir les probabilités des événements associés à une expérience aléatoire, on
définit les probabilités de tous les événements élémentaires. On dit qu’on a donné la
loi de probabilité de cette expérience.
La loi de probabilité d’une expérience aléatoire est souvent présentée dans un tableau.
Exemple 4.
La loi de probabilité du lancer d’un dé parfaitement équilibré est donnée par : pour tout $\omega\in\Omega$ $P(\omega)=\dfrac{1}{6}\simeq0,16666\ldots$.
On peut aussi écrire la loi de probabilité dans un tableau comme suit :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Issues }\omega& 1& 2& 3& 4& 5& 6& \text{Total}\\ \hline
P({ω}) & \dfrac{1}{6}& \dfrac{1}{6}& \dfrac{1}{6}& \dfrac{1}{6}& \dfrac{1}{6}& \dfrac{1}{6}& 1\\ \hline
\end{array}$$
4. Exercices résolus
Exercice résolu 1.
Dans un tableur, refaire la simulation de 1000 lancers d’un dé parfaitement équilibré.
Exercice résolu 2.
Un dé à 6 faces est truqué de telle façon que la probabilité de chaque face est proportionnelle au numéro de la face. On lance le dé truqué et on note le numéro de la face supérieure.
1°) Donner la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
2°) Calculer la probabilité de l’événement $A$ = « le résultat est pair »
Exercice résolu 3.
Tirage d’une carte dans un jeu de 52 cartes (pas de joker).
1°) On considère l’événement $A$ = « la carte tirée est un As ». Calculer $P(A)$.
2°) On considère l’événement $T$ = « la carte tirée est une Trèfle ». Calculer $P(T)$.
3°) On considère l’événement $E$ = « la carte tirée est une Trèfle ou un Roi ». Calculer $P(E)$.
