Si on lance un dé un certain nombre de fois (par exemple $10$ fois, $100$ fois ou $1000$ fois), même s’il est « parfaitement équilibré », nous sommes sûrs que chaque face n’aura pas « exactement » 1 chance sur 6 d’apparaître ! Cela serait possible si le nombre de lancers est un multiple de $6$.
C’est pourquoi, nous parlons de « probabilité théorique » car, dans la pratique, les réalisations sont « aléatoires » donc imprévisibles. Mais le théorème de la loi des grands nombres, nous affirme que, si on recommence un très grand nombre de fois, nous nous approchons de cette probabilité théorique,…

3. Simulation de lancers d’un dé parfaitement équilibré.

Nous avons vu que, pour tout $\omega\in\Omega$, la probabilité théorique de chaque événement élémentaire est : $$\boxed{~~P({\omega}) =\dfrac{1}{6}\simeq 0,16666\ldots~~}$$
A l’aide d’un tableur, nous réalisons cette simulation en utilisant les fonctions ALEA.ENTRE.BORNES(- ; -) ou ALEA(), ENT(.) et NB.SI(- 😉.

Méthode

1ère étape : sélectionner une plage de 100 cellules

Ouvrir un tableur EXCEL ou Libre Office CALC ou Open Office CALC :
Entrer la formule dans la cellule A1 :
$\qquad\boxed{~\textbf{=ALEA.ENTRE.BORNES(1 ; 6)}~}$
$\qquad$ ou encore $\boxed{~\textbf{=ENT(6*ALEA()+1)}~}$.
Copier le contenu de la cellule A1 (avec la formule).
Sélectionner une plage de la feuille du tableur en tapant A1:J10 [ou A1:A100] dans la zone dédiée à cet effet. Ceci permet de sélectionner le rectangle ayant pour diagonale A1$\rightarrow$J10 comme indique ci-dessous (je préfère) ou la colonne A1$\sarrow$A100.

Simulation de lancers d'un dé parfaitement équilibré

2ème étape : Coller la formule dans les cellules de la plage

Faites un clic-droit sur la zone sélectionnée, puis « Coller » (Ctrl V).

Nous obtenons maintenant $100$ valeurs aléatoires entre $1$ et $6$ correspondant à la simulation de $100$ lancers d’un dé parfaitement équilibré.

**Figure 2.** Cliquez sur F9 pour générer
une nouvelle simulation

3ème étape : Déterminer l’effectif de chaque valeur dans ce tableau

Nous rajoutons le texte « Faces » dans la cellule L1, puis « 1 » dans L2, « 2 » dans L3,… puis on tire vers le bas jusqu’à « 6 » dans L7.

Pour compter le nombre de « 1 » (sans le faire à la main) qu’il y a dans la colonne A, nous allons utiliser la fonction NB.SI. Cette fonction compte le nombre de cellules qui répondent à un critère donné à l’intérieur d’une plage de cellules ; de plus, elle est commune aux deux logiciels. Dans la cellule D2, écrire la formule =NB.SI(A$1:A$1000 ;C2) . En suivant le procédé expliqué dans le 2., faire recopier cette formule dans les cellules de D3 à D7. 2) Détermination des fréquences : Dans la cellule E2, écrire la formule =D2/1000 . En suivant le procédé expliqué dans le 2., faire recopier cette formule dans les cellules de E3 à E7.

On est en situation d’équiprobabilité. La probabilité de chaque issue est égale au quotient de l’effectif partiel par l’effectif total.

Évidemment, nous pouvons recommencer la même procédure avec $1000$ valeurs (plage A1:J100) (on arrondit au $1000$ème), puis $10\,000$, puis $100\,000$ valeurs, nous obtenons des fréquences très proches de $0,1666\ldots$

2.3, Calcul des probabilités

Définition 4.

Pour définir les probabilités des événements associés à une expérience aléatoire, on définit les probabilités de tous les événements élémentaires. On dit qu’on a donné la loi de probabilité de cette expérience.

Exemple 8.

La loi de probabilité du lancer d’un dé parfaitement équilibré est donnée par : pour tout $\omega\in\Omega$ : $P({\omega}) =\dfrac{1}{6}$. On peut aussi écrire la loi de probabilité dans un tableau :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\text{issues}~\omega &1&2&3&4&5&6&\text{Total}\\
P({\omega}) &\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}& 1\\
\end{array}$$

Théorème 2. (très important)
Dans une expérience aléatoire,
la probabilité $P(A)$ d’un événement $A$ est un nombre compris entre $0$ et $1$.. $$0\leqslant P(A)\leqslant $$
En particulier : $P(\emptyset)=0$ et $P({\Omega})=1$
la somme des probabilités de tous les événements élémentaires E_k ($1\leqslant k\leqslant n$) est égale à $1$ :
$$\text{Si}~\Omega=\{\omega_1 ; \omega_2 ; \omega_3 ;\ldots; \omega_n\},~\text{alors}~ P(E_1) + P(E_2) +\cdots+ P(E_n)=1$$
la probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

Exemple 9.

Un dé est truqué de telle façon que la probabilité de chaque face est proportionnelle au numéro de la face. Donner la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.

On peut aussi écrire la loi de probabilité dans un tableau :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\text{Valeurs de}~\omega &1&2&3&4&5&6&\text{Total}\\
P({\omega})&a\times1 &a\times2 &a\times3 &a\times4 &a\times5&a\times6&1\\ \end{array}$$

D’après le théorème, la somme des probabilités de tous les événements élémentaires E_k est égale à 1. Donc : $P(E_1) + P(E_2) +\cdots+ P(E_6)=1$. Donc : $$a\times1+a\times2+\cdots+&a\times6=1$$ Donc $$a\times(1+2+3+4+5+6)=1$$
Ce qui donne : $$a\times21=1\quad\text{D’ou}\quad\boxed{~~a=\dfrac{1}{21}}$$

Par conséquent, la loi de probabilité de cette expérience aléatoire est donnée par le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\text{Valeurs de}~\omega &1&2&3&4&5&6&\text{Total}\\
P({\omega}) &\dfrac{1}{21}&\dfrac{2}{21}&\dfrac{3}{21}&\dfrac{4}{21}&\dfrac{5}{21}&\dfrac{6}{21}& 1\\
\end{array}$$

Soit $A$ l’événement « le résultat est pair » ; alors $A=\{2 ; 4 ; 6\}$, donc : $$P(A)=\dfrac{2}{21}+\dfrac{4}{21}+\dfrac{6}{21}=\dfrac{12}{21}=\dfrac{4}{7}$$

2.4) Équiprobabilité

Définition 5.
Dans une expérience aléatoire, si tous les événements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés, on dit qu’on est dans une situation d’équiprobabilité ou que l’expérience aléatoire est équiprobable.

Exemple

Définition 6.
Si $A$ est un ensemble fini, on appelle cardinal de $A$, et on note $\card(A)$, le nombre d’éléments dans $A$.

Exemple 10.

Si $A$ désigne l’ensemble des nombres entiers pairs compris entre $1$ et $12$ (exclus), alors $A= \{2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10\}$ et $\card(A)=5$, puisque A contient $5$ éléments.

Théorème 3.
Dans une expérience aléatoire équiprobable ayant n événements élémentaires, on a :
la probabilité de chaque événement élémentaire est égale à $\dfrac{1}{n}$.
la probabilité d’un événement quelconque A est donnée par : $$\boxed{P(A)=\dfrac{\text{Nombre d’issues favorables}}{\text{Nombre d’issues possibles}}}$$

Exemple 11.

Tirage d’une carte dans un jeu de $52$ cartes (pas de joker).
Il y a $52$ issues possibles ;
L’univers $\Omega$ de l’expérience contient les $52$ cartes ;
Toutes les cartes ont la même chance d’être tirées. Donc, on est en situation d’équiprobabilité. La loi de probabilité de cette expérience est : $$\text{pour tout}\omega\in\Omega :\quad P({\omega}) =\dfrac{1}{52}$$
$A$ = « la carte tirée est un As » est un événement qui contient 4 issues favorables ; donc : $\card(A)= 4$ et $\card(\Omega) = 52$. Donc : $$P(A) =\dfrac{\card(A)}{\card(\Omega)}=\dfrac{4}{52}\quad\text{et}\quad P(A)=\dfrac{1}{13}$$
L’événement $T$ = « la carte tirée est un Trêfle » contient $13$ issues favorables.

$\card(T)= 13$ et $\card(\Omega) = 52$. Donc : $$P(T) =\dfrac{\card(T)}{\card(\Omega)}=\dfrac{13}{52}\quad\text{et}\quad P(A)=\dfrac{1}{4}$$

2.5. Événement contraire

Définition 5.
Dans une expérience aléatoire, on appelle événement contraire d’un événement A, l’événement, notéqui contient toutes les issues qui n’appartiennent pas à A.

Autrement dit : Pour tout $\omega\in\Omega$ : $\left[\omega\in\overline{A}\quad\text{(ssi)}\quad$\omega\not\in A\right]$

Exemple 12.

Une urne contient dix cartes identiques numérotées de $1$ à $10$. L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte de cette urne. L’univers $\Omega$ est l’ensemble des nombres entiers de $1$ à $10$. Soit l’événement $A$ = »la carte tirée porte un numéro multiple de $3$ » donc : $A=\{3;6;9\}$. Donc $\card(A)= 3$ et $\card(\Omega) = 10$. Donc : $$P(A) =\dfrac{\card(A)}{\card(\Omega)}=\dfrac{3}{10}$$ On en déduit que : $\overline{A}=\{1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10\}$, $\card(\overline{A})= 7$ et $\card(\Omega) = 10$. Donc : $$P(\overline{A}) =\dfrac{\card(\overline{A})}{\card(\Omega)}=\dfrac{7}{10}$$

Remarque.

Si $A$ est un événement qui contient $p$ issues favorables (sur les n issues de $\Omega$), alors $\overline{A}$ contient $(n – p)$ issues favorables. Donc

$$P(\overline{A}) =\dfrac{\card(\overline{A})}{\card(\Omega)}=\dfrac{n-p}{n}=\dfrac{n}{n}-\dfrac{p}{n}=1-\dfrac{\card(A)}{\card(\Omega)}=1-P(A)$$

Théorème 4.
Dans une expérience aléatoire, si A est un événement et $\overline{A}$ son événement contraire, alors : $$\boxed{P(\overline{A}) =1-P(A)}$$

Exemple 13.
Dans l’exemple précédent, nous avons calculé $P(A)=\dfrac{3}{10}$ et $P(\overline{A})-\dfrac{7}{10}$. On aurait pu « déduire » directement ce dernier résultat du théorème 4, en écrivant : $$P(\overline{A})==1-P(A)=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}$.

3. Probabilité de l’intersection ou réunion d’événements

3.1. Vocabulaire

Définitions 6.
Dans une expérience aléatoire, on consière deux événements $A$ et $B$.
$\quad$a) On appelle intersection des deux événements $A$ et $B$ et on note $A\cap B$, l’événement « $A$ et $B$ » qui est réalisé lorsque les deux événements $A$ et $B$ sont réalisés simultanément. Autrement dit : $A\cap B$ est réalisé si et seulement si, $A$ est réalisé et $B$ est réalisé.
$\quad$b) On appelle réunion des deux événements $A$ et $B$ et on note $A\cup B$, l’événement « $A$ ou $B$ » qui est réalisé lorsque l’un des deux événements $A$ ou $B$ est réalisé. Autrement dit : $A\cup B est réalisé si et seulement si, $A$ est réalisé ou $B$ est réalisé.

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Figure intersection-Réunion

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Définitions 7.
Dans une expérience aléatoire, on considère deux événements $A$ et $B$.
a) On dit que $A$ et $B$ sont deux événements incompatibles lorsque les deux événements $A$ et $B$ ne peuvent pas se réaliser simultanément. Autrement dit : $A$ et $B$ sont incompatibles si et seulement si, $A\cap B=\emptyset$.

Exemple 14.

$A$ = »la carte tirée porte un numéro multiple de 3″, donc $A=\{ 3 ; 6 ; 9\}$ ;
$B$ = »la carte tirée porte un numéro impair », donc $B$ = \{1; 3 ; 5 ; 7 ; 9\}$ ;
$C$ = »la carte tirée porte un numéro multiple de 4″, donc $C=\{4 ; 8\}$.

$A\cap B$ = »$A$ et $B$ » = « la carte tirée porte un numéro impair et multiple de $3$ »

Donc $A\cap B=\{3 ; 9\}$. $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles car $A\cap B\not=\emptyset$.

$A\cup B$= »$A$ ou $B$ » = « la carte tirée porte un numéro impair ou est multiple de $3$ ».

Donc $A\cup B=\{1; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9}$.

Par contre : $A\cap C$ = »$A$ et $C$ » = « la carte tirée porte un numéro multiple de $3$ et de $4$ »

Donc $A\cap C =\emptyset$. Donc $A$ et $C$ sont deux événements incompatibles.

Cas particulier.

Si $A$ est un événement, alors $A$ et $\overline{A}$ sont deux événements incomparibles.

3.2. Probabilité d’une réunion

Théorème 5.
Dans une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B.
a) Si $A$ et $B$ sont deux événements quelconques, alors : $$ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) $$
On peut en déduire immédiatement que : $$ P(A\cap B) = P(A)+P(B)-P(A\cup B) $$
b) Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors : $$ P(A\cup B) = P(A)+P(B)$$

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Figure ?
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Démonstration.

a) Pour démontrer ce résultat, il suffit de dénombrer (compter) les nombres d’élements dans chaque ensemble.

Dans $A\cup B$, si on additionne le nombre d’éléments de $A$ et le nombre d’éléments de $B$, on aura compté 2 fois le nombre d’éléments de $A\cap B$. Donc, il faut le soustraire une fois. Ce qui donne :

$$\card(A\cup B) = \card(A) + \card(B)-\card(A\cap B)$$

En divisant les deux membres par $\card(\Omega) = n$, on obtient : $$P(A\cup B)=\dfrac{\card(A)}{n}+\dfrac{\card(B)}{n}-\dfrac{\card(A\cap B)}{n}$$

D’où le résultat : $$P(A\cup B) = P(A) + P(B) – P(A\cap B) $$

b) Ce deuxième résultat est un cas particulier du a). En effet, si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $A\cap B=\emptyset$. Comme $P(A\cap B)=P(\emptyset) = 0$. D’où le résultat. CQFD.

Exemple 14.

Dans une classe de Seconde de $35$ élèves, option langues vivantes, $5$ élèves font uniquement du russe, et parmi les trente autres, vingt font anglais et dix-huit font espagnol. On choisit au hasard un élève dans cette classe. Calculer les probabilités de

$R$ = « l’élève fait du russe », $A$ = « l’élève fait de l’anglais », $E$ = « l’élève fait de l’espagnol », $F$ = « l’élève fait du russe et de l’anglais » et $G$ = »l’élève fait de l’anglais et de l’espagnol ».

$\Omega$ est l’ensemble des trente-cinq élèves. On est dans une situation d’équiprobabilité.

a) $$P(R)=\dfrac{\card(R)}{\card(\Omega)}=\dfrac{5}{35}=\dfrac{1}{7}$$

$$P(A)=\dfrac{\card(A)}{\card(\Omega)}=\dfrac{20}{35}=\dfrac{4}{7}$$
et $$P(E)=\dfrac{18}{35}$$

b) Il n’y a aucun élèves qui fait à la fois russe et anglais. Donc, les deux événements $R$ et $A$ sont incompatibles. Donc $P(R\cap A)=P(\emptyset) = 0$.

c) D’après l’énoncé, $30$ élèves font « Anglais ou Espagnol ». Donc $\card(A\cup E )=30$.

$$P(A\cup E )=\dfrac{\card(A\cup E )}{\card(\Omega)}=\dfrac{30}{35}=\dfrac{6}{7}$$

Or, d’après le théorèmee 5, on a : $$P(A\cup E )=P(A)+P(E )-P(A\cap E )$.

En rempalçant par les valeurs connues, on obtient : $$\dfrac{6}{7}=\dfrac{6}{7}+\dfrac{18}{35}-P(A\cap E )$$

Donc : $$P(A\cap E )=\dfrac{20}{35}+\dfrac{18}{35}-\dfrac{30}{35}

D’où : $$: $$P(A\cap E )=\dfrac{8}{35}$$

Conclusion : $8$ élèves sur les $35$ font « anglais et espagnol ».

4. Utiliser un arbre pour calculer des probabilités

Dénombrer toutes les issues possibles

Exemple 15.

Une famille a deux enfants. On suppose qu’il y a autant de chances d’obtenir un garçon qu’une fille. Calculer la probabilité des événements « obtenir deux filles » puis « obtenir deux enfants de sexes différents ». (On suppose qu’il n’y a pas de jumeaux).

On appelle $F$ l’événement « obtenir une fille » et $G$ l’événement « obtenir un garçon » à chaque naissance :

1er enfant 2ème enfant issues possibles

Un arbre permet de distinguer tous les cas possibles, donc toutes les issues possibles.
Une branche = Un cas
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Figure arbre de dénobrement
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L’univers associé à cette situation comporte quatre issues possibles. Donc :

W = {FF ; FG ; GF ; GG }. Ainsi, La probabilité d’obtenir deux filles est :

$$P(\text{« FF »}) =\dfrac{\text{Nombre d’issues favorables}}{\text{Nombre d’issues possibles}}=\dfrac{1}{4}$$
et si on appelle $B$ = « obtenir deux enfants de sexes différents », on a $B=\{FG ; GF\}$ et $\card(B) = 2$.

Donc $P(B) =\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.

Remarque : Pour trois enfants, faites un arbre et montrer qu’il y a 8 issues possibles !

Arbre pondéré pour calculer des probabilités

Définitions 8.

Dans une expérience aléatoire, on consière deux événements $A$ et $B$.

On dit qu’un arbre est pondéré lorsque, sur chaque branche, on indique la probabilité d’obtenir l’événement suivant.

Théorème. Règles de calcul avec un arbre pondéré
Règle 1 : La somme des probabilités des branches partant d’une même racine est toujours égale à 1 :
Règle 2 : La probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches de ce chemin.
Règle 3 : La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins correspondant à cet événement.

Exemple 16.

On lance un dé parfaitement équilibré. On note la face obtenue. On recommence l’épreuve 1 fois. Calculer la probabilité de des événements suivants :

$E$ = « N’obtenir aucun $5$ sur les deux lancers » et $F$ = « Obtenir exactement un sel $5$ ».

Pour chaque lancer, il n’y a que deux issues possibles : $C$ = « obtenir un $5$ » et $\overline{C}$ = « obtenir un nombre autre que $5$ ».

Donc, d’après ce qui précède $\Omega =\{CC ; C\overline{C}; \overline{C}C;\overline{C}\overline{C}\}$.

Le dé est parfaitement équilibré, donc chaque lancer est une expérience équiprobable Donc : $P(C) =\dfrac{1}{6}$ et $P(\overline{C})=1-P(C)=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.

1er lancer 2ème lancer Probabilité de chaque chemin

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Figure arbre pondéré