Pour étudier le sens de variation d’une suite numérique, il faut chercher si la suite est globalement croissante ou globalement décroissante. Cela permet d’étudier les tendances d’évolution du prix d’un bien économique ou d’une population.

1. Sens de variation d’une suite géométrique

Une suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q\not=1$ et de premier terme $v_0$ si, et seulement si, pour tout entier $n$, $v_{n+1}=q\times v_n$.

$\bullet$ Factorisation de $v_{n+1}-v_{n}$.

Il est clair que la proposition suivante est immédiate.

Proposition 1.
Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q>0$ et de premier terme $v_0\not=0$. Alors pour tout entier $n$, $$\boxed{~v_n=v_0\times q^n~}\quad\text{et}\quad \boxed{~v_{n+1}-v_n=v_0q^n(q-1)~}$$

Pour étudier le sens de variation d’une suite géométrique, il faut étudier le signe de $v_{n+1}-v_n$, c’est-à-dire de $v_0q^n(q-1)$. Or, $q>0$, donc ce signe dépend des signes de $v_0$ et de $q-1$. Nous distinguons donc deux cas : $v_0>0$ et $v_0<0$.

$\bullet$ 1er cas : $v_0>0$

Propriété 1. $v_0>0$
Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q>0$ et de premier terme $v_0>0$.
1°) La suite $(v_n)$ est strictement croissante si, et seulement si, pour tout $n$ : $v_{n+1}-v_n>0$ si, et seulement si, $q>1$. $$\boxed{~(v_n)~\nearrow ~\Longleftrightarrow~ q >1~}$$
2°) La suite $(v_n)$ est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout $n$ : $v_{n+1}-v_n<0$ si, et seulement si, $0<q<1$. $$\boxed{~(v_n)~\searrow ~\Longleftrightarrow~ 0<q<1~}$$

$\bullet$ 2ème cas : $v_0<0$

Lorsque $v_0<0$, il suffit de prendre les propriétés de la propriété 1 dans le sens contraire.

Propriété 2. $v_0<0$
1°) La suite $(v_n)$ est strictement croissante si, et seulement si, $0<q<1$. $$\boxed{~(v_n)~\nearrow ~\Longleftrightarrow~ 0<q<1~}$$
2°) La suite $(v_n)$ est strictement décroissante si, et seulement si, $q>1$. $$\boxed{~(v_n)~\searrow ~\Longleftrightarrow~ q>1~}$$

2. Exercices résolus

Exemple 1.
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par : $v_n=3\times 2^{n+1}$.
1°) Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de la suite $(v_n)$.
2°) Déterminer le sens de variation de la suite $(v_n)$. Deux méthodes.

Corrigé.
1°) Pour tout entier $n$ :
$v_n=3\times 2^{n+1}=3\times 2\times 2^n =\boxed{~~6\times 2^n~~}$.
La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=6$ et de raison $q=2$.

2°) Sens de variation de la suite $(v_n)$.
1ère méthode.
$(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=6>0$ et de raison $q=2>1$.
Par conséquent : La suite $(v_n)$ est strictement croissante.

2ème méthode.
On revient à la définition. Pour cela, on cherche le signe de la différence de deux termes consécutifs :
$$\begin{array}{rcl} v_{n+1}-v_n&=&3\times 2^{n+1+1}-3\times 2^{n+1}\\
&=& 3\times2\times2^{n+1}-3\times 2^{n+1}\\ &=& 3\times2^{n+1}(2-1)\\ &=& 3\times2^{n+1}\\ \text{Donc :}~~v_{n+1}-v_n&>&0 \\ \end{array}$$
Conclusion. La suite $(v_n)$ est strictement croissante.
CQFD.$\blacktriangle$

Exemple 2.
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par : $w_n=\dfrac{2^{n+1}}{3^n}$.
1°) Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de la suite $(w_n)$.
2°) Déterminer le sens de variation de la suite $(w_n)$.

Corrigé.
1°) Pour tout entier $n$ :
$w_n=\dfrac{2^{n+1}}{3^n}=\dfrac{2\times2^{n}}{3^n}=\boxed{~~2\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n~~}$.
La suite $(w_n)$ est géométrique de premier terme $w_0=2$ et de raison $q=\dfrac{2}{3}$.

2°) Sens de variation de la suite $(w_n)$.
$(w_n)$ est une suite géométrique de premier terme $w_0=2>0$ et de raison $q=\dfrac{2}{3}$.
Par conséquent : $0<q<1$ donc la suite $(w_n)$ est strictement décroissante.
CQFD.$\blacktriangle$