Pour étudier le sens de variation d’une suite numérique, il faut chercher si la suite est globalement croissante ou globalement décroissante. Sinon, il faut étudier sur quels intervalles, la suite numérique garde le même sens de variations. Cela permet d’étudier les tendances d’évolution du prix d’un bien économique ou d’une population.

Sommaire

  1. Suites croissantes, suites décroissantes
  2. Étude du sens de variation d’une suite numérique
  3. Suites constantes, suites stationnaires

1. Suites croissantes, suites décroissantes

Définitions 1.
1°) Une suite numérique $(u_n)$ est dite croissante si, et seulement si pour tout $n$ : $u_{n+1}\geqslant u_n$ si, et seulement si pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$ (méthode de la différence).
2°) La suite numérique $(u_n)$ est dite décroissante si, et seulement si, pour tout $n$ : $u_{n+1}\leqslant u_n$ si, et seulement si, pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ (méthode de la différence).
3°) La suite numérique $(u_n)$ est dite monotone si, et seulement si, elle est croissante ou décroissante.

Remarques
Dans les définitions ci-dessus, si les inégalités sont strictes, alors nous dirons que la suite $(u_n)$ est strictement croissante ou strictement décroissante ou encore strictement monotone.

2. Étude du sens de variation d’une suite numérique

Méthode 1.
Pour étudier le sens de variation d’une suite numérique $(u_n)$, on étudie le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$.
$\bullet$ La suite est strictement croissante si, et seulement si, pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$.
$\bullet$ La suite est strictement croissante si, et seulement si, pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$.

Définition 2.
Soit $(u_n)$ une suite numérique définie explicitement en fonction de $n$ par : $u_n=f(n)$. $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ et s’appelle la fonction associée à la suite $(u_n)$.

Exemple
Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
La suite $(u_n)$ est définie explicitement en fonction de $n$ et la fonction associée $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$$
Étudier le sens de variation de la suite numérique $(u_n)$ équivaut à étudier le sens de variation de la fonction associée $f$.

Propriété 2.
Soit $(u_n)$ une suite numérique explicite et $f$ sa fonction associée. Alors
$\bullet$ La suite est strictement croissante si, et seulement si, $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
$\bullet$ La suite est strictement décroissante si, et seulement si, $f$ est décroissante sur $[0;+\infty[$.

Méthode 2.
Pour étudier le sens de variation d’une fonction $f$ sur un intervalle $[0;+\infty[$, il suffit d’étudier le signe de sa fonction dérivée $f’$ sur le même intervalle.

Exemple
Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Corrigé
La fonction associée $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$.
$f'(x) =\dfrac{1}{(x+1)^2}$. Or pour tout $x\in[0;+\infty[$ : $\dfrac{1}{(x+1)^2}>0$. Donc, pour tout $x\in[0;+\infty[$ : $f'(x)>0$. Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Conclusion. La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

3. Suites constantes, suites stationnaires

Définitions 2.
1°) Une suite numérique $(u_n)$ est dite constante si, et seulement si pour tout $n$ : $u_{n+1}=u_n$ si, et seulement si pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n=0$ (méthode de la différence).
2°) La suite numérique $(u_n)$ est dite stationnaire si, et seulement si elle est constante à partir d’un certain rang $p$. Autrement dit :
Il existe un rang $p$ tel que pour tout entier naturel $n$ : [$n\geqslant p\Rightarrow u_n=u_p$]

4. Exercices résolus

Exercice 1.
Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_n=n^2+1$.
Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Corrigé.
Soit $n$ un entier naturel donné.
On calcule d’abord le terme $u_{n+1}$ en fonction de $n$. $$u_{n+1}=(n+1)^2+1 =n^2+2n+2$$ On a alors : $$u_{n+1}-u_n=(n^2+2n+2)-(n^2+1)$$ donc : $$u_{n+1}-u_n=2n+1$$ Or, pour tout entier naturel $n$ : $2n+1>0$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}-u_n>0$$
Conclusion. La suite $(u_n)$ est strictement croissante.
CQFD.$\blacktriangle$

Exercice 2.
Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $$v_{n}=\dfrac{1}{n+1}+2$$
Déterminer le sens de variation de la suite $(v_n)$.

Corrigé.
Soit $n$ un entier naturel donné.
On calcule d’abord le terme $u_{n+1}$ en fonction de $n$. $$u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1+1}+2=\dfrac{1}{n+2}+2$$ On a alors : $$\begin{array}{rcl}
u_{n+1}-u_n&=&\dfrac{1}{n+2}+2-\left(\dfrac{1}{n+1}+2\right)\\
&=&\dfrac{1}{n+2}+2\!\!\!\color{brown}{/}-\dfrac{1}{n+1}-2\!\!\!\color{brown}{/}\\
&=&\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}\\
&=&\dfrac{n+1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)}\\
&=&\dfrac{n+1-n-2}{(n+1)(n+2)}\\
u_{n+1}-u_n&=&\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}\\
\end{array}$$ Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}-u_n<0$.
Conclusion. La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
CQFD.$\blacktriangle$

Exercice 3.
Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par récurrence par $$\left\{ \begin{array}{l}u_0=0 \text{ et pour tout entier }n\geqslant0 :\\ u_{n+1}=u_n^2+u_n+1\\ \end{array}\right.$$
Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Corrigé.
Soit $n$ un entier naturel donné.
Nous avons déjà une expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. On a alors : $$u_{n+1}-u_n=(u_n^2+u_n\!\!\!\color{brown}{/}+1)-u_n\!\!\!\color{brown}{/}$$ Donc : $$u_{n+1}-u_n=u_n^2+1$$ Or, pour tout entier naturel $n$ : $u_n^2+1>0$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}-u_n>0$$
Conclusion. La suite $(u_n)$ est strictement croissante.
CQFD.$\blacktriangle$

CQFD.$\blacktriangle$