Pour étudier le sens de variation d’une suite numérique, il faut chercher si la suite est globalement croissante ou globalement décroissante. Cela permet d’étudier les tendances d’évolution du prix d’un bien économique ou d’une population.

1. Sens de variation d’une suite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si, et seulement si, pour tout entier $n$, $u_{n+1}-u_n=\text{Constante}=r$. On obtient la première méthode.

Méthode 1.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.
1°) La suite $(u_n)$ est strictement croissante si, et seulement si, pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n>0$ si, et seulement si, $r$ est strictement positive. $$\boxed{\;(u_n)~\nearrow ~~\Longleftrightarrow r >0\;}$$
2°) La suite $(u_n)$ est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n<0$ si, et seulement si, $r$ est strictement négative. $$\boxed{\;(u_n)~\searrow ~~\Longleftrightarrow r<0\;}$$

\Longleftrightarrow r<0\;}$$

Exemple 1.
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de raison $r=-5$ et de premier terme $u_0=299$.
Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Corrigé.
Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Comme la la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=-5$, donc sa raison est négative. Par conséquent, la La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Conclusion. La suite $(u_n)$ est strictement décroissante ; quel que soit son premier terme, aussi grand soit-il.

Exemple 2.
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par : $u_n=4n-3$
Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Corrigé.
Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Pour cela, pour tout entier $n$, calculons $u_{n+1}-u_n$ :
$u_{n+1}-u_n=4(n+1)-3-[4n-3]=4n{\color{brown}{\!\!\!\! /}}+4-3{\color{blue}{\!\!\! /}}-4n{\color{brown}{\!\!\!\! /}}+3{\color{blue}{\!\!\! /}}={\color{brown}{4}}$.
Par conséquent : Pour tout entier $n$. $u_{n+1}-u_n=4>0$.

Conclusion. La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

2. Sens de variation d’une suite et fonction associée

Méthode 2.
Soit $(u_n)$ une suite numérique explicite et $f$ sa fonction associée. Alors
$\bullet$ La suite est strictement croissante si, et seulement si, $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
$\bullet$ La suite est strictement décroissante si, et seulement si, $f$ est décroissante sur $[0;+\infty[$.

Exemple 3.
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par : $u_n=4n-3$
Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$ en utilisant la fonction affine associée.

Corrigé.
On sait qu’une suite numérique explicite a le même sens de variation que la fonction associée.

Ici, la fonction affine associée à la suite arithmétique $(u_n)$, est la fonction définie sur $\R$ par : $${\color{brown}\boxed{\;f(x)=4x-3\;}}$$
Son coefficient directeur $m=\text{raison}=4$ et son terme constant $p=\text{premier terme}=-3$.

Le coefficient directeur de la fonction affine associée est positif. Donc la fonction affine associée est strictement croissante.

Conclusion. La suite $(u_n)$ est strictement croissante.